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安徽省皖南八校2014届高三12月第二次联考数学(理)试题


安徽省皖南八校 2014 届高三第二次联考
一、选择题(50 分) 1、已知复数 z ?

2?i (其中 i 为虚数单位) ,则 z= 1? i

2、 “不等式 x(x-2)>0”是“不等式 A、充分不必要条件 C、充要条件

2 <1”成立的 x

B、必要不充分条件 D、既不充分也不

必要条件

3 、 等 比 数 列 { an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a5a6 ? a4 a7 ? a3a8 = 27 , 则

l o3 a g? 1
A、12

la o? g2 3

= al3 ? o3 ?g ? ? ? a B、10

3

l o 1 g 0
D、2+ log 3 5 相切,则实数 m 为

C、8

4、若直线 A、-4 或 6 5、 设 O 为坐标原点,若

与曲线 B、-6 或 4 C、-1 或 9

D、-9 或 1 ) ,

为坐标平面上三点 (其中 在

方向上的投影相同,则实数 a

与 b 满足的关系式为 A、4a-5b=3 B、5a-4b=3 C、4a+5b=14 D、5a+4b=12 6、右面的程序框图输出的结果为 A、511 B、254 C、1022 D、510 7、 已知某个几何体的三视图如下图所示, 根据图中标出的尺寸 (单 位:cm) ,可得这个几何体的体积是

·1·

8、



的值为

9、命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 A、全等三角形的面积不一定都相等 B、不全等三角形的面积不一定都相等 C、存在两个不全等三角形的面积相等 D、存在两个全等三角形的面积不相等 10、如图,正方体 AC1 中, ,点

P 为平面 EFGH 内的一动点,且满足 P 的轨迹是 A、抛物线 C、椭圆

,则点

B、圆 D、双曲线
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二、填空题 11、 12、 的展开式中 x 的系数是____ =______

13、已知点 F 为双曲线

与抛物线

的公共焦点,

M 是 C1 与 C2 的一个交点,MF⊥x 轴,则双曲线 C1 的离心率为___

14、已知实数 x,y 满足

的取值范围是____

15、设

,用

表示不超过 x 的最大值整数,则 y=
·2·

称为高斯函数,下列关于高斯函数的说

法正确的有___

三、解答题 16、 (本题满分 12 分) 已知△ABC 中,a,b,c 是三个内角 A,B,C 的对边,关于 x 的不等式 解集是空集。 (1)求角 C 的最大值; (2)若 ,△ABC 的面积 ,求角 C 取最大值时 a+b 的值。 的

17、 (本题满分 12 分) 从正方体的各个棱面上的 12 条面对角线中任取两条,设 ? 为两条面对角线所成的角(用弧度制 表示) ,如当两条面对角线垂直时, ? ? (1)求概率 P( ? =0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E( ? ) 。

?
2

·3·

18、 (本题满分 12 分)如图,已知 ABCD 是正方形,直线 AE⊥平面 ABCD,且 AB=AE=1。 (1)求二面角 A-CE-D 的大小; (2)设 P 为棱 DE 的中点,在△ABE 的内部或边上是否存在一点 H,使 PH⊥面 ACE,若存在,求 出点 H 的位置,若不存在,说明理由。

19、 (本题满分 13 分) 数列 (I)设 (II)求数列 (III)设 满足: ,求证: 的通项公式; ,数列 的前 n 项和为 Tn,求证: 是等比数列;

·4·

20、 (本题满分 13 分) 已知命题“若点

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是圆

上一点,则过点 M 的圆的切线方程为 是椭圆

” 。

(I)根据上述命题类比: “若点

上一点,则过点 M 的切线方程

为___” (写出直线的方程,不必证明) (II)已知椭圆 的左焦 F1(-1,0) ,且经过点

(i)求椭圆 C 的方程; (ii )过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,过点 A,B 分别作椭圆的两条切线,求其交点的 轨迹方程。

·5·

21、 (本题满分 13 分) 已知函数 (I)若 f(x)的定义域上单调递增,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 有唯一零点,试求实数 a 的取值范围。

·6·

2014 届皖南八校高三第二次联考

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 A
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2 C

3 B

4 A

5 A

6 D

7 B

8 C

9 D

10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ?5120 12.

