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黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


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黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学(文)试题

试卷说明: 1、本试卷满分 150 分,答题时间 120 分钟。 2、请将答案直接填涂在答题卡上,考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,

每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设 i 是虚数单位,则复数 1 A. 5 1 B.- 5 -i ( i 是虚数单位)的实部是( 1+2i 1 C.- 5 ) B.? p:?x∈C,x2+1<0 D.? p:?x∈C,x2+1>0 2 D.- 5 )

2.已知命题 p:?x0∈C,x2 0+1<0,则 ( A.? p:?x∈C,x2+1≤0 C.? p:?x∈C,x2+1≥0

3.某单位有职工 75 人,其中青年职工 35 人,中年职工 25 人,老年职工 15 人,为了了解 该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工人数为 7, 则样本容量为( A.7 ) B.15 C.25 D.35 ) 2 D. 3 )

4.已知一个家庭有两个小孩,则两个孩子都是女孩的概率为( 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2

y2 5.双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 B. m≥1 C.m>1

D.m>2 )

6.如右图所示的程序框图中,输入 x=2,则输出的结果是( A.1 B.2 ) C .3 D.4

7.下列命题中,假命题 是( ...

A.已知命题 p 和 q,若 p∨ q 为真,p∧ q 为假,则命题 p 与 q 必一真一假 B.互为逆否命题的两个命题真假相同 C.“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件 - D.若 f(x) =2x,则 f ′(x)=x· 2x 1 8.用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 的值,当 x=3 时,v3 的值 为( ) A.27 B.86 C.262 D.789

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9.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过 x2 y2 椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程: + =1,点 A、 16 9 B 是它的两个焦点,当静止的小球放在 A 点处,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后,再 回到点 A 时,小球经过的路程可能是( A.2(4- 7) B.2(4+ 7) ) C.16 D.以上均有可能

10.若关于实数 x 的不等式 x3-3x2-9x≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的取值范围是 ( ) A.(-∞,5] B.(-∞,-22] C. (-∞,-2] D.[-14,5] )

1 11.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3 A.-1<b<2 C.b<-1 或 b>2 B.-1≤b≤2 D.b≤-2 或 b≥2

12.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ′(x)-f(x)≤0,对任意正实数 a、b, 若 a<b,则必有( A . af(b)≤bf(a) D.bf(b)≤f(a) ) B . bf(a)≤af(b) C . af(a)≤f(b)

第Ⅱ 卷 (非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处取极大值,则常数 c 的值为________。 14.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 1 m 的概率是_____。 15.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) 2 7 3 8 5 9 6 12

^ ^ ^ ^ 由表中数据得到的线性回归方程 y =b x + a 中 b = 1.1,预测当产量为 9 千件时,成本约为 ________万元。 16.已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(4,1)是一个定点,则 |MP|+|MF|的最小值是________。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)

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甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,从报名的 6 名教师中任选 2 名, (I) 写出所有可能的结果; (II) 求选出的 2 名教师自同一学校的概率。

18(本小题满分 12 分) 某校为了了解学生数学学习情况,随机抽取 60 位学生期中 考试数学成绩,并作出频率分布直方图如右图所示,其中成 绩分组区间是 ?50,60 ? 、 ? 60,70 ? 、 ? 70,80 ? 、 ?80,90 ? 、

?90,100? ,

(I) 求图中 a 的值,并根据频率分布直方图估计该校学生数学成绩的平均分; (II)若这 60 名学生的数学成绩某些分数段的人数( x )与语文成绩相应分数段的人数( y ) 之比如下表所示,求语文成绩在 ?50,90 ? 之外的人数。 分数段

?50,60 ?
1:1

?60,70 ?
2 :1

?70,80 ?
3: 4

?80,90 ?
4:5

x: y

19(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x3-ax2+(a2-1)x+b(a、b∈ R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为 x 3 +y-3=0. (Ι)求 a、b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间和极值点。

20(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(2,-4), (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线 l 方程; (II)若点 B(1,2),直线 l 过点 B 且与抛物线 C 交于 P、Q 两点,若点 B 为 PQ 中点,求直 线 l 的方程。 21(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,直线 2x+y+2=0 经过椭圆 M: 点且与椭圆 M 交于 A,B 两点,其中点 A 是椭圆的一个顶点,

