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2013年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题


准考证号_________________________

2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
暨 2013 年吉林省高中数学联赛试题
(2013 年 5 月 19 日 星期日 上午 8:30---11:00) 题号 得分 评卷人 复核人 考生注意:本试卷共计 4 页,15 道题,满分 150 分 得分 一 二 三(12) 三(

13) 三(14) 三(15) 总 分

一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分)
本题共有 5 个小题,每小题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个 、 、 、 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或 多选一律得 0 分.

姓名 性别 (密封装订线内不要答题)

1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2? ? 3?
8 B. ? 3
2 2





C. 4? ?

2 3 ? 3

2 2 正(主)视图

2 2 侧(左)视图 俯视图

3 D. 2? ? ? 3

2.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?
学校

?
3

) ? cos( ?x ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ? 的值为(



A. 4

B.2

C.

1 2

D.

1 4

3.已知函数 f ( x) ? ax ? b( x ?[0,1]) ,则“ a ? 2b ? 0 ”是“ f ( x) ? 0 恒成立”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件



4.若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 | x | ? | y | ,则称函数 f ( x) 具有
县) (区、 市

性质 S ,那么下列函数中具有性质 S 的是 ( A. f ( x) ? e x ? 1 B. f ( x) ? ln( x ? 1)

) C. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? tan x

2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 1 页(共 4 页) 1

5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有 1 点和 6 点,2 点 和 5 点,3 点和 4 点) .开始时,骰子如图 1 那样摆放,朝上的点数是 2,最后翻动到如图 2 所示位置.现要求翻动次数最少,则最后骰子朝上的点数为 3 的概率为( A.
1 2

)
1 6

B.

1 3

C.

1 4

D.

得分

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 请将答案写在题中横线上,各小题只要求直接写出结果.

6.已知函数 f ( x) ? A cos( ?x ?

?
4

? ? )( A ? 0) 在 (0, ) 上是减函数,则 ? 的最大值是
8

.

7. 三棱锥 S ? ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90? , AC ? 2, BC ? 13 , SB ? 29 . 则直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为_____________. 8.椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ,若菱形 ABCD 的内切圆半径等 a 2 b2

6 ,则椭圆的离心率为 ______. 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 9.设 a, b 为两个非零向量,且 a ? 2, a ? 2b ? 2 ,则 a ? b ? b 的最大值是

于椭圆焦距的

_____



10.对于数列 {an } ,如果存在一个数列 {bn } ,使得对于任意的 n ? N ? ,都有 an ? bn ,则把

{bn } 叫做 {an } 的“弱数列”.设 an ? n3 ? n2 ? 2tn ? t 2 , bn ? n3 ? 2n 2 ? n ?
是 {an } 的“弱数列” ,则实数 t 的取值范围是 .

5 , (n ? N ? ) , 且 {bn } 4

11.圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形(实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周顺时针 滚动。经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过 的路径的长度为_______________.
(P) A D

D

C A B

C

2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 2 页(共 4 页) 2

得分

三、解答题
(本题共 4 道大题,其中 12 题 15 分,13、14、15 题每题 25 分,满分 90 分)

2 12.已知正数数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足: an ? an ? 2S n ? 0 , c n ? an bn,

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 b1 ? 1 2bn ? bn?1 ? 0(n ? 2, n ? N * ), ? 的前n项和Tn ; 求:数列 cn ? , (3)是否存在整数 m、M,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且 M ? m ? 4 ?说明理由.

13.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (1)求证 A, B, C 成等差数列; (2)若 b ? 3 ,求 2a + c 的最大值.

2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 3 页(共 4 页) 3

14. (1)已知 0 ? x ? 1 ,求证: x ?

3 ? 2x4 ? 2x ; 8

(2)已知 x, y, z ? 0 且 x ? y ? z ? 1 , 求 f ( x, y, z ) ? 2 x 4 ? y 2 ? z 的最大值和最小值.

15. 求方程 x 3 ? y 3 ? x 2 y 2 ? ( x ? y) 2 z ? 0 的所有非负整数解.

2013 年全国高中数学联赛 (吉林赛区) 预赛试题第 4 页 (共 4 页)

4

(密封装订线内不要答题)


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