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高中数学文第一章常用逻辑用语教案湘教版选修一


第一章
知识体系总览

常用逻辑用语

四种命题 命题及其关系 充分条件与必要条件 或 简单的逻辑联结词 且 非 或 量词 全称量词与存在量词 并集 交集 补集 全称量词 存在量词 含有一个量词的否定 运算

常 用 逻 辑 用 语

1.1 命题及其关系 1.1.1 命题的概念和例子 知识

梳理 命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 典例剖析 题型一 命题 例 1:下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? ①若 xy=1,则 x、y 互为倒数; ②相似三角形的周长相等; ③2+4=5 ④如果 b ≤-1,那么方程 x ? 2bx ? b ? b ? 0 有实根;
2 2

⑤若 A ? B ? B ,则 B ? A ; ⑥3 不能被 2 整除; 解:这些语句都是陈述句,且它们都能判断真假,所以上述语句都是命题。其中①④⑥为真命题, ②③⑤为假命题。 评析:一般地,我们用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句,叫做命题。其中判断 为正确的命题,为真命题;判断为不正确的命题,为假命题。 题型二 命题的真假
用心 爱心 专心

例 2:判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; ④如果两个三角形不相等,那么它们不全等; 解:命题①④为真,②③为假;①与②、③与④条件和结论互逆,①与③、②与④条件和结论互否, 评析:根据学过的知识判断命题的真假。 备选题 2 2 例 3:已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 和 q 都为假 命题,求 m 的取值范围.

?? ? m 2 ? 4 ? 0, 2 解:若方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根,则 ? ?m ? 0.
解得 m>2,即 p:m>2. 2 若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 2 2 则Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0.解得 1<m<3, 即 q:1<m<3. ∵p 和 q 都为假命题, ∴?

?m ? 2, ,解得 m≥3. ?m ? 1或m ? 3

评析:先求出真命题的范围,再求假命题的范围。 点击双基 1、下若 A 为全体正实数的集合, B ? ??2, ?1,1,2? 则下列结论正确的是( A. A ? B ? ?2, ?1 ? C. A ? B ? (0, ??) )

?

B. (CR A) ? B ? (??,0) D. (CR A) ? B ? ?2, ?1 ?

?

解: ?R A 是全体非正数的集合即负数和 0,所以 (?R A) ? B ? ?2, ?1 ,故选 D ? 2、下列命题中的真命题是( A
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?



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3 是有理数
2

B

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2 2 是实数

C

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e 是有理数

D

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?x | x是小数? ? ?

R

解: 2

属于无理数指数幂,结果是个实数; 3 和 e 都是无理数; x | x是小数 ? R ,故选 B

3、下列语句不是命题的有

①x2-3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗 ③3+1=5 ④5x-3>6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
用心 爱心 专心

解:①④在不给定变量值之前,无法判定真假;②不是陈述句,不涉及真假. 故选 C 2 4、判断命题的真假性: 若 m>0,则方程 x -x+m=0 有实根 (答对或错) 解: ? ? 1 ? 4m ? 0, m ?
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1 ,故命题为假命题,答:错。 4

5、给定下列命题,其中真命题为

①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ③矩形的对角线相等; ④若 xy ? 0 ,则 x、y 中至少有一个为 0.
解:∵①Δ =4-4(-k)=4+4k>0,∴①是真命题;②、③、④是真命题. 课外作业 一、选择 1、设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则下面论断正确的是 A. CI S1 ? S 2 ? S3) ? ( ? C. CI S1 ? CI S 2 ? CI S 3) ? ? 解:∵ 痧 2 ? I S3 ? IS
I

( B. S1 ? CI S2 ? CI S3) ( D. S1 ? CI S2 ? CI S3)
S2

(S2 ? S3 ) 所表示的部分是图中蓝色

的部分, ?I S1 所表示的部分是图中除去 S1 的部分, ∴ 痧 1 ? I S2 ? ?I S3 ? 痧 1 ? ( I S2 ? I S3) ? ,故选 C. ? IS IS 2、 a ? b ? 0 ”的含义为 “ A. a , b 不全为 0
2 2

S1 S3
( )

B. a , b 全不为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0

C. a , b 至少有一个为 0 解: a , b 全为 0 不对,故选 A 3、给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
用心 爱心 专心

其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

解:①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 4、设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? 解:对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,故选 C. 5、已知函数 f(x)= A.0≤k< )

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

3 4

kx ? 7 ,对所有的 x ? R 都有意义,则 k 的取值范围是 kx ? 4kx ? 3 3 3 3 B.0<k< C.k<0 或 k> D.0<k≤ 4 4 4
2

( )

2 解: kx ? 4kx ? 3 ? 0 无解, k ? 0 或 ?

?k ? 0 ?16k ? 12k ? 0
2
2

, 0?k ?

3 ,故选 A 4

6、下列命题是真命题的是(

) B.若 x ? 1 ,则 x ? 1

1 1 A.若 ? ,则 x ? y x y
C.若 x ? y ,则 x ? 解:由

y

2 2 D.若 x ? y ,则 x ? y

1 1 ? 得 x ? y ,而由 x2 ? 1 得 x ? ?1 ,由 x ? y , x , y 不一定有意义,而 x ? y 得不到 x y 2 x ? y2 故选 A.

7、有如下三个命题: (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; (2)垂直于同一个平面的两条直线是平行直线; (3)过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂直. 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 解: (2)(3)对,故选 C 、

D.3

8、设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? , 则 ? ∥ ? ;

用心

爱心

专心

③若 ? ∥ ? , l ? ? , 则 l ∥ ? ; ④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l ∥ ? , 则 m∥n. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解: (1)由面面垂直知,不正确; (2)由线面平行判定定理知,缺少 m、n 相交于一点这一条件,故不正确; (3)由线面平行判定定理知,正确; (4)由线面相交、及线面、线线平行分析知,正确。 综上所述知, , (3)(4)正确,故选 B。 二、填空 9、不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是 解 :

?a ? 2 a ? 2或? , a ? (?2,2] 。 ?? ? 0
10、若“ x ? ? 2,5? 和 x ??x | x ? 1或x ? 4? ”都是真命题,则 x 的范围是__________ 解: x ? ? 2,5? 和 x ? x | x ? 1或x ? 4 都是真命题,则 ? 11、给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是 (1) (2) (3) (4) 若 cos? ? cos ? , 则? ? ? ? 2k? , k ? Z ; 函数 y ? 2 cos( 2 x ?

