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1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(学、教案)


§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课前预习学案 一. 预习目标
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数

二. 预习内容
1.基本初等函数的导数公式表 2. 导 数 函数 法则 的运算

导数

y?c

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

1

导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ?
'

2. ? f ( x) ? g ( x) ? ?
'

? f ( x) ? 3. ? ? ? ? g ( x) ?
(2)推论: ? cf ( x) ? ?
'

'

(常数与函数的积的导数,等于:



三. 提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一. 学习目标
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

二. 学习过程
(一) 。 【复习回顾】
2 复习五种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x 、 y ?

1 、 y ? x 的导数公式填写下表 x
n *

(二) 。 【提出问题,展示目标】 函数 导数 我们知道 , 函数 y ? f ( x) ? x ( n? Q ) 的 导数为 y ? nx
' n?1

y?c y?x

, 以后看见这种函数就可以

直接按公式去做,而不必用导数的定义了。 那么其它基本初等函数的导数怎么呢?又如 何解决两个函数加。减。乘。除的导数呢? 这一节我们就来解决这个问题。 (三) 、 【合作探究】 1. (1)分四组对比记忆基本初等函数的导数 公式表 函数 导数

y ? x2
y? 1 x

y? x
y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

2

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

(2)根据基本初等函数的导数公式,求下列函数的导数. (1) y ? x2 与 y ? 2x (2) y ? 3x 与 y ? log3 x 2.(1)记忆导数的运算法则,比较积法则与商法则的相同点与不同点 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) '
' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
' 推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

'

(常数与函数的积的导数,等于:



提示:积法则,商法则, 都是前导后不导, 间是加号, 商法则中间是减号.

前不导后导,

但积 法则中

(2)根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(2) y ? x ? sin x ; (3) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ;
2 x

3

(4) y ?

x ; 4x

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. (四) .典例精讲 例 1:假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商 品的 p0 ? 1 , 那么在第 10 个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到 0.01) ? 分析:商品的价格上涨的速度就是: 解:

变式训练 1:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨
的速度大约是多少(精确到 0.01)? 例 2 日常生活中的饮水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增 加.已知将 1 吨水净化 到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98%

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% 分析:净化费用的瞬时变化率就是: 解:

比较上述运算结果,你有什么发现? 三.反思总结:
(1)分四组写出基本初等函数的导数公式表: (2)导数的运算法则:

四.当堂检测
1 求下列函数的导数 (1) y ? log 2 x (3) y ? 2x3 ? 3x2 ? 4 2.求下列函数的导数 (1) y ? x ln x (2) y ? (2) y ? 2e x (4) y ? 3cos x ? 4sin x

ln x x

课后练习与提高
1.已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为: A f ( x) ? 2( x ? 1) C f ( x) ? ( x ?1) ? 3( x ?1)
2 2

B f ( x) ? 2( x ? 1) D f ( x) ? x ? 1

2

2.函数 y ? ax ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a ?

4

A

1 8

B

1 4

C

1 2

D

1

3. 设 函 数 y ? xn?1 (n ? N ? ) 在 点 ( 1,1 ) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 xn , 则

x1 ? x2 ????? xn ? l l n A B C D 1 n n ?1 n ?1 4.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为------------------5.在平面直角坐标系中,点 P 在曲线 y ? x3 ? 10 x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线在点 P
处的切线的斜率为 2,则 P 点的坐标为-----------6.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? ax ? d 的图像过点 P (0,2) , 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方 程为 6 x ? y ? 7 ? 0 ,求函数的解析式。 课后练习与提高答案:1.C
3 2

2.B

3.B

4. 3x ? y ? 1 ? 0

5. (-2,15)

6. 由 函 数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的 图 像 过 点 P ( 0,2 ), 知 d ? 2 , 所 以

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , f / ( x) ? 3x2 ? 2bx ? c 由在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 知: ? f (?1) ? 1 ?3 ? 2b ? c ? 1 所以 ? 解得: b ? c ? ?3 ? / ??1 ? b ? c ? 2 ? 6 ? f (?1) ? 6 故所求函 数的解析式是 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2

5

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一.教学目标:
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

二.教学重点难点
重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

三.教学过程:
(一) .创设情景 复习五种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 函数 导数

y ? x2 、 y ?

1 、 y ? x 的导数公式及应 x

y?c
y?x
函数
2 y ? xy ?c

y' ? 0
y' ? 1

用 (二) .新课讲授 1(1)基本初等函数的导数公式表 导数 ( 2)根据 基本初 等函数 的导数 公式, 求下列 函数的 导数. ( 1 ) 与

y' ? 2x

y' ? 0
y' ? nxn?1

1 1 ' y? n * y ?? 2 y ? f ( x) x ? x (n ? Q ) x

y ?y ? x sin x
y ? cos x y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y? ?
'

1 2 x
n?1

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? nx

y?x

2

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y ? 2x
( 2 ) 与 2.( 1) 运算法则

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

y ? 3x y ? log3 x
导数的

f ' ( x) ?

导数运算法则

6

' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) 3. ? ? ( g ( x) ? 0) ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
' 推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)

提示: 积法则,商法则, 都是前导后不导, 是加号, 商法则中间是减号.

前不导后导,

但积法则中间

(2)根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x3 ? 2 x ? 3 (2) y ? x ? sin x ; (3) y ? (2 x2 ? 5x ? 1) ? e x ; (4) y ?

x ; 4x

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂 的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 四.典例精讲 例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商 品的 p0 ? 1 , 那么在第 10 个年头, 这种商品的价格上涨的速度 大约是多少 (精确到 0.01) ? 分析:商品的价格上涨的速度就是函数关系 p(t ) ? (1 ? 5%) 的 导数。
t

解:根据基本初等函数导数公式表,有 p (t ) ? 1.05 ln1.05
' t

所以 p (10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 (元/年)
' 10

因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨.

变式训练 1:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨
的速度大约是多少(精确到 0.01)? 解:当 p0 ? 5 时, p(t ) ? 5(1 ? 5%) ,
t

根据基 本初等函数导数公式和求导法则,有 p (t ) ? 5 ?1.05 ln1.05
' t

7

所以 p' (10) ? 5 ?1.0510 ln1.05 ? 0.4 (元/年) 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.4 元/年的速度上涨. 例 2 日常生活中的饮水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增 加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98%

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

5284 ' 5284' ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' c ' ( x) ? ( ) ? 100 ? x (100 ? x)2
? 0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2 5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费用的瞬时变 (100 ? 90)2

(1)

因为 c (90) ?
'

化率是 52.84 元 /吨. (2) 因为 c (98) ?
'

5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,费用的瞬时变 (100 ? 90)2

化率是 1321 元/吨.

点评
'

函数 f ( x ) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可
'

知, c (98) ? 25c (90) .它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净 度为 90% 左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费 用就越多,而且净化费用增加的速度也越快. 五.课堂练习 做导学案的当堂检测 六.课堂小结 (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则 七.布置作业 八.教学后记

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