? a2
4

13.

2 ?1

14. (??,1] ?[2 2 ? 4, ??) 15. ②③⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式

x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集.
(Ⅰ)求角 C 的最大值; (Ⅱ)若 c ?

7 3 3 ,求角 C 取最大值时 a ? b 的值. , ?ABC 的面积 S ? 2 2

解: (Ⅰ)显然 cos C ? 0 不合题意, 则 ?

?cos C ? 0 , ?? ? 0 ?cos C ? 0 ?cos C ? 0 1 ? 即? , 即? 1 解得: cos C ? 2 2 cos C ? ?2或 cos C ? ?16sin C ? 24cos C ? 0 ? ? 2 故角 C 的最大值为 60 ? . -------------------- 6 分 1 3 3 ab ? 3 ,∴ ab ? 6 , (Ⅱ)当 C = 60 ? 时, S?ABC ? ab sin C ? 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 2ab ? 2ab cos C , 121 11 2 2 ∴ (a ? b) ? c ? 3ab ? ,∴ a ? b ? . -------------------- 12 分 4 2
·7·

17. (本题满分 12 分)从正方体的各个表面上的 12 条面对角线中任取两条,设 ? 为两条面对角线所成 的角(用弧度制表示) ,如当两条面对角线垂直时, ? ? (Ⅰ)求概率 P(? ? 0) ; (Ⅱ)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

?
2



解: (Ⅰ)当 ξ=0 时,即所选的两条面对角线平行.则 P(ξ=0) ?

6 1 = .-------- 4 分 2 11 C12

(Ⅱ)ξ=0,

? ? , ; 3 2

P(ξ=0)=

? ? 6 1 48 8 12 2 = , P(ξ= )= 2 = , P(ξ= )= 2 = ; 2 3 2 C12 11 C12 11 C12 11
0

ξ P

? 3
8 11

? 2
2 11
-------------------- 10 分

1 11

Eξ= 0 ?

1 ? 8 ? 2 ? ? ? ? ? ? . 11 3 11 2 11 3

-------------------- 12 分

18. (本题满分 12 分)已知 ABCD 是正方形,直线 AE ⊥平面 ABCD ,且 AB ? AE ? 1 , (Ⅰ)求二面角 A ? CE ? D 的大小; (Ⅱ)设 P 为棱 DE 的中点,在 ?ABE 的内部或边上 是否存在一点 H ,使 PH ? 面ACE ,若存在,
A B

C

E
P

求出点 H 的位置,若不存在说明理由. 解:方法一: (Ⅰ)因为 AC ? (1, 0, 1)? , CE
D

??? ?

? (?1, 1, ? 1) ,

?x ? z ? 0 设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? , ?? x ? y ? z ? 0

·8·

令 x ? 1 ,得 n1 ? (1, 0, ? 1) ,同理得平面 CDE 的法向量为 n2 ? (1, 1, 0) , 所以其法向量的夹角为 60? ,即二面角 A ? CE ? D 为 60 .---------------- 6 分
?

1 1 1 1 (Ⅱ)∵ P( , ,0) ,设 H (0, y, z ) , ( y ? 0 , z ? 0 , y ? z ?1) ,则 PH ? (? , y ? , z) . 2 2 2 2
1 ? ?PH ? AC ? 0 ? ? ? 2 ? z?0 1 由 PH ? 面 ACE ,得 ? ?? ?y?z? . 1 1 ? PH ? CE ? 0 2 ? ? ? y? ?z?0 ?2 2

1 1 ∴存在点 H (0, , ) (即棱 BE 的的中点) ,使 PH ? 面 ACE .------------- 12 分 2 2
方法二: (Ⅰ)连结 AC , BD 交于 O ,则 DO ? 面 ACE , 作 OM ? CE 于 M ,连结 DM ,则 ?OMD 就是 二面角 A ? CE ? D 的平面角.
C
B

