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湖南省岳阳县一中2014年下学期高二年级期中考试(文科数学)


2014 年下学期高二年级期中考试(文科数学)

文科数学
时量 120 分钟 命题:罗时九 满分 150 分 审定 :张华武

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为( 4 3
B. (? 2 ,0)

) C. (?2,0) ) C. ?x ? 0,sin x ? 0 D. ?x ? 0,sin x ? 0 D. (0,?1)

A. (?1,0)

2. 命题“ ?x ? 0,sin x ? 0 ”的否定为( A. ?x ? 0,sin x ? 0

B. ?x ? 0,sin x ? 0

3. 某市有大型超市 100 家、中型超市 200 家、小型超市 700 家.为掌握各类超市的营业情况,现按 分层抽样方法抽取一个容量为 80 的样本,应抽取中型超市家数为( A.15 B. 16 C. 13 D. 18 ).

^ ^ ^ 4. 已知回归直线方程y=a+bx,如果 x=3 时,y 的估计值是 17,x=8 时,y 的估计值是 22,那 么回归直线方程是( ^ A. y=x+14 ) B. ^ y=-x+14 C. ^ y=x-14 ^ D. y=2x+14

5. 从一箱产品中随机地抽取一件, 设事件 A={抽到一等品}, 事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽 到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的 概率为( A.0.7 ) B.0.65 C.0.35 D.0.3

6. 如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 AB 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q , 则点 Q 取 自 ?AED 或 ?BEC 内部的概率等于 ( ) D C

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

2 D. 3

A
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E

B

x2 y 2 5 7. 设双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率 e ? ,则该双曲线的渐近线方程为( 4 a b
A. 4 x ? 3 y ? 0 B. 3x ? 4 y ? 0 C. 5x ? 3 y ? 0 D. 3x ? 5 y ? 0



8. 设 k ? 3, k ? 0, 则二次曲线 A.不同的顶点 9.

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ? 1 必有( 3? k k 5 2
C.相同的焦点



B.相同的离心率

D.以上都不对 ).

“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+ ? )上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10. 已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰落在 a 2 b2


以 F1 为圆心, | OF 1 | 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 4 C. 2 D. 6

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横线上) 11. 命题“若 p 则 q ”的逆命题是 .

12. 设 A(?1,0), B(1,0) 是 平 面 两 定 点 , 点 P 满 足 | PA | ? | PB |? 6 , 则 P 点 的 轨 迹 方 程 是
2

.

13. 已知 f(x)=x +2x-m,如果 f(1)>0 是假命题,f(2)>0 是真命题,则实数 m 的取值范围是 ________. 14.设一直角三角形两直角边的长 a,b 均是区间(0,1)的随机数,则斜边 c 的长小于 1 的概率为

15. 在下列四个结论中,正确的序号是________. ①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件; ②“k=1”是“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为 π”的充要条件; ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件; ④“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件.

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个,这些球除颜色外都相同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个球,求 至少有一次摸出的球是红球的概率.

17. (本小题满分 12 分) 设命题 p:x∈A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2-2mx+m2≤9, x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[2,3],求实数 m 的值. (2)若 p 是非 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) (1) 已知双曲线与椭圆 的方程. (2) 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4,求双曲线 27 36

x2 y 2 ? ? 1 有相同的渐近线且过点(2,3)的双曲方程. 4 3

19.(本题满分 13 分)为选拔选手参加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次“谜语大赛” 活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数, 满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) ,

[80, 90) , [90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列
出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生

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参加“中国谜语大会” ,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率.
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

3 4

20. (本题满分 13 分)如图,椭圆 C : 分别为点 A 、 B ,且 | AB |? (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上顶点 a 2 b2

5 | BF | . 2

(Ⅱ)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方程及 椭圆 C 的方程.

y B x O F A

21. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a 2 b2

(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M、N,且直线 OM、MN、ON 的斜率依次满足
2 kMN ? kOM ? kON ,求△OMN 面积的取值范围.