?

?

? x ? 1, 或x ? 4 , x ? (4, 5] ?2 ? x ? 5


?
3

) 的图象关于 x=

? 对称; 12

函数 y ? cos(sin x)(x ? R) 为偶函数; 函数 y ? sin | x | 是周期函数,且周期为 2 ? ;

解: (1)中的角 ?与? 终边相同或关于 x 轴对称; (2)中把相位 2 x ?

?
3

看成一个整体,解

2x ?

?
3

? k? , k ? Z , 得对称轴方程的一般形式为 x ?

1 ? k? ? , k ? Z , (4)中注意到 | x | 现象, 2 6

偶函数而失去了周期性。故不正确命题的序号是(1) (4) (2) 三、解答 12、判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (2) ?x ? N , x ? x
3 2

用心

爱心

专心

(3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根 (4)存在一个三角形没有外接圆
2
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解: (1)为假命题,反例: 1 ? 4,或5 ? 2,而1 ? 5 ? 4 ? 2 (2)为假命题,反例: x ? 0, x3 ? x2 不成立 (3)为真命题,因为 m ? 1 ?? ? 4 ? 4m ? 0 ? 无实数根 (4)为假命题,因为每个三角形都有唯一的外接圆 1 13、已知 A:|5x-2|>3,B: 2 >0,若 A、B 都是假命题,求 x 的取值范围。 x ? 4x ? 5
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解:化简 A、B 得 A:{x|x<- 或 x>1},B:{x|x<-5 或 x>1}. ∴A 为假命题:{x|- ≤x≤1}, B 假命题:{x|-5≤x≤1}.
A, B 都是假命题
1 x ? [? , 1] . 5
2 14、 P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根;

1 5

1 5

2

如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围。 解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?a ? 0 ?
2

?? ? 0

? 0 ? a ? 4;
关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 1 ;
4

1 1 ? ? a ? 4; 4 4 1 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? ? a ? 0 。 4
如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? 。 ? ?
?4 ?

思悟小结 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句,叫做命题.其中判断为正确的命题,为 真命题;判断为不正确的命题,为假命题. 一个命题由条件和结论两部分组成,有时需要改写命题
用心 爱心 专心

形式,才可以分清条件和结论。 1.1.2 命题的四种形式 知识梳理 命题的四种形式与相互关系 原命题:若 P 则 q; 互 逆 原命题 逆命题 若 p则 q 若 q则 p 逆命题:若 q 则 p; 互 否 为 否命题:若┑P 则┑q; 逆 互 互 逆否命题:若┑q 则┑p 否 否 逆 为 否 原命题与逆否命题互为逆否,同真假; 互 逆否命题 否命题 逆命题与否命题互为逆否,同真假; 若 ┐q则 ┐p 若 ┐p则 ┐q 逆 互 典例剖析 题型一 命题的四种形式 例 1 写出命题“若 a=0,则 ab=0”的逆命题、否命题与逆否命题。 解:原命题:若 a=0,则 ab=0; 逆命题:若 ab=0,则 a=0; 否命题:若 a≠0,则 ab≠0; 逆否命题:若 ab≠0,则 a≠0; 评析:按照命题的四种形式的结构写逆命题、否命题与逆否命题。 题型二 命题的四种形式及他们之间的真假关系 例 2 把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们 的真假。 (1)全等三角形的对应边相等; (2)四条边相等的四边形是正方形; 解: (1)若两个三角形全等,则两个三角形的对应边相等; (真) 逆命题:若两个三角形的对应边相等,则两个三角形全等; (真) 否命题:若两个三角形不全等,则两个三角形的对应边不相等 (真) 逆否命题:若两个三角形的对应边不相等,则两个三角形不全等; (真) (2)原命题可以写成:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; (假) 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; (真) 否命题:若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; (真) 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; (假) 评析:找出原命题的条件 p 和结论 q 就可以写出另外三个命题,原命题与逆否命题互为逆否,同真 假;逆命题与否命题互为逆否,同真假。 备选题
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例 3:写出命题“若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0, 则x ? 2且y ? ?1 ”的逆命题、否命题、逆否命题,并 判断它们的真假. 解:逆命题:若 x ? 2且y ? ?1, 则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0; 真命题
用心 爱心 专心

否命题:若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0, 则x ? 2或y ? ?1 ;真命题 逆否命题:若 x ? 2或y ? ?1, 则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0; 真命题 评析: “且”的否定是“或” “或”的否定是“且” ; 。 点击双基 1、下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “
2 2 2 2

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解:否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性,故选 D 2、命题“若 p 不正确,则 q 不正确”的逆命题的等价命题是( )

B. 若 q 不正确,则 p 正确 D. 若 p 正确,则 q 正确 解:逆命题的等价命题是原命题的否命题,故选 C.
2 3、在命题“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的

A. 若 q 不正确,则 p 不正确 C. 若 p 正确,则 q 不正确

?

?

逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A 都真 B 都假 C 否命题真 D 逆否命题真 解:原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题,故选 D 4、把命题“对顶角相等”改写成“若 p 则 q”结构是 解:若两角是一对对顶角,则它们相等 5、命题“若△ ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 解:若△ ABC 的两个内角相等,则它是等腰三角形 课外作业 一、选择
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1、命题“若 x ? y, 则x ? y ”的逆命题,否命题和逆否命题中,假命题的个数为( )
2 2

A0 B1 C2 解:原命题真,逆命题假,故选 C 2、命题“如果 x ? a 2 ? b2 , 那么 x ? 2ab ”的逆否命题是(
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D3
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)。

A. 如果 x ? a 2 ? b2 , 那么 x ? 2 ab C. 如果 x ? 2ab 那么 x ? a 2 ? b2 ,

B. 如果 x ? 2ab 那么 x ? a 2 ? b2 D. 如果 x ? a 2 ? b2 那么 x ? 2 ab

用心

爱心

专心

解:逆否命题是如果 x ? 2 ab 那么 x ? a 2 ? b2 , ,故选 C 3、有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( ) A ①② B ②③ C ①③
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D

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③④

解:若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数,为真命题,则逆否命题也为真; “全等三角形的面积相等”的 否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题;若 q ? 1 ? 4 ? 4q ? 0, 即 ? ? 4 ? 4q ? 0 , 则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根,为真命题,故选 C
2