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦 a 2 b2

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(Ι)求椭圆 M 的方程; (II)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥ AB,求四边形 ACBD 面积 S 的最大值。

22(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1, (I)求证:当 a>-1 且 x>0 时, f ( x) ? 0 ;
x

(II) g ( x) ? e ? 2 x ? x ? k , 若对任意 x1 , x2 , x3 ? [ ?1,1] , 长分别为 g ( x1 ), g ( x2 ), g ( x3 )
x 2

的线段 能构成三角形,求实数 k 的取值范围。

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大庆铁人中学高二学年上学期期末考试文科数学试题参考 答案

(II) 从报名的 6 名教师中任选 2 名的 15 种情况等可能出现,且选出的 2 名教师自同一学校 的所有可能的结果为(甲 1, 甲 2), (甲 1, 甲 3)、(甲 2, 甲 3)、(乙 3, 乙 1)、(乙 1, 乙 2), (乙 2, 乙 3) , 共 6 种 , 所 以 选 出 的 2 名 教 师 自 同 一 学 校 的 概 率 为

6 2 ? . 15 5

…………10 分

18.解:解(Ⅰ)由 ? 2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04 ? ? 10 ? 1 ,解得 a ? 0.005 .

0.05 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 73 . …6 分

………

(II)这 60 位学生数学成绩在 ?90,100? 的分别有 3 人、 24 人、 18 人、 12 人,按照表中所给比例, 语文成绩在 ?50,60 ? 、 ? 60,70 ? 、 ? 70,80 ? 、 ?80,90 ? 的分别有 3 人、12 人、24 人、15 人,共 54 人, 故 语 文 成 绩 在

?50,90 ?













6

人。 ………12 分 2 2 19.解:(Ι)f ′(x)=x -2ax+a -1,∵(1,f(1))在直线 x+y-3=0 上,∴f(1)=2,f ′(1)=-1 ∴2 = 8 . 3 1 - a + a2 - 1 + b , a2 - 2a + 1 = 0 , 解 得 a = 1 , b = 3 …………6 分 1 8 (II)∵f(x)= x3-x2+ ,∴f ′(x)=x2-2x,由 f ′(x)=0 可知 x=0 或 x=2,列表如下: 3 3 x f ′(x) f(x) (-∞,0) + 单调递增 0 0 极大值 (0,2) - 单调递减 2 0 极小值 (2,+∞) + 单调递增

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所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2), f(x) 2。 的 极 大 值 点 为 x = 0 , 极 小 值 点 为 x =

………12 分

20.解:(I)由题,抛物线 C 的方程为 y2=8x,其准线 l 方程为 x=-2; (II) 显 然 , 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 或 直 线 l 的 斜 率 为 0 均 不 符 合 题 意, …………4 分 故 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y - 2 = k(x - 1) ,

设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),由题知y12 ? 8 x1 , y2 2 ? 8 x2 .

y12 ? y2 2 ? 8 x1 ? 8 x2 ,? k ?

y1 ? y2 8 ? ?2 x1 ? x2 y1 ? y2
y =

所 以 , 直 线 l 的 方 程 为 2x - 0。 …………12 分 21.解:(I)由题可知,椭圆 M 左焦点为(-1,0) ,一个顶点 A 为(0,- 2), 则 椭 圆 M 的 方 程



x2 y 2 ? ? 1; 5 4
(II)由题, A(0, ?2), 设B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 直线CD:y ?

…………4 分

1 x +b 2

? x2 y 2 ?1 5 5 ? ? , 由? 5 得6 x 2 ? 10 x ? 0, 故有 | AB |? 4 3 ? y ? ?2 x ? 2 ?

? x2 y 2 2 2 2 ? ? 1得21x ? 20bx ? 20b ? 80 ? 0, ? ? 320(21 ? 4b ) ? 0 ? ? 4 由? 5 5 320(21 ? 4b 2 ) 20 21 1 故有 | CD |? ? ? y ? x +b 2 21 21 ? 2 ?

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