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四川省德阳市第五中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


四川省德阳市第五中学 2015-2016 学年高二数学上学期期中试题
一、单项选择题(每题 5 分,共 60 分,用铅笔将答案涂在机读卡上) 1、在空间直角坐标系中,点 A(1,0,1)关于坐标原点的对称点的坐标为( A. (﹣1,0,﹣1) B. (1,0,﹣1) C. (0,﹣1,1) )

D. (1,0,﹣1) )

2、如图是某考生的分数的茎叶统计图,该组数据的中位数和众数依次为(

A. 86,84

B. 84,84

C. 84,86

D. 85,86 )

3、已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α
2 2

B. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D. 若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α

4、若直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为 ( ) 1 B.k=- ,b=4 2 1 D.k=- ,b=-4 2
2 2

1 A.k= ,b=-4 2 1 C.k= ,b=4 2

5、若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 值为( ) D. 3 ? 2 2 A.1 B.5 C

1 2 ? 的最小 a b


4 2

6、 如果直线 (2a ? 5) x ? (a ? 2) y ? 4 ? 0 与直线 (2 ? a) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 互相垂直, 则a的值等于 ( ) A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2

7、在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那 么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( A. ) D.

10 5

B.

15 5

C.

4 5

2 3

1

? x ? y ? 2, ??? ? ???? ? 8、已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1) ,若点 M (x,y) 为平面区域 ? 则 OA ? OM ? x ? 1, 上的一个动点, ? y?2 ?

的取值范围是( (A) (B)

) (C) (D) )

9、一个多面体的三视图如右图,则该多面体的表面积为( A. 21 ? 3 C.21 B. 18 ? 3 D.18

10、已知直线 y ? 2 x 是 ? ABC 中 ? C 的平分线所在的直线,若点 A、B 的 坐标分别是 (?4, 2), (3,1) ,则点 C 的坐标为( A. (?2, 4) 11、若直线 B (?2, ?4) 与曲线 C. (2, 4) ) D. (2, ?4) 有公共点,则 b 的取值范围是( )

A. C. D.

B.

12、如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为

,动点 P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂

直于 BD1 的平面 α ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为 y,设 BP=x,则 当 时,函数 y=f(x)的值域为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 5 分,共计 20 分,请将答案写在二卷上,写在此处概不得分) 13、 某班有男生 25 名, 女生 15 名, 采用分层抽样的方法从这 40 名学生中抽取一个容量为 8 的样本, 则应抽取的女生人数为 △ 名 △

2 2 2 2 14、圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为
2 2

15、过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分,使得这两部分的面积之差最 大,则该直线的方程为 △

2

16、已知△ABC 的三边长分别为 AB=5,BC=4,AC=3,M 是 AB 边上的点,P 是平面 ABC 外一点.给出 下列四个命题: ①若 PM 丄平面 ABC,且 M 是 AB 边中点,则有 PA=PB=PC; ②若 PC=5,PC 丄平面 ABC,则△PCM 面积的最小值为 ; π; ;

③若 PB=5,PB⊥平面 ABC,则三棱锥 P﹣ABC 的外接球体积为

④若 PC=5,P 在平面 ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心,则三棱锥 P﹣ABC 的体积为 2 其中正确命题的序号是. △ (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(写在二卷对应方框内,要求写出适当的分析过程,共计 70 分) 17、 (10 分)教育部、国家体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛,深入地开展全国 亿万大中学生阳光体育运动,为此,某校学生会对 2014-2015 学年高二年级 2014 年 9 月与 10 月这 两个月内参加体育运动的情况进行统计,随机抽取了 100 名学生作为样本,得到这 100 名学生在该 月参加体育运动总时间的小时数,根据此数据作出了如下的频率分布表和 频率分布直方图: (I)求 a,p 的值,并补全频率分布直方图; (Ⅱ)根据上述数据和直方图,试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间; 频率分布表 分组 1 2 3 4 5 6 合计 运动时间(小时) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) 频数 20 a 20 15 10 5 100 频率 0.2 p 0.2 0.15 0.10 0.05 1.00

3

18、 (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为1 , 圆心在 l 上.若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; y A O l

x

19、 (12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点 ( I)求证:平面 ABD⊥平面 EFC; (Ⅱ)当 AD=CD=BD=1,且 EF⊥CF 时,求三棱锥 C﹣ABD 的体积 VC﹣ABD.

20、 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上
2

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.