4、命题: “若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是(
2 2



A. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

B. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

C. 若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

D. 若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

解: a ? b ? 0 的否定为 a , b 至少有一个不为 0 ,故选 D 5、命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解:因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数的平方是 正数,则它是负数” 故选 B , 6、对于命题“正方形的四个内角相等” ,下面判断正确的是 A.所给命题为假 C.它的逆命题为真 解:原命题为真,故选 C 7、下列四个命题中真命题是( )
用心 爱心 专心

B.它的逆否命题为真 D.它的否命题为真

①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题 ; ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ; ③“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题 ; ④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命题。 A ①② B ②③ 解: ①②③为真,故选 C
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C ①②③
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D ③④
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8、设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ,则原命题与其逆命题的真假情 况是( A C
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) B D
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原命题真,逆命题假 原命题与逆命题均为真命题

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原命题假,逆命题真 原命题与逆命题均为假命题

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解:因为原命题若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 的逆否命题为,若 a , b 都小于 1 ,则

a ? b ? 2 显然为真,所以原命题为真;原命题若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 的逆
命题为,若 a , b 中至少有一个不小于 1 ,则 a ? b ? 2 ,是假命题,反例为 a ? 1.2, b ? 0.3 ,故选 A 二、填空 9、 “△ ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 都是锐角”的否命题为
0



解:若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角
0

条件和结论都否定

10、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”命题的逆命题是 解:逆命题:两个全等三角形面积相等。 (真命题) 11、有下列四个命题: ①、命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③、命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④、命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题 其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号) 解:①,②,③ A ? B ? B ,应该得出 B ? A 三、解答 12、设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc” ,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判 断它们的真假. 解:逆命题:当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b.它是真命题; 否命题:当 c>0 时,若 a ? b,则 ac ? bc.它是真命题;
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用心

爱心

专心

逆否命题:当 c>0 时,若 ac ? bc,则 a ? b.它是真命题. 13、把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出 它们的真假。 (1)两个全等的三角形的三边对应相等; (2)四边相等的四边形是正方形; (3)负数的平方是正数; 解: (1)原命题可以写成:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等; (真) 逆命题:若两个三角形的三边对应相,则这两个三角形全等; (真) 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不是三边对应相等; (真) 逆否命题:若两个三角形不是三边对应相等,则这两个三角形不全等; (真) (2)原命题可以写成:若一个四边形四边相等,则它是正方形; (假) 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; (真) 否命题:若一个四边形四边不相等,则它不是正方形; (真) 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; (假) (3)原命题可以写成:若一个数是负数,则它的平方是正数; 逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数. 另解:原命题可写成:若一个数是负数的平方,则这个数是正数; (真) 逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方; (假) 否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数; (假) 逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方. (真) 14、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)若 x>0 则 x2>0; (2)若 x2= y2 则 x= y。 (3)在三角形 ABC 中,若 A>B,则 BC>AC; 解: (1)原命题:“若 x>0 则 x2>0”为真, ; 逆命题:“若 x2>0 则 x>0”为假, ; 否命题:“若 x≤0 则 x2≤0”为假,; ; 逆否命题:“若 x2≤0 则 x≤0”为假,。 。 (2)原命题:“若 x2= y2 则 x=y”为假, ; 逆命题:“若 x= y 则 x2=y2”为真, ; 否命题:“若 x2≠y2 则 x≠y”为真, ;

用心

爱心

专心

逆否命题:“若 x≠y 则 x2≠y2”为假, 。 (3)原命题:在三角形 ABC 中,若 A>B,则 BC>AC 为真, 逆命题:在三角形 ABC 中,若 BC>AC,则 A>B 为真, 否命题:在三角形 ABC 中,若 A≤B,则 BC≤AC 为真, 逆否命题:在三角形 ABC 中,若 BC≤AC,则 A≤B 为真, 思悟小结 命题 “若 p 则 q” 中的“p”、 “q”、 " ?p " 、 " q " 是原命题,逆命题,否命题,逆否命题 中的条件和结论.

1.1.3 充分条件和必要条件
知识梳理 判断充要条件关系的四种方法: ①定义法:若 p ? q , 则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件。
? ? ②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 p ? q 等价于 q ? p

③利用集合的包含关系:对于集合问题,记条件 p 、 q 对应的集合分别为 A 、 B 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分不必要条件, q 是 p 的必要不充分条件; 若 A ? B ,则 A 是 B 的充要条件; 若 A à B 且 B à A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ④利用“ ? ”传递性 典例剖析 题型一 充分条件与必要条件 例 1:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件: (1)p:x>2,q:x>1; (2)p:x>1,q:x>2; (3)p:x>0 ,y>0,q:x+y<0; 2 2 (4)p:x=0,y=0,q:x +y =0. 解: (1)∵x>2 ? x>1,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)∵x>1 x>2,但 x>2 ? x>1,∴p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件. (3)∵x>0 ,y>0 x+y<0,x+y<0 x>0 ,y>0,∴p 不是 q 的充分条件,p 也不是 q 的必要条件;q 不是 p 的充分条件,q 也不是 p 的必要条件. 2 2 2 2 (4)∵x=0,y=0 ? x +y =0,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;又 x +y =0 ? x=0,y=0,∴ q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件.
用心 爱心 专心

评析:在问题⑷中,p 既是 q 的充分条件,p 又是 q 的必要条件,此时,我们统说,p 是 q 的充分必 要条件,简称充要条件. 题型二 充要条件 例 2:指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件? (1) p:x-1=0;q:(x-1)(x+2)=0. (2) p:两条直线平行;q:内错角相等. (3) p:a>b;q:a2>b2 (4)p:四边形的四条边相等;q:四边形是正四边形. 分析:可根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断. 解:⑴由 p ? q,即 x-1=0 ? (x-1)(x+2)=0,知 p 是 q 的充分条件不必要条件; ⑵由 p ? q,即两条直线平行 ? 内错角相等,知 p 是 q 的充要条件; ⑶由 p q, a>b 即 a2>b2, p 不是 q 的充分条件, 不是 p 的必要条件; p, a2>b2 a>b, 知 q q 即 知 q 不是 p 的充分条件,p 不是 q 的必要条件. 综述:p 是 q 的既不充分条件又不必要条件。 ⑷由 q ? p,即四边形是正四边形 ? 四边形的四条边相等,知 q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要 条件. 由 p q,即四边形的四条边相等 四边形是正四边形,知 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条件; 综述:p 是 q 的必要不充分条件。 评析:以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么,如果由命题不是很好 判断的话,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断. 备选题 例 3:求证实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 有两个异号根的充要条件是 q ? 0.
2

