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河南省扶沟高中2012--2013高三上学期第一次调研考试数学(理)试题


?

扶沟高中 2012--2013 高三上学期第一次调研考试 数学(理)
命题人:张明印 审题人:聂电峰
考 试说明: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分. 考试时间为 120 分钟; (2)第 I 卷,第 II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第I卷


有一项是符合题目要求的) 1.定义集合运算: A ? B ? ?Z | Z ?
? ? ? ?

(选择 题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个 选项中,只

? ? , x ? A, y ? B ? ,设集合 A={0,1}, x? y ? ? xy

B={1,2},则集合 A ? B 的子集个数为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 2. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 ( ) A. 所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方 是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 3.下列结论中,错用算数平均值和几何平均值不等式作依据的是 ( ) . A.x,y 均为正数,则
a

x y
2

?

x y

?2
1 a

B.a 为正数,则 ( ? )(a ? ) ? 4
2 a

C.lgx+logx10≥2,其中 x>1 D.
x ?2
2

x ?1
2

?2

4. 已知 f(x)唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1,4)(1,5) 、 内, 那么下列命题错误的是 ( 一、 函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点



B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在( 2,4)内不一定有零点。 5.若 f (x) 的定义域为[0,1],则 F ( x) ?
f ( 2 ? 1)
x

log 1 ( 2 x ? 1)
2

的定义域为(



?
A. ,1) ? (1,+∞) (
2 1

B. (0,
x?0 x?0

1 2



C. (1,+∞)

D. (

1 2

,1)

1 x ? ( ) ? 6.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ? log ( x ? 2) ? 2

, a ? f (? 3 ), b ? f (? 2 ), c ? f ( 3 )

则 a, b, c 大小关系为 A. a ? b ? c 7. 是

(

) C. c ? a ? b
q

B. b ? c ? a
p

D. c ? a ? b

若函数 f ? x ? ? a ? x ? 1? ? x ? 1? 在区间 ? ?2,1? 上的图象如图所示,则 p, q 的值 可能
y

(

)
?2
?1
o

1 3

A. p ? 2, q ? 2 B. p ? 2, q ? 1 C. p ? 3, q ? 2 D. p ? 1, q ? 1

1
x

8.若 x、y

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0 ? 满足条件 ? 2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,当且仅当 ?y ? 0 ?

x=y=3 时, z =ax+y 取最大值,则实数 a

的取值范围是( A. ? (
2 3 , 3 5

) B. ? ∞, ? ( D. ? ∞, ? (
3 5 2 3

) )

)∪( ,+∞)
3

2

C. ( ?

3 2 , 5 3

)∪( ,+∞)
5

3

9.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公 顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x 的函数关系较为 近似的是( ) A.y=0.2x B.
y? x ? 2x
2

C.
y?

2

x

D.y=0.2+l og16x

10

10

10. 已 知 y ? f( 2 x? 1 ) 奇 函 数 , y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 图 象 关 于 y ? x 对 称 , 若 为
x1 ? x2 ? 0 ,则 g( x1 ) ? g( x2 ) ?

( C. 1

) D. ?1

A. 2 11.若函数 f ( x ) ?

B. ?2
x 1? x
2

,记 f ( 2) ( x) ? f ( f ( x)) , f ( 3) ( x) ? f ( f ( f ( x))) ?

?
f
( n) ( 30 ) ( x) ? f ( f (? f ( x)?)) (n ? 2, n ? N ) ,则 f (2) ? (



A.

1 10

B.
x ?1 x ?1

2 11

C.

3 10 7

D.

4 11

12.

? 1 ? f ( x) ? ? | x ? 1 | ? 1 ?

, 方程 [ f ( x )]3 ? [ f ( x )]2 ? cf ( x ) ? 1 ? 0 有 7 个实根,则所有
2

非零实根之积为 A.
9 2

( B.


7 2

C. ?

9 2

D. ?

7 2

第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)
二、 填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 20 分. 共 将答案填在答题卡相应的位置上) 13.
lg 1 2 ? lg 5 8 ? lg12.5 ? log 8 9 ? log 9 8

=

,

14.

已知 p : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ; q :

1 2

? x?

2 3

,若 p 的充分不必要条件是 q ,则实

数 m 的取值范围是___________________
?? x 2 ? 6 x ? 10, 15.已知函数 f ( x) ? ? 3 ?log(x - 2) ? 1,

x?3 x?3

,若 f (6 ? a 2 ) ? f (a ) ,则实数 a 的取值范围





16.关于 y ? f (x) ,给出下列五个命题: ①若 f (?1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 y ? f (x) 是周期函数; ②若 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,则 y ? f (x) 为奇函数; ③若函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 x ? 1 对称,则 y ? f (x) 为偶函数; ④函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ⑤若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 y ? f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称. 填写所有正确命题的序号____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:函数 f ( x) ? log 1 ( x - 2ax ? 3) 在(-∞,1]内为增函数,命题 q:
2 2

?
A ? x | x ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0 ? ?x | x ? 0? ? ? ,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值
2

?