21、 (12 分)如图,四棱锥 V ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱 长为 5 的等腰三角形。若 M , N 分别为棱 VA, BC 的中点, (1)求证: MN ∥侧面 VCD ; (2)试求 MN 与底面 ABCD 所成角的正弦值。
V

M
D A B

N

C

4

22、 (文科,请文科考生做) (12 分)如图,在三棱锥 为 的中点, 在棱 中,已知△ 上,且 ; 上是否存在一点 , 使 平面 ?若存在, 说明点 的 , 是正三角形, 平面 ,



(1)求证: (2) 若 为

平面 的中点, 问

位置;若不存在,试说明理由;

D

M

B A E C F N

22、 (理科,请理科考生做) (12 分)如图,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 是矩形,四边形 BCEF 是直角梯形,

BF // CE ,

5

BC ? CE, DC ? CE ? 4, BC ? BF ? 2 ,
(1)求证: AF //平面 CDE (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值, (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值。

6

四川省德阳市第五中学 2014 级高二上期半期考试数学试题 答案 全国卷的格式是 12+4+5 选 1,共计 22 题 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 A 10 C 11 D 12 B

12.分析: 验证 x=BP= ,1, 时,y=f(x)的值是什么,分析函数 y=f(x)的变化情况,从而 得出正确的判断.∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 当 BP= 时,如图所示; ,∴BD1= AB=3,

三棱锥 B﹣EFG 的底面是正三角形,设边长 EF=a,则 BE= 得 a= , ; 时,y=f(x)=3 ,如图所示;

,∴ ?

a? = ? ?

2

?

?

;解

y=f(x)= 当 EF= AB=

?

?

?

?BP= ? ?

?

?

,此时 BP=1;

当 BP= 时,截面为六边形 EFGHIJ, 且 EF=FG=GH=HI=IJ=JE= AC= ,如图所示;

此时 y=f(x)= 13、3

;∴

时,函数 y=f(x)的值域应为. 14、相交
7

15、如图, 要使两部分的面积之差最大,即使阴影部分的面积最小,也就是弦长 AB 最 短.结合直线与圆的位置关系的性质知:当直线 AB 与直线 OP 垂直时, 弦长 AB 最短 , 又

? k AB ? kOP ? ?1, kOP ? 1,?k AB ? ?1. 所求直线方程为: y ? x ? 2 ? 0 .

16、 解:∵△ABC 的三边长分别为 AB=5,BC=4,AC=3,∴PM 丄平面 ABC,且 M 是 AB 边中点,∴MA=MB=MC,∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC,∴PA=PB=PC, ∴①正确, ∵当 PC⊥面 ABC,∴△PCM 面积= ×PC×CM= ×5×CM 又因为 CM 作为垂线段最短= ∴②不正确. ∵若 PB=5,PB⊥平面 ABC,AB=5,BC=4,AC=3, ∴三棱锥 P﹣ABC 的外接球可以看做 3,4,5 为棱长的长方体, ∴2R=5 ,R= ,∴体积为 ,△PCM 面积的最小值为 =6,

故③不正确. ∵△ABC 的外接圆的圆心为 O,PO⊥面 ABC,∵P =PO +OC ,r= OC= ,PO =25﹣2=23,PO= =2
2 2 2 2

=1,



× ×3×4×

,故④正确

17、解答: (Ⅰ)因为随机抽取了 100 名学生作为样本,所以 a=100﹣20﹣20﹣15﹣10﹣5=30; b= =0.3;频率分布直方图如下:

(Ⅱ)根据表格数据和直方图得到运动时间在小时的学生体育运动的平均时间为 27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+ 2.625=36.5(小时) ;

8

18、所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x?3 4

19、 解答: (Ⅰ)证明:∵△ABD 中,E、F 分别是 AB,BD 的中点,∴EF∥AD.∵AD⊥BD, ∴EF⊥BD.∵△BCD 中,CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD.∵CF∩EF=F,∴BD⊥面 EFC; (Ⅱ) 解: ∵CB=CD, F 是 BD 的中点, ∴CF⊥BD, ∵EF⊥CF, EF∩BD=F, ∴CF⊥平面 ABD, ∵CB=CD=BD=1, ∴CF= ∴VC﹣ABD= ,∵AD=BD=1,AD⊥BD,∴S△ABD= , = .