证明: (1)先证充分性 ∵ q ? 0. ∴方程 x ? px ? q ? 0 的 ? ? p ? 4q ? 0
2 2

∴方程 x ? px ? q ? 0 有两个不相等的实根,设其为 x1,x2 。
2

∵ x· x2 ? q ? 0 1 ∴方程 x ? px ? q ? 0 有两个异号实根
2

(2)再证必要性 ∵方程 x ? px ? q ? 0 有两个异号实根,设其为 x1,x2
2

∴ x· x2 ? 0 1
用心 爱心 专心

∵ x· x2 ? q 1 ∴q ? 0 由(1) (2)原命题得证。 评析 首先要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明的命题,分清这里的条件和结论各是什么。 、 证明充分必要条件,实际上需要证明原命题和逆命题都成立。它亦等价于证明: (1)原命题和否命 题都成立; (2)逆否命题和逆命题都成立; (3)逆否命题和否命题都成立。这种等价转换的思想, 就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化. 点击双基 1、 x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解:由 x ? 1 ? 2 得 ?1 ? x ? 3 ,故选 A. 2、“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解:对于“ x ? 0 ” ? “ x ? 0 ”;反之不一定成立,因此“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的充分而不必要条件.故 选A 3、 “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解:若 x ? y ? 0与x ? ay ? 0 互相垂直,则 x ? ay ? 0 的斜率必定为 1, a ? 1 ,反之显然, 故选 C 4、若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的

?

条件

解:必要不充分条件 5、 0 ? x ? 5 是 | x ? 2 |? 3 的

条件.

解: | x ? 2 |? 3 的解集为 ?1 ? x ? 5 ,充分不必要条件 课外作业 一、选择
用心 爱心 专心

1、 x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解:由 x ? 1 ? 2 得 ?1 ? x ? 3 ,由 x( x ? 3) ? 0 得 0 ? x ? 3 ,故选 B. 2、 x ? y ”是“ x ? y ”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解:因 x ? y ? x ? y 但 x ? y ? x ? y ,故选 B。 3、设集合 A={x|

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件 解:由

x ? 0 得 0 ? x ? 1 ,可知“ m ? A ”是“ m ? B ”的充分而不必要条件,故选 A x ?1


2 4、 a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的(

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2 解:当 ? ? 2 ? 4a ? 0 ,得 a<1 时方程有根。a<0 时, x1 x 2 ?

1 ? 0 ,方程有负根,又 a=1 时, a

方程根为 x ? ?1 ,故选 B 5、有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件
2 2
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②a ? b ? 0是 )

1 1 ? 的充要条件 a b

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③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件
3 3

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则其中正确的说法有( C
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A

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0个

B
2

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1个
2

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2个

D

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3个

解: ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件,故选 A 6、已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的(
2



用心

爱心

专心

A C

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充分不必要条件 B 充要条件 D

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必要不充分条件 既不充分也不必要条件

解: ?p : x ? 1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2

?p ? ?q ,充分不必要条件,故选 A
7、设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A . a ? ? ,b // ? , ? ? ? C. B . a ? ? , b ? ? , ? // ? D.

a ? ? , b ? ? , ? // ?

a ? ? ,b // ? , ? ? ?

解:A、B、D 直线 a , b 可能平行,故选 C. 8、在△ ABC 中, A ? 30? ”是“ sin A ? “ A C
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1 ”的( 2



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充分不必要条件 充要条件
0

B D

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必要不充分条件 既不充分也不必要条件

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0 解: 当 A ? 170 时, sin170 ? sin10 ?
0

1 ,所以“过不去” ;但是在△ ABC 中, 2

sin A ?

1 ? 300 ? A ? 1500 ? A ? 300 ,即“回得来” 故选 B , 2

二、填空 9、命题“p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形”中,p 是 q 的 条件(在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种) 解:必要不充分条件。 10、用“充分、必要、充要”填空:

A : x ? 2 ? 3 , B : x2 ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件
解: A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B ,充分条件

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11、用“充分”或“必要”填空,并说明理由: ①“a 和 b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 条件; ②“x>5”是“x>3”的 条件; ③“x ? 3”是“|x| ? 3”的 条件; ④“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 条件; ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件; 2 2 ⑥对于一元二次方程 ax +bx+c=0(其中 a,b,c 都不为 0)来说, -4ac ? 0”是“这个方程有两个 “b 正根”的 条件; 解:①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 三、解答
用心 爱心 专心

12、 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件, a 的 求 取值范围
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解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

?

?

q : x2 ? 2x ?1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ?x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 ?a ? 0 ?
2 2

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13、已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},若 A 是 B 的必要不充分条件,求实数 m 范围。 解:化简条件得 A={1,2},A 是 B 的必要不充分条件,即 A∩B=B ? B ? A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B=φ 时,△=m -8<0 ∴ ?2 2 ?m?2 2
?? ? 0 当 B={1}或{2}时, ? ,m 无解 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? m 当 B={1,2}时, ? ?1 ? 2 ? 2
2

∴ m=3 综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 14、设 A={x|-2≤x≤a} ,B={y|y=2x+3,x∈A} ,M={Z|Z=x ,x∈A}.求使 M ? B 的充要条件是
2

什么? 2 解:∵A={x|-2≤x≤a},M={Z|Z=x ,x∈A}. ∴B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}. 2 当-2≤a<0 时,M={Z|a ≤Z≤4}. 当 0≤a≤2 时,M={Z|0≤Z≤4}. 2 当 a>2 时,M={Z|0≤Z≤a }. 1 ∴当-2≤a<2 时,M ? B ? 4≤2a+3,即 ≤a≤2; 2 2 当 a>2 时,M ? B ? a ≤2a+3,即 2<a≤3. 1 综上可知,所求的充要条件为 ≤a≤3. 2 思悟小结 1. 判断充要关系的关键是分清条件和结论;
用心 爱心 专心

2. 判断“ p 是 q 的什么条件”的本质是判断命题“若 p ,则 q ”及“若 q ,则 p ”的真假;
3.充分不必要条件,即 p ? q,而 q p. 必要不充分条件,即:p q,而 q ? p. 既充分又必要条件,即 p ? q,又有 q ? p. 既不充分又不必要条件,即 p q,又有 q

p.