I G M H
E P

O
A

2 OD 3 2 . ?OMD = 60 ? , sin ?OMD ? ? ? DM 2 2 3
∴二面角 A ? CE ? D 为 60 ? . (Ⅱ)存在 BE 的中点 H ,使 PH ⊥平面 ACE .
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D

F

PH 是△ BDE 中位线, PH // BD ,而 BD ? 面 ACE ,故 PH ⊥平面 ACE .
19. (本题满分 13 分)数列 ?an ? :满足 a1 ? 6 , an?1 ? an ? 4an ? 2,(n ? N*)
2

(Ⅰ)设 Cn ? log2 (an ? 2) ,求证 ?Cn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

7 1 1 ? Tn ? 1 . ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: 30 a n ? 2 a n ? 4a n

2 * 2 解: (Ⅰ)由 an?1 ? an ? 4an ? 2,(n ? N ) 得 an?1 ? 2 ? (an ? 2) ,

log2 (an?1 ? 2) ? 2log2 (an ? 2) ,即 Cn?1 ? 2Cn ,
∴ {Cn } 是以 2 为公比的等比数列;
·9·

-------------------- 4 分

(Ⅱ) 由 C1 ? 3 , Cn ? 3? 2n?1 即 an ? 2 ? 23?2 , ∴ an (Ⅲ) bn ?

n?1

? 23?2 ? 2

n?1

-------------------- 8 分

1 1 1 1 ? 2 ? ? an ? 2 an ? 4an an ? 2 an?1 ? 2 1 1 1 1 ? ? ? 3?2n a1 ? 2 a n?1 ? 2 4 2 ?4
-------------------- 13 分

Tn ?



7 1 ? Tn ? . 30 4

20. (本题满分 13 分) 已 知 命 题 “ 若 点 M ( x0 , y0 ) 是 圆 x2 ? y 2 ? r 2 上 一 点 , 则 过 点 M 的 圆 的 切 线 方 程 为 . x0 x ? y0 y ? r 2 ” (Ⅰ)根据上述命题类比: “若点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 切线方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,则过点 M 的 a 2 b2

. ” (写出直线的方程,不必证明) .

(Ⅱ)已知椭圆 C :

3 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且经过点(1, ) . 2 2 a b

(ⅰ)求椭圆 C 的方程; A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作椭圆的两条切线,求其交 (ⅱ)过 F 1 的直线 l 交椭圆 C 于 点的轨迹方程.

解: (Ⅰ)

x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b

-------------------- 3 分

x2 y 2 ? ? 1; (Ⅱ) (ⅰ) 4 3

-------------------- 7 分

(ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,

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x1 x y1 y ? ?1 4 3 xx y y 椭圆在点 B 的切线方程为: 2 ? 2 ? 1 4 3
则椭圆在点 A 处的切线方程为: 联解方程① ②得: x ?

① ②

4( y2 ? y1 ) 4k ( x2 ? x1 ) ? ? ?4 , x1 y2 ? x2 y1 x1k ( x2 ? 1) ? x2 k ( x1 ? 1)
·10·

即此时交点的轨迹方程: x ? ?4 .

-------------------- 11 分

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A ( ?1, ) B ( ?1, ? ) ,经过 AB 两点的切线交点为 (?4, 0) 综上所述,切线的交点的轨迹方程为: x ? ?4 . -------------------- 13 分

3 2

3 2

21. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? 1 ?

ln x , (a?R ) x

(Ⅰ)若 f ( x ) 在定义域上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? xf ( x) 有唯一零点,试求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ? ln x ax 2 ? ln x ? 1 ? , x2 x2

∴ f ?( x) ? 0, ?x ? 0 ,∴ ax2 ? ln x ? 1 ? 0, ?x ? 0 , ∴a ?

