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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分5 函数的单调性与最值


开卷速查(五)

函数的单调性与最值
)

A 级 基础巩固练 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 C.y=2-x B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1)

解析:显然 y= x+1是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1)2 在(0,1)
?1? 上是减

函数,在(1,+∞)上是增函数;y=2-x=?2?x 在 x∈R 上是减函 ? ?

数;y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数.故选 A. 答案:A
?1? 2.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? x?>f(1)的实数 x 的取值范 ? ?

围是(

) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1)

x-1 1 解析:依题意得x<1,即 x >0,所以 x 的取值范围是 x>1 或 x <0,故选 D. 答案:D

??a-2?x,x≥2, 3.若函数 f(x)=??1?x ? -1,x<2 ?? ?2?
数 a 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(0,2) )

是 R 上的单调减函数,则实

13? ? B.?-∞, 8 ?
? ? ?13 ? D.? 8 ,2? ? ?

?a-2<0 解析:由题意可知? ?1?2 ? ? -1, ? a - 2 ? × 2 ≤ ? ?2?
13 解得 a≤ 8 . 答案:B 4.已知函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,g(x)=-f(|x|),若 g(lgx) >g(1),则 x 的取值范围是( A.(0,10) B.(10,+∞)
?1 ? C.?10,10? ? ?

)

1? ? D.?0,10?∪(10,+∞)
? ?

解析:∵g(lgx)>g(1),g(x)=-f(|x|), ∴-f(|lgx|)>-f(1),∴f(|lgx|)<f(1). 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴|lgx|<1,∴-1<lgx<1, 1 ∴10<x<10,故选 C. 答案:C a 5.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 x+ 1 a 的取值范围是( ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)

解析:f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于 g(x),只有当 a>0 时, 它有两个减区间(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是 f(x)和

g(x)的减区间的子集即可,则 a 的取值范围是 0<a≤1. 答案:D m 6.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则M 的值为( 1 A.4 2 C. 2 ) 1 B.2 3 D. 2

? ?1-x≥0, 解析:由? 得函数的定义域是 {x|-3≤x≤1},y2=4+ ? ?x+3≥0

2 1-x· x+3=4+2 -?x+1?2+4,当 x=-1 时,y 取得最大值 M= 2 2; 当 x=-3 或 1 时,y 取得最小值 m=2, m 2 ∴M= 2 ,故选 C. 答案:C 7.[2014· 陕西]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增 函数是( )
1 2

A.f(x)=x

B.f(x)=x3 D.f(x)=3x

?1? C.f(x)=?2?x ? ?

解析:根据各选项知,选项 C、 D 中的指数函数满足 f(x+y)= f(x)· f(y).又 f(x)=3x 是增函数,所以 D 正确. 答案:D 8.若函数 y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则 m 的取值范围是 __________.

解析:画出图像易知 y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0],依题意应 有 m≤0.

答案:(-∞,0] ax+1 9.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取 x+2a 值范围是__________. ax+2a2-2a2+1 2a2-1 解析:f(x)= =a- , x+2a x+2a 其对称中心为(-2a,a).
2 2 ? ? ?2a -1>0, ?2a -1>0, ∴? ?? ?a≥1. ? ? - 2 a ≤ - 2 ? ?a≥1

答案:[1,+∞) 1 1 10.已知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ?

解析:(1)设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0,
?1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ? ?
2?

?

1?

1 1 x2-x1 =x -x = x x >0,
1 2 1 2

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, ? ? ? ? ?1 ? 又 f(x)在?2,2?上单调递增, ? ? ?1? 1 2 ∴f?2?=2,f(2)=2,解得 a=5. ? ?

B级

能力提升练

11.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 定义函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2-|x|.当 k=2时, 函数 fk(x) ? ?k,f?x?>k,

的单调递增区间为( A.(-∞,0) C.(-∞,-1)

) B.(0,+∞) D.(1,+∞) 1 画出 f2(x)的图像,如图

?1?|x| ? ? ? ,?x≤-1或x≥1?, ? ?2? 1 解析:f2(x)=? 1 ? ?2,?-1<x<1?.

所示.

1 由图像可知,f2(x)的单调增区间为(-∞,-1). 答案:C

2 ? ?x -4x+3,x≤0, 12. 已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(a2-4)>f(3a) ?-x -2x+3,x>0, ?

的解集为( A.(2,6) C.(1,4)

) B.(-1,4) D.(-3,5)

解析:作出函数 f(x)的图像,如图所示,则函数 f(x)在 R 上是单调 递减的.由 f(a2-4)>f(3a),可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0, 即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4),故 选 B. 答案:B
?f?x?,x>0, ? 13.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=? ? ?-f?x?,x<0.

若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解析:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1. ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵对任意实数 x 均有 f(x)≥0 恒成立,

? ?a>0, ∴? 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0. ? ?a>0, ? ∴? 2 ??a-1? ≤0. ?

∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
2 ? ?x +2x+1,x>0, ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1,x<0. ?

(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴ 2 ≤-2 或 2 ≥2,解得 k≤-2 或 k≥6. 故 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).
?x? 14.已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f?y? ? ?

=f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明;
?1? (3)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f? x?<2. ? ? ?x? 解析:(1)f(1)=f?x?=f(x)-f(x)=0. ? ? ?x? ?x2? x2 (2)设 0<x1<x2, 则由 f?y?=f(x)-f(y), 得 f(x2)-f(x1)=f?x ?, ∵x > ? ? ? 1?
1

?x2? 1,∴f?x ?>0. ? 1?

∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
?36? (3)∵f(6)=f? 6 ?=f(36)-f(6),∴f(36)=2. ? ?

原不等式化为:f(x2+3x)<f(36),

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, +3>0, ?x 1 ∴?x>0, ?x +3x<36,
2

解得 0<x<

3 17-3 . 2

故原不等式的解集为?0,
?

?

3 17-3? ?. 2 ?


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