1.2 简单的逻辑联结词
1、2、1 逻辑联结词“非”“且”和“或” 、
知识梳理 1、联结词“非” 设 p 是一个命题,非是对命题 p 作否定。得到命题“非 p”记为:┐p 补集)(区别:否命题同 。 时否定条件和结论,命题的否定只否定结论) 例如:矩形的对角线相等的否命题不是矩形的对角线不相等。其命题的否定为矩形的对角线不 相等。 2、联结词“且” 联结两个命题 p、q 得到新命题“p 且 q”,记为 p∧q(交集) 3、联结词“或” 联结词“或”用来联结两个命题 p、q 得到新命题“p 且 q” ,记作 p∨q (并集) 4、常用小写拉丁字母 p、q、r、s??表示简单命题,复合命题的构成形式是:p 或 q; p 且 q;非 p。 “非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真,其他情况为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况为真。 典例剖析 题型一 联结词“非” 例 1:写出下列命题 p 的否定┐p。 (1)p:∏是大于 5 的实数。 (2)p:矩形的对角线互相垂直。 (3)p:16 不是 5 的倍数。 解: (1) ┐p :∏是不大于 5 的实数。 (2)┐p : 矩形的对角线不互相垂直。 (3)┐p :16 是 5 的倍数。 评析:命题的否定只否定结论,注意与否命题的区别。 题型二 联结词“且” 例 2:根据下列命题中的 p、q,写出命题 p∧q 并判断其真假。
用心 爱心 专心

(1)p:矩形的对角线互相平分 。 q:矩形的对角线互相垂直。 2 2 (2)p:函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增 。 q:函数 y=x 在(-∞,0)上单调递减 解:(1) p∧q :矩形的对角线互相垂直平分。 p 是真命题,q 是假命题,p∧q 是假命题 2 (2)p∧q :函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减 p 是真命题,q 是真命题 ,p∧q 是真命题。 评析:当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p∧q 为假。 备选题 例 3:根据下列命题的 p、q 写出命题“p∨q” ,并判断其真假。 (1) p:5 是集合{2,3,4}中的元素。 q:3 是集合{2,3,4}中的元素。 2 2 (2) p:方程 x +x-1=0 有两个正实数根。q:方程 x +x-1=0 有两个负实数根 解: (1)p∨q:集合{2,3,4}中含有数 5 或 3 2 (2)p∨q:方程 x +x-1=0 有两个正实数根或两个负实数根 评析:当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p∨q 为假。 点击双基 1、若命题“ p ? q ”为假,且“ ? p ”为假,则( A
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) D
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p 或 q 为假

B

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q假

C

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q真

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不能判断 q 的真假

解: ? p ”为假,则 p 为真,而 p ? q (且)为假,得 q 为假,故选 B “ 2、对命题 p:A∩ ? = ? ,命题 q:A∪ ? =A,下列说法正确的是 ( )

A.p 且 q 为假 B.p 或 q 为假? C.非 p 为真 D.非 p 为假 解:命题 p、命题 q 都为真,故选 D 3、若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则 ( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 解:由“非 p”为真可得 p 为假,若同时“p 或 q”为真,则可得 q 必须为真,故选 B. 4、由命题 p:不等式 x2+2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}、q:不等式 x2+2x?8<0 的解集是:{x| x<?4 或 x> 2}构成的“p 或 q”形式的复合命题是 解:p 或 q:不等式 x2+2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}或{x| x<?4 或 x> 2} 5、若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为 解: “非 p”“平行四边形不一定是菱形” : . 课外作业 一、选择 1、若命题 p: 0 是偶数,命题 q: 2 是 3 的约数.则下列命题中为真的是( )? A.p 且 q B.p 或 q ? C.非 p D.非 p 且非 q ? 解:命题 p 为真,命题 q 为假,故选 B 2、 “至多有三个”的否定为 ( ) A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 解:这是一个含有量词的命题的否定,故选 B
用心 爱心 专心

3、如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么(



A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 解:由“p 且 q”是假命题可知,p 和 q 至少有一个是假命题,由“p 或 q”是假命题可 知,p 和 q 都是假命题.这样“非 p”和“非 q”就都是真命题,故选 D 4、给出命题:p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p 且 q” “p 或 q”“非 p”中,真命题的个数为( ) A.0 B.3 C.2 D.1 解:因为 p 真 q 假,可知:“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,“非 p”为假,故选 D
5、已知: p 且 q 为真,则下列命题中的假命题是: ( ①p;②p 或 q; ③p 且 q; ④ q A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ ┓ 解:由 p 且 q 为真,得 p 假 q 真,故选 C 6、已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是 A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) ( ) D. (?p) ? (?q)
┓ ┓



解:由已知得 p 真 q 假,故选 D 7、已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x2 ,则 ? p 是 ? q 的( A C
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充分不必要条件 B 充要条件 D

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必要不充分条件 既不充分也不必要条件
2 2

解: ?p : x ? 1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x , x ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2

?p ? ?q ,充分不必要条件,故选 A
8、命题 p : 若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1 是 a ? b ? 1的充分而不必要条件; 命题 q : 函数 y ? A
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x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ??, ?1? ? ?3, ??? ,则(
B
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) D
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“ p 或 q ”为假

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“ p 且 q ”为真

C

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p 真q 假

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p 假q 真

解:当 a ? ?2, b ? 2 时,从 a ? b ? 1 不能推出 a ? b ? 1,所以 p 假, q 显然为真 故选 D 二、填空 9、命题 p: “平行四边形对角线相等” “平行四边形对角线互相平分”构成的 、q:
用心 爱心 专心

“p 且 q”形式的复合命题是 解: p 且 q:平行四边形对角线相等且互相平分 10、命题 p: “方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? ?2 ” q: 、 “方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? 1 ”构成的“p 或 q”形式的命题是 。 2 2 解: p 或 q:方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? ?2 或方程 x ? x ? 2 ? 0 的解 x ? 1 11、分别用“p 或 q”“p 且 q”“非 p”填空.