20、Ⅰ)曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) (3 ? 2 2,0) 故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有 解得 t=1,则圆的半径为 (Ⅱ)设 A(

3 ? ?t -1? ? 2 2
2 2

? ? +t
2

2

3 ? ?t ?1?
2

2

?3

(x- 3) + (y- 1) = 9 . .所以圆的方程为

2

2

x,y)
1 1

B(

x , y ) 其坐标满足方程组
2 2
2

x? y?a ?0

?x?3? ? ?y ?1? ? 9
2

消去 y 得到方程

2 x ? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0
2

2

2

由已知可得判别式△=56-16a-4 a

>0
2

?a x x ? ? 4 ? a 由韦达定理可得 x x ,
1 2

? 2a ? 1 2
1

1

2


2 2

由 OA ? OB 可得 2

xx ?y y
1 2 1
2

2

? 0.



y ? x ? a,y ? x
1

?a


.所以

xx
1

2

? a ( x1 ? x2) ? a ? 0

由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1. 21、 (1)如图 1,取侧棱 VD 之中点 E ,连接 ME, CE , M E

V

? M , N 分别为棱 VA, BC 的中点,且底面 ABCD 是正方形
A

D

? ME ∥ NC ,且 ME ? NC ,则 MNCE 是平行四边形
则 MN ∥ EC ,又 MN ? 侧面 VCD , CE ? 平面 VCD

图1

B

N

C

? MN ∥侧面 VCD
9

(2)如图 2,过点 M 作 MH ? AC 垂足 H ,连接 HN 由(1)知 VO ? 底面 ABCD ,且 VO ? 平面 VAC ,则平面 VAC ? 底面 ABCD , 则 MH ? 底面 ABCD ,? ?MNH 为 MN 与底面 ABCD 所成角 由( 2 )知 MN ? CE ,而由 E 为 VD 之中点,且 VC ? VD ? 5, CD ? 2 ,得
A

V

M
D O

13 MN ? CE ? 2

H

图2

B

N

C

1 3 MH ? VO ? 2 2 , 在 Rt ?MNH 中, 又在 ?VAC 中可得 VO ? 3 ,而 M 是 VA 之中点,则

sin ?MNH ?

HN 39 39 ? MN 13 ,即 MN 底面 ABCD 所成角的正弦值为 13

22(文科) (1)取 AC 的中点 H,因为 AB=BC,? BH⊥AC.因为 AF=3FC,? F 为 CH 的中点.而

E 为 BC 的中点,? EF∥BH.则 EF⊥AC.由于 △BCD 是正三角形,? DE⊥BC.因为 AB⊥平面 BCD,

? AB⊥DE.因为 AB∩BC=B,? DE⊥平面 ABC.? DE⊥AC.而 DE∩EF=E,? AC⊥平面 DEF
3 (2)存在这样的点 N,当 CN= CA 时,MN∥平面 DEF.连 CM,设 CM∩DE=O,连 OF. 8

由条件知,O 为△BCD 的重心,CO=

2 2 3 1 3 CM.所以 当 CF= CN 时,MN∥OF.所以 CN= ? CA ? CA 3 3 2 4 8

(理科)(1)连结 BD ,取 DC 的中点 G ,连结 BG ,由此知 DG ? GC ? BG ? 1 ,即 ?DBC 为直角三角形,故 BC ? BD ,又 SD ? 平面ABCD ,故 BC ? SD ,所以,

BC ? 平面BDS , BC ? DE . BK ? EC , K 为垂足,因平面 EDC ? 平面

SBC ,故 BK ? 平面EDC , BK ? DE . DE 与平面 SBC 内的两条相交直线
BK , BC 都垂直.

DE ? 平面SBC , DE ? EC , DE ? SB , SB ? SD2 ? DB2 ? 6 ,

DE ?

SD ? DB 2 ? , SB 3
6 2 6 , SE ? SB ? EB ? .所以, SE ? 2 EB . 3 3

EB ? DB 2 ? DE 2 ?

2 2 (2)由 SA ? SD ? AD ? 5 , AB ? 1 , SE ? 2 EB , AB ? SA ,知

10

1 2 AE ? ( SA)2 ? ( AB)2 ? 1 ,又 AD ? 1 ,故 ?ADE 是等腰三角形. 3 3
取 ED 中点 F ,连结 AF ,则 AF ? DE , AF ? 连结 FG ,则 FG ∥ EC , FG ? DE . 所以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连结 AG , AG ? 2 , FG ?

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

DG 2 ? DF 2 ?

6 , 3

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 cos ?AFG ? ? ? 所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120o . 2 ? AF ? FG 2.

11


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