2015 高二期中考试文科试题参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
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合题目要求的)

1. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为( 4 3
B. (? 2 ,0)

) C. (?2,0) ) D. (0,?1)

A. (?1,0)

【答案】A

2. 命题“ ?x ? 0,sin x ? 0 ”的否定为( A. ?x ? 0,sin x ? 0 C. ?x ? 0,sin x ? 0

B. ?x ? 0,sin x ? 0 D. ?x ? 0,sin x ? 0 【答案】D

3. 某市有大型超市 100 家、中型超市 200 家、小型超市 700 家.为掌握各类超市的营业情况,现按 分层抽样方法抽取一个容量为 80 的样本,应抽取中型超市家数为( ). A.15 B. 16 C. 13 D. 18 【答案】B 4. ^ ^ ^ 已知回归直线方程y=a+bx,如果 x=3 时,y 的估计值是 17,x=8 时,y 的估计值是 22,那 ) . B. ^ y=-x+14 C. ^ y=x-14 ^ D. y=2x+14 【答案】A

么回归直线方程是( ^ A. y=x+14

5. 从一箱产品中随机地抽取一件, 设事件 A={抽到一等品}, 事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽 到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概 率为( ) B.0.65 C.0.35 D.0.3 D 【答案】D C

A.0.7

6. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 AB 的中点,若在矩形 ABCD 内部 随机取一个点 Q ,则点 Q 取自 ?AED 或 ?BEC 内部的概率等于 ( )

A

E

B

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3

【答案】A

7. 设双曲线 C : A. 4 x ? 3 y ? 0

x2 y 2 5 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率 e ? ,则该双曲线的渐近线方程为( 2 4 a b
B. 3x ? 4 y ? 0 C. 5x ? 3 y ? 0 D. 3x ? 5 y ? 0



【答案】B

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x2 y2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ? 1 必有( 8. 设 k ? 3, k ? 0, 则二次曲线 3? k k 5 2

) 【答案】C

A.不同的顶点 B.相同的离心率 C.相同的焦点 D.以上都不对 9. “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( ). A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

x2 y 2 10. 已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰落在 a b
以 F1 为圆心, | OF 1 | 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 4 C. 2 D. 6 ) 【答案】A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横线上) 11. 命题“若 p 则 q ”的逆命题是 . 【答案】若 q 则 p

12. 设 A(?1,0), B(1,0) 是 平 面 两 定 点 , 点 P 满 足 | PA | ? | PB |? 6 , 则 P 点 的 轨 迹 方 程



.

x2 y2 ? ?1 【答案】 9 8

13. 已知 f(x)=x2+2x-m,如果 f(1)>0 是假命题,f(2)>0 是真命题,则实数 m 的取值范围是 ________.
? ?f?1?=3-m≤0 【解析】 依题意,? ,∴3≤m<8. ?f?2?=8-m>0 ?

【答案】 [3,8)

14.设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数,则斜边的长小于 1 的概率为 【解析】 设两直角边分别是 x,y,∴试验包含的基本事件是{(x,y)|0<x<1,0<y<1},对应的 1 正方形的面积是 1,满足条件的事件对应的集合为{(x,y)|x2+y2<1,x>0,y>0},该区域为 个圆, 4 π 面积为 .∴ 4 15. 在下列四个结论中,正确的序号是________. ①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件; ②“k=1”是“函数 y=cos2kx-sin2kx 的最小正周期为 π”的充要条件; ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件; ④“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件.
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π 4 π 【答案】 P= = . 1 4 【答案】 ①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个,这些球 除颜色外都相同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个球,求 至少有一次摸出的球是红球的概率. 【解析】 (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有 1

1

种,所以 P(A)= 4 .

????????6 分

(2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个球,所 有可能出现的结果有: (红,红) 、 (红,黄) 、 (红,蓝) 、 (红,白) 、 (黄,红) 、 (黄,黄) 、 (黄, 蓝) 、 (黄,白) 、 (蓝,红) 、 (蓝,黄) 、 (蓝,蓝) 、 (蓝,白) 、 (白,红) 、 (白,黄) 、 (白,蓝) 、 (白,白) ,共有 16 种, ????????10 分 它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至少有一次是红球”(记为事件 B)的结果只 有 7 种, ????????11 分 所以 P(B)=

7 . 16

????????12 分 ????????9 分 ?????12 分

或方法二:每次取得非红球的概率为

3 , 4 3 3 7 至少一个红球的概率为 1- ? ? 4 4 16

17. (本小题满分 12 分) p:x∈A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2-2mx+m2≤9,x∈R, m∈R}. (1)若 A∩B=[2,3],求实数 m 的值. (2)若 p 是非 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 【解】 (1)A={x|-1≤x≤3,x∈R},B={x|m-3≤x≤m+3,x∈R,m∈R}, ∵A∩B=[2,3],∴m=5. ????????6 分

(2)∵p 是非 q 的充分条件,∴A??RB,∴m-3>3 或 m+3<-1, ∴m>6 或 m<-4. ????????12 分

18. (本题满分 12 分)(1) 已知双曲线与椭圆 坐标为 4,求双曲线的方程.