(1)命题“ 3 的值不超过 2”是_______形式; (2)命题“方程(x-2)(x-3)=0 的解是 x=2 或 x=3”是_______形式; (3)命题“方程(x-2)2+(y-3)2=0 的解是 ?
? x ? 2, ”是_______形式. ?y ? 3

解:(1)非 p (2)p 或 q (3)p 且 q 三、解答 12、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题: (1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员; (3)平行线不相交 解: (1)中的命题是 p 且 q 的形式,其中 p:24 是 8 的倍数;q:24 是 6 的倍数. (2)的命题是 p 或 q 的形式,其中 p:李强是篮球运动员;q:李强是跳高运动员. (3)命题是非 p 的形式,其中 p:平行线相交。 13、分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q、p 且 q、非 p 形式的复合命题的真假: (1)p:2+2=5; q:3>2 (2)p:9 是质数; q:8 是 12 的约数; (3)p:1∈{1,2}; q:{1} ? {1,2} (4)p: ? ? {0}; q: ? ? {0} 解:①p 或 q:2+2=5 或 3>2 ;p 且 q:2+2=5 且 3>2 ;非 p:2+2 ? 5. ∵p 假 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ②p 或 q:9 是质数或 8 是 12 的约数;p 且 q:9 是质数且 8 是 12 的约数;非 p:9 不是质数.∵p 假 q 假,∴“p 或 q”为假, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ③p 或 q:1∈{1,2}或{1} ? {1,2};p 且 q:1∈{1,2}且{1} ? {1,2};非 p:1 ? {1,2}.∵p 真 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为真, “p “非 p”为假. ④p 或 q:φ ? {0}或φ ={0};p 且 q:φ ? {0}且φ ={0} ;非 p:φ ? {0}. ∵p 真 q 假,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为假.
2 2

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 14、设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? 2 . ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?
(Ⅰ a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; )若 (Ⅱ ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. )若
用心 爱心 专心

解: 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,
2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?
若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (Ⅱ ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q ) 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ?p , ?

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 思悟小结 1. “否命题”与“命题的否定”的区别: 否命题是对原命题“若 p 则 q ”的条件 p 和结论都否定,即“若 ? p 则 ? q ” ; 而原命题的否定是: “若 p 则 ? q ” ,即只是否定原命题的结论。 2.一些关键词的否定: 正面 语词 否定 或 等 于 不 等 于 大于 小于 是 都是 至少一个 一个也 没有 至多 一个 至少 两个



不大于 不小于 (小于等于) (大于等于)

不是

不都是

3. “非 p”形式的复合命题真假: 当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. (真假相反) p 非p 真 假 4. 且 q”形式的复合命题真假: “p 当 p、q 为真时,p 且 q 为真; p 真 真 假 假 假 真 当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。 (一假必假) q p且q 真 假 假 假

真 假 真 假

5. 或 q”形式的复合命题真假: “p 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。 p q
用心

P或q
爱心 专心

真 真 假 假

真 假 真 假

真 真 真 假

(一真必真)

1.2.2 全称量词与存在量词

知识梳理 1、 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有 些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为 “ ? ”与“ ? ”来表示) ;由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存 在性命题的逻辑关系中, p ? q, p ? q 都容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 一般地,全称命题 P:? x?M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 为:?x∈M,使 P(x)不成立。 存在性命题 P:?x?M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x?M,有 P(x)不成立。 用符号语言表示: P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) 2、关键量词的否定 词语 词语的否 定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且

不是

一定不是

不都是 至多有一 个

小于或等于

大于或等于 所有 x 不成 立



必有一个 至少有 n 个

所有 x 成立

词语的否 一个也没 至多有 n-1 至少有两 存在一个 x 不 存在有一个 定 有 个 个 成立 成立 典例剖析 题型一 全称命题的否定 例 1:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x?R,x2-2x+1≥0 解: (1)? x ? M,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形; ?x ? M,?p(x)
用心 爱心 专心

(2) ?x ? M,p(x),否定:存在一个素数不是奇数; ?x ? M,?p(x) (3) ?x ? M,p(x),否定:?x?R,x2-2x+1<0; ?x ? M,?p(x) 评析:具体操作中把命题 P 的全称性量词改成存在性的量词,并把结论否定。从命题形式上看,这 三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 题型二 存在性命题的否定 例 2:写出命题的否定 2 (1)p:? x∈R,x +2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; 解: (1)? x?R,x2+2x+2>0; (2)任何三角形都不是等边三角形; (3)任何函数都有反函数; (4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分; 评析:把命题 P 的存在性量词改成全称性的量词,并把结论否定。 备选题 例 3:写出下列命题的否定。 (1) 若 x2>4 则 x>2.。 (2) 若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 (3) 可以被 5 整除的整数,末位是 0。 (4) 被 8 整除的数能被 4 整除。 (5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
2 解(1)否定:存在实数 x0 ,虽然满足 x0 >4,但 x0 ≤2。或者说:存在小于或等于 2 的数 x0 , 2 足 x0 >4。 (完整表达为对任意的实数 x, 若 x2>4 则 x>2) 2 (2)否定:虽然实数 m≥0,但存在一个 x0 ,使 x0 + x0 -m=0 无实数根。 (原意表达:对任意实数



m,若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 ) (3)否定:存在一个可以被 5 整除的整数,其末位不是 0。 (4)否定:存在一个数能被 8 整除,但不能被 4 整除.(原意表达为所有能被 8 整除的数都能被 4 整除) (5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。 (原意表达为无论 哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。 ) 评析:有些全称量词与存在性量词需要把命题进行完整表达后,才可写出否定。 点击双基 1、下列命题中,真命题是 . A. ?x ? R, sin x ? cos x ? 1.5
用心





B. ?x ? (0, ? ?), ex ? 1
爱心 专心

C. ?x ? R, x2 ? x ? 1 解:检验可得,故选 B

D. ?x ? (0, ? ), sin x ? cos x

2、命题“存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m ≤ 0 ”的否定是(
2



A. 存在 x ? Z 使 x ? 2 x ? m ? 0 C. 对任意 x ? Z 使 x 2 ? 2 x ? m ≤ 0
2

B. 不存在 x ? Z 使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 D. 对任意 x ? Z 使 x 2 ? 2 x ? m ? 0

2 解:否定是:对任意 x ? Z 使 x ? 2 x ? m ? 0 ,故选 D.

3、已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1



B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

解: ? p 是对 p 的否定,故有: ?x ?R, sin x ? 1 ,故选 C

4、若命题 P: ?x ? R, x ? 1 ? 0, 则命题 P 的否定
2

.