?

范围。 18. (本大题 12 分) 已知函数 f(x)=|x|(x-a),a>0. (1)作出函数f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调区间; (3)当x∈[0,1]时,由图象写出f(x)的最小值. 19. (本大题 12 分) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? (Ⅰ)当 a ? 2 时,讨论 f ( x ) 在 (??, 0) 上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上为单调递减函数,求 a 的取值范围.
x ?1 ?
2

1 2

ax .

20. (本大题 12 分) 定义在 D 上的函数 f (x) , 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M>0, 都有 | f ( x) |? M 成立 ,则称 f (x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f (x) 的上界,已知函数
f ( x) ? 1 ? x ? ax ,
2

(Ⅰ)当 a=-1,求函数 f (x) 在(-∞,0)上的值域,判断函数 f (x) 在(-∞,0) 上是否为有界函数,并说明理由; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ? [1,4] 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围。 21. (本大题 12 分) 设 f ( x) ?
a x ? x ln x ,

g ( x) ? x ? x ? 3 .
3 2

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率; (2) 如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.
2 1

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 D 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一 C 点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D ,E

A

O

B

?
交圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)求 BC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长 度单位相同.直线 l 的极坐标方程为: ?
? 10 2 sin(? ?

?
4

,点 P (2 cos ? , 2 sin ? ? 2) ,
)

参数 ? ? ? 0, 2? ? . (Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x ? 2 ? x ? 3?,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值 范围.

?
扶沟高中 2012-2013 学年度上期高三第一考试 理科数学参考答案

根或一负一零根, 当无解时,⊿<0 得-4<a<0 当有两负根时令 g(x)=x2+(a+2)x+1,则有 ? 解得 a≥0
?? ? 0 ? ?g(0) ? 1 ? 0 ? a?2 ??0 2 ?

一负一零根不存在,所以 a>-4, 因为 p ? q 为真, p ? q 为假,所以 p,q 一真一假,当 p 真 q 假时有 ?1 ? a ? 2 不存在
? ?a ? -4

当 p 假 q 真时有 a ? 1或a ? 2 得-4<a<1 或 a≥2 ?
? ?a ? -4

综上, a ? (-4,1) ? ?2,?? ?

?

?

21.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

2 x

? x ln x , f '( x) ? ?

2 x
2

? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 ,
???? 3

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ; (2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,



?
考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
3 2

2 3

x

0 0
?3

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

g '( x)
g ( x)

?

0

?
85 27

递减

极(最)小值 ?

递增

1

由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ?
3

2

85 27

, g ( x) max ? g (2) ? 1 , 112 27

(5) [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?
2 1 a x


???? 7 分

? x ln x ? 1 恒成立

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 记 h( x) ? x ? x ln x , h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,
2

h '(1) ? 0 。

记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2 ln x ,由于 x ? [ , 2] ,
2
m '( x) ? ?3 ? 2 ln x ? 0 ,

1

所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减,
2

1

当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,
2

1

即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,
2

1

2

所以 h( x) max ? h(1) ? 1 ,所以 a ? 1 。

???? 12 分

22.解: (Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA , -------2 分 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD , 所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ?BAD .······· 4 分 ······· ······· (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE ,·····························6 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , ··8 分 ·· · 所以
DE CE ? CB AB

,所以 BC ? 2 . ·························· 10 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 且参数 ? ? ? 0, 2? ? ,
2 2

23.解:(Ⅰ) ?

? x ? 2 cos ? , ? y ? 2 sin ? ? 2.
10 2 sin(? ?

所以点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 . ···················· 3 分 ··········· ········· ·········· ·········· (Ⅱ)因为 ? ?

?
4

,所以 ? 2 sin(? ?
)

?
4

) ? 10 ,

?
所以 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 10 ? 0 .··· 6 分 ··· ··· 法一:由(Ⅰ) 点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,圆心为 (0, 2) ,半径为 2.
2 2

d?

1? 0 ? 1? 2 ? 10 1 ?1
2 2

···· 10 ···· ? 4 2 ,所以点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 . ····· 分
? 2 cos(? ?

法二: ? d

2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 ? 10 1 ?1
2 2

2

?
4

当 )?4 , ? ?

7? 4

d , max ? 4 2 ? 2 ,

即点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 .······················· 分 ······················ 10 ·········· ··········· · 24.解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 .······················5 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,
1 ? ? 2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ? 2 ? 4n, 2 ?

∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? . ············· 10 分 ··········· ·· ·········· ···


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