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵 27 36

x2 y 2 ? ? 1 有相同的渐近线且过点(2,3)的双曲方程. (2) 求双曲线 4 3
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y 2 x2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , a 2 b2 且 c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? 9 .由已知条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐 16 15 标为 A( 15,, 4) B(? 15, 4) ,点 A 在双曲线上,即 2 ? 2 ? 1 . a b
? 3),F2 (0, 3) ,故可设双曲线方程为 解:可以求得椭圆的焦点为 F1 (0,

?a 2 ? b 2 ? 9, ?a 2 ? 4, y 2 x2 ? ? 解方程组 ? 16 15 得? 2 所以双曲线方程为 ? ? 1. , ? 4 5 b ? 5. ? 2 ? 2 ?1 ? b ?a

?????6 分

(2)

y 2 x2 ? ?1 6 8

?????12 分

19.(本题满分 13 分)为选拔选手参加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次“谜语大赛” 活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数, 满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) ,

[80, 90) , [90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列
出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生 参加“中国谜语大会” ,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率.
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

3 4

解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ?10 50 ?10
???????????5 分

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a 3 , a4 ,

a 5 ,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 .
抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种,分别为:

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( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a 3 , b1 ) , ( a 3 , b2 ) , ( a4 , a 5 ) , ( a4 , b1 ) , ( a4 , b2 ) , ( a 5 , b1 ) , ( a 5 , b2 ) , ( b1 , b2 ). ??????????????????????????????????9 分 其中 2 名同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种,分别为: ( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a4 , a 5 ). ∴ 所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 1 ?

10 11 ? . 21 21

??????????????????????????????????13 分

20. (本题满分 13 分)如图,椭圆 C : 分别为点 A 、 B ,且 | AB |? (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上顶点 a 2 b2

5 | BF | . 2

(Ⅱ)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方程及 椭圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)由已知 | AB |? 即 a 2 ? b2 ?

y
5 | BF | , 2

B x O F A

5 a , 4a 2 ? 4b2 ? 5a 2 , 2

4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,
∴ e?

c 3 ? .????????????????5 分 a 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 .设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2)2 ? 4b 2 ? 0 , 由 ? x2 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ?
∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,

16 ? 4b 2 2 17 32 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? .??9 分 17 17 17

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而

5(16 ? 4b 2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????????????13 分 4

21. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a 2 b2

(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M、N,且直线 OM、MN、ON 的斜率依次满足
2 kMN ? kOM ? kON ,求△OMN 面积的取值范围.

?2a ? 2 ? 2b ? ?a ? 2 x2 3 ?c ? y 2 ? 1. 解析:(1)由已知得 ? ? ,所以 C 方程: ,? ? 4 2 ?b ? 1 ?a 2 2 2 ?c ? a ? b ?
(2)由题意可设直线 l 的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0)

??? 4 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 联立 ? x 2 ,消去 y 并整理,得: ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0 , ??5 分 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 2 则 ? ? 64k m -16 1 ? 4k

?

?? m

2

? 1? ? 16 ? 4k 2 -m 2 ? 1? ? 0 ,

??6 分

此时设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y 2 ),

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? x1 ? x2 ? ?

8km 4 m2 ?1 , x ? x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ,
2 2

?

?

??7 分 ??8 分

于是 y1 ? y2 ? ?kx1 ? m??kx2 ? m? ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ,
2 又直线 OM,MN,ON 的斜率满足 kMN ? kOM ? kON ,

y1 y 2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m 2 2 ? m2 ? 0 , ∴ ? ? ? k ,所以 2 1 ? 4k x1 x2 x1 x2
2 由 m≠0,得 k ?

??9 分

1 1 ? k ? ? , ,又由 ? ? 0, 得 0 ? m 2 ? 2 , 4 2

??10 分

显然 m ? 1 ,
2

设原点 O 到直线 l 的距离为 d,则

S ?OMN ?

1 1 m 1 MN d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? m 2 2 1? k 2 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

? ? m2 ?1 ?1 ,
??13 分

?

?

2

故由 m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1). 考点:直线与椭圆相交的综合试题.

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