解: ?x ? R, x ? 1 ? 0
2
王新敞
奎屯 新疆

5、以下为真命题的序号是 (1) ?x ? R, x ? x
2

(2) ?x ? R, x ? x
2

(3) ?x ? Q, x ? 8 ? 0
2

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0
2

解: (1)真; (2)假; (3)假; (4)真。答: 、 (1)(4) 课外作业 一、选择 1、已知命题 p : ?x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为 A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x ( )

B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x

解: p 的否定形式为: ?p : ?x ? R , x ? sin x ,故选 C 2、以下错误的是( ) 2 2 A. “对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; ”的否定为: “存在一个实数 x,使得 x -2x+1<0” 2 2 B. “存在一个实数 x,使得 x -9=0” 的否定为: “不存在一个实数 x,使得 x -9=0” C. “AB∥CD”且“AB=CD” 的否定为: “AB 不平行于 CD 或 AB≠CD”
用心 爱心 专心

D. “△ABC 是直角三角形或等腰三角形” 的否定为: “△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形” 2 解: “存在一个实数 x,使得 x -9=0” 的否定错, 故选 B 3、以下错误的是( ) A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1, 则x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B. “x=1”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0
2

解:错误的是“若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题” 故选 C , 4、命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是(
3 2


3 2

A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2 3 2

解:否定是:存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ,故选 C 5、命题“存在 x0 ? R, 2
x x0

? 0”的否定是

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0 C.对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

B.存在 x0 ? R, 2

x0

?0
x

D.对任意的 x ? R, 2 >0
x0

解:由题否定即“不存在 x0 ? R ,使 2

?0” ,故选 D。


6、已知 p : ?x ? R , x ? 1 ? 0 , q : 3 ? 2 ,则下列判断错误的是: (
? A. “ p ? q ”为真,“ q ”为假 ? C. “ p ? q ”为假,“ p ”为假 ? B. “ p ? q ”为假,“ p ”为真

D. “ p ? q ”为假,“ p ? q ”为真

解: ?x ? R, x ? 1 ? 0 错, 3 ? 2 对,故选 C

7、已知命题 p : ?x ? R, 使 sin x ? ① 命题“ p ? q ”是真命题

5 ; 命题q : ?x ? R, 都有 x2 ? x ? 1 ? 0. 给出下列结论: 2
② 命题“ p ? ?q ”是假命题
用心 爱心 专心

③ 命题“ ? p ? q ”是真命题; 其中正确的是( ). A.② ④ B.② ③ 解:命题 p : ?x ? R, 使 sin x ?

④ 命题“ ? p ? ? q ”是假命题 C.③ ④ D.① ③ ②

5 2 错, 命题q : ?x ? R, 都有 x ? x ? 1 ? 0 对,故选 B 2

8、已知命题 p:“ ?x ??1,2? , x2 ? a ? 0 ” ,命题 q:“ ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” 若“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A. a a ? ?2或a ? 1 C. )

?

?

B. D.

?a ? ?2或1 ? a ? 2?
?a ?2 ? a ? 1?

?a a ? 1?
2

解: ?x ??1,2? , x ? a ? 0 为真, a ? 1 ; ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 为真, a ? ?2或a ? 1 ,故选 A 二、填空 9、命题“ ? x ? R , x ? 1 ? 2 ”的否定形式是______________________.
2

解:

?

p : ?m ? R , x 2 ? mx ? 1 ? 0 没有实根
.

10、若命题“ ? x∈ 使 x2+ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 R, 解: a ? 4 ? 0 , a ? ?2或a ? 2 11、下列命题是全称命题的序号为 (1)方程 2x=5 只有一解; (2)凡是质数都是奇数; (3)方程 2x2+1=0 有实数根; (4)没有一个无理数不是实数; (5)如果两直线不相交,则这两条直线平行; (6)集合 A∩B 是集合 A 的子集; 解:2)全称命题; (4)全称命题; (5)全称命题 三、解答 12、写出下列命题的否定,并判断其真假: 2 (1)p:?m∈R,方程 x +x-m=0 必有实根; (2)q:??R,使得 x2+x+1≤0; 2 解: (1)?p:?m∈R,方程 x +x-m=0 无实根;真命题。 (2)?q:??R,使得 x2+x+1>0;真命题。 13、写出下列命题的否定 (1)所有人都晨练;
2

用心

爱心

专心

(2) ?x ? R ,

x2 ? x ?1 ? 0 ;

(3)平行四边形的对边相等; (4) ?x ? R ,

x2 ? x ?1 ? 0 。

解: (1)否定为: “有的人不晨练” ; (2)否定为“ ?x ? R , ; x2 ? x ?1? 0 ”

(3) )否定为: “存在平行四边形,它的对边不相等” ; (4)否定为“ ?x ? R , 。 x2 ? x ?1 ? 0 ”

14、用量词符号“ ? , ? ”表述下列命题,并判断命题的真假.
2 (1)有一个实数,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2)被 8 整除的数都能被 4 整除

解: (1) ?x ? R ,

x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,真命题;

(2) ?x 被 8 整除,则 x 被 4 整除。
思悟小结
1.开语句:语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这种含 有变量的语句叫做开语句。如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.

2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种: (1)

全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等词可统称为 , , , , , 全称量词,记作 ?x 、 ?y 等,表示个体域里的所有个体。 (2)

存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等词统称为存在量词,记作 , , , ?x , ?y 等,表示个体域里有的个体。 3.含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式:“对 M 中的所有 x,p(x)”的命题,记为: ?x ? M , p( x) 存在性命题的格式:“存在集合 M 中的元素 x,q(x)”的命题,记为: ?x ? M , q ( x)
注:全称量词就是“任意”,写成上下颠倒过来的大写字母 A,实际上就是英语"any"中的首字母。存

在量词就是“存在”、“有”,写成左右反过来的大写字母 E,实际上就是英语"exist"中的首字母。存在 量词的“否”就是全称量词。

用心

爱心

专心

章末测试 一、选择题(本大题共 10 小题,第小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项符是合题目要求的.) 1、 x ? 5 ”的一个必要不充分条件是( “ ) A. x ? 6 B . x?3 C. x ? 6 D. x ? 10
解: x x ? 5 的真子集就是“ x ? 5 ”的一个必要不充分条件,故选 B

?

?