ln x ? 1 , x2

-------------------- 2 分

1 2 x ? 2 x(ln x ? 1) 3 ln x ? 1 3 ? 2ln x x 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? ? ? 0 有根: x0 ? e 2 , x2 x4 x3
x ? (0, x0 ) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单增; x ? ( x0 , ??) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单减;
∴ a ? (h( x)) max ? h( x0 ) ? (Ⅱ)方法一: 由题 g ( x) ? xf ( x) ? ax ? x ? ln x ? 0 ,即 a ?
2

-------------------- 5 分 -------------------- 6 分

1 ; 2e3

? x ? ln x ,即函数 y ? a 与函数 y ? ? ( x) 有唯一交点;----------- 9 分 x2 1 (?1 ? ) x 2 ? (? x ? ln x)2 x x ? 1 ? 2ln x x ; ? ?( x) ? ? 4 x x3 2 再令 R( x) ? x ? 1 ? 2ln x , R?( x) ? 1 ? ? 0, ?x ? 0 ,且易得 R(1) ? 0 , x
令 ? ( x) ? 故,当 x ? (0,1) 时, R( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递减;

? x ? ln x 有唯一正实数根; x2

·11·

当 x ? (1, ??) 时, R( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递增; 即 ? ( x) ? ? (1) ? ?1 , 又当 x ? 0 时, ? ( x) ? ?? , 而当 x ??? 时, ? ( x) ? 0 且 ? ( x) ? 0 , 故满足条件的实数 a 的取值范围为: {a | a ? 0, 或a ? ?1} .
O

y =? ( x)
1

x

?1

草图

-------------------- 13 分 方法二:

g ( x) ? xf ( x) ? ax2 ? x ? ln x ? 0 有唯一正实数根,
g ?( x) ? 2ax ? 1 ? 1 2ax 2 ? x ? 1 ? ,记 ? ? 1 ? 8a ; x x
x ?1 ? 0, ?x ? 0 ,即函数 y ? g ( x) 在定义域上单调递增, x

(ⅰ)若 a ? 0 , g ?( x) ?

?2 ?2 又 g (e ) ? e ? 2 ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,即函数 y ? g ( x) 有唯一零点;

(ⅱ)若 a ?

1 2 即 ? ? 0 ,则 2ax ? x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0, ?x ? 0 , 8

又当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,而当 x ??? 时, g ( x) ? 0 ; 故函数 y ? g ( x) 有唯一零点; (ⅲ)若 0 ? a ?

1 2 ,则 ? ? 1 ? 8a ? 0 ,但方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根满足: 8

1 ? x1 ? x2 ? ? ?0 ? ? 2a ,即两根均小于 0, ? ?x x ? 1 ? 0 1 2 ? 2a ?
故 2ax ? x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0, ?x ? 0 ,
2

由(ⅱ)同理可知,仍满足题意;
2 (ⅳ)若 a ? 0 ,同样 ? ? 0 ,则方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根为:

·12·

x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a ; ? 0 , x2 ? ? 0 (舍) 4a 4a

当 x ? (0, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (0, x1 ) 为增函数, 当 x ? ( x1 , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( x1 , ??) 为减函数, 故,当 x ? x1 时, g ( x) 取得最大值 g ( x1 ) ;
2 ? ? g ( x1 ) ? 0 ?ax1 ? x1 ? ln x1 ? 0 则? ,即 ? , 2 ? ? g ?( x1 ) ? 0 ?2ax1 ? x1 ? 1 ? 0

所以 ?2ln x1 ? x1 ? 1 ? 0 ,即 2ln x1 ? x1 ?1 ? 0 ; 令 ? ( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ?

2 ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,即 ? ( x) 为定义域上增函数, x

又 ? (1) ? 0 ,所以方程 2ln x1 ? x1 ?1 ? 0 有唯一解 x1 ? 1 , 故 x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ? 1 ,解得 a ? ?1 ; 4a

综上,实数 a 的取值范围为: {a | a ? 0, 或a ? ?1} .

·13·


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