2、下列说法中,正确的是(



A.命题“ ?x ? R, x2 ≥0”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ” B.命题“ ?x ? R, x2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ” C.命题“ ?x ? R, x2 ≥0”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 0 ” D.命题“ ?x ? R, x2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 0 ” 解:命题“ ?x ? R, x2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”正确,故选 B

3、已知互不相同的直线 m,n 与互不相同的平面α ,β ,给出以下四个命题:
①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ③若 m∥α , n⊥α ,则 m⊥n; 其中所有的真命题是( ) A.①②③ B.②③④ 解:②、③、④对,故选 B ②若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ; C.②④ D.③④

2 4、已知命题 p : “若 X>1,则 x ? 1 ? 0 ” ,则( 2 A. ? p :若 ?x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0 2 C. ? p :若 ?x ? 1 ,则 x ? 1 ? 0



2 B. ? p :若 X>1,则 x ? 1 ? 0 2 D. ? p :若 x ? 1 ? 0 ,则 X ? 1

2 解: p : “若 X>1,则 x ? 1 ? 0 ”为全称命题,故选 C

5、1<x<2 是 x>0 的( )条件 A. 必要不充分 B. 充要

C.

充分不必要

D.

既不充分也不必要

解:1<x<2 ? x>0,反过来不成立,故选 C
用心 爱心 专心

6、如果命题“ ? p ”是真命题,同时命题“p ? q”是真命题,那么下列命题中一定是 真命题的是
A.p ? ? q B. ? p ? q C. ? q


D.

) p?q

解: ? p ”是真命题,p 是假命题,又命题“p ? q”是真命题,所以 q 是真命题,故选 “

B 7、已知 p : x 2 ? 9 ? 0, q : x 2 ?
A.充分不必要条件 C.充要条件
2 解: p : x ? 9 ? 0, x ? ?3 或 x ? 3 ; q : x ?
2

5 1 x ? ? 0, 则 p 是 q 的( 6 6

)

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B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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5 1 1 1 x ? ? 0, x ? 或 x ? ,故选 D 6 6 3 2

8、下列命题中,假命题的个数为(
①对所有正数 p ,

) .

p ? p;
2

②不存在实数 x ,使 x ? 4 且 x ? 5 x ? 24 ;
2 ③存在实数 x ,使得 ?1 ? x ? 1 ? 1且 x ? 4 ;

④3 ? 3, A. 1 解:对于①,令 p ? B. 2 C. 3 D. 4

1 ,对于②,存在 x ? 3 符合条件,对于③,不存在实数 x ,使得 4 ?1 ? x ? 1 ? 1且 x 2 ? 4 ,对于④,显然是错误的,因此都是假命题.故选 D 9、给出四个命题:
①若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ;
2

②若 2 ? x ? 3 ,则 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ;
2 2 ③若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ;

④若 x, y ? N ,且 x ? y 是奇数,则 x, y 中一个是奇数,一个是偶数,那么( A.①的逆命题为真 C.③的否命题为假 B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假

) .

2 解: 若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 为真命题;

用心

爱心

专心

若 x ? 3 或 x ? 2 ,则 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 为假命题; 若 x, y 不全为 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 为真命题; 若 x, y ? N ,且 x, y 中一个是奇数,一个是偶数,则 x ? y 是奇数为真命题.故选A

10、若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则( A. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B. “ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件



D. “ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件
解:因为 A ? B ? C ,所以 A ? C 且 B ? C,则 x ? A 必有 x ? C 。又因为 B 不是 A 的子集,

所以 A ? C,即 A ? C.则 x ? C 不一定有 x ? A 。故选 B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 11、命题“所有三角形内角和都是 1800”的否定是
解:存在三角形内角和不是 180
0

12、设 A、B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,则 ?A是?B的
解: A ? B ,则 ?B ? ?A ,则 ?A是?B的 必要条件

条件

13、命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为__________。
a b 解: p 的否命题是既否定条件又否定结论,所以否命题为:若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1

14、已知 p: x ? 1 <2,q: x 2 ? 5x ? 6<0,则 p 是 q 的 ________条件.
解:p: x ? 1 <2, ?1 ? x ? 3 ;q: x 2 ? 5x ? 6<0, ?1 ? x ? 6 ,p 是 q 的充分不必要条件

15、不等式 kx2+x+k>0 恒成立的充要条件是
解: ?

?k ? 0 ?1 ? 4k ? 0
2

, k?

1 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 16、 (本题 10 分)
用心 爱心 专心

求实数 p,使 4 x ? p ? 0 是 x ? x ? 2 ? 0 的充分条件。
2

解: 4 x ? p ? 0, x ? ?

p ; x2 ? x ? 2 ? 0, x ? ?1或 x ? 2 , 4

p ? 1, p ? ? 4 4 17、 (本题 10 分) ??
已知命题 p : x ?1 ? 2, q : x ? Z , 若“p ? q ” 与“?q ”同时为假命题,求 x 的值。

“p ? q ” 与“?q ”同时为假命题, 解: p : x ?1 ? 2, x ? ?1 或 x ? 3 ;又
? q 真 p 假,??1 ? x ? 3 且 x ? Z ,故 x??0, 1, 2?

18、 (本题 10 分)
写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性。 (1)p:若 x>y,则 5x>5y; (2)p:若 x2+x﹤2,则 x2 ?x ﹤2; (3)p:正方形的四条边相等; (4)p:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 有非空实解集,则 a2 ? 4b≥0。 解: (1)? P:若 x>y,则 5x≤5y; 假命题 否命题:若 x≤y,则 5x≤5y;真命题 (2)? P:若 x2+x﹤2,则 x2 ? x≥2;真命题 否命题:若 x2+x≥2,则 x2 ? x≥2) ;假命题。 (3)? P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。 (4)? P:存在两个实数 a,b,虽然满足 x2+ax+b≤0 有非空实解集,但使 a2-4b﹤0。假命题。

19、 (本题 10 分)
试求关于 x 的方程 x ? m ? m ? 1 ? 0 有两个正根的充要条件.
2

解:关于 x 的方程 x ? m ? m ? 1 ? 0 有两个正根
2

?? ? m2 ? 4(m ? 1) ? 0 ? ? ?1 ? m ? 2 ? 2 2 ? ??m ? 0 ?m ? 1 ? 0 ?

20、 (本题 10 分)
2 给 定 两 个 命 题 , P : 对 任 意 实 数 x 都 有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立 ; Q : 关 于 x 的 方 程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
用心 爱心 专心

解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立
2

?a ? 0 ? 0 ? a ? 4; ? a ? 0或? ??0 ?
2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ; 4

P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,
如果 P 真 Q 假,则有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 1 ? ? a ? 4; 4 4

?a ? 0或a ? 4 如果 P 假 Q 真,则有 ? ,? a ? 0. ? 1 a? ? 4 ?
所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? . ? ? ?4 ?

用心

爱心

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