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均匀随机数的产生教案


3.3.2

均匀随机数的产生

设计思路:
本课选自人民教育出版社(数学必修 3)A 版第三章《概率》中“几何概型”的第二课时 《3.3.2 均匀随机数的产生》 。 本节设计思路是由例题引入, 以问题形式帮助学生回忆旧知识, 学习新知识,完成了从上节课到本节课的一个过渡。通过两个例题,主要介绍了用计算器和 计算机产生均匀随机数的

方法,突出了在随机模拟实验的过程中用频率估计概率这一重要思 想。两个例题都是上节课刚学过的几何概型的问题,例 1 与长度有关,例 2 与面积有关,由 浅入深,循序渐进。由于考虑到课本中的例题涉及到了一些学生还未接触过的知识,比如例 1,在用几何概型分析问题的时候,需要用到平面区域中线性规划的有关内容,所以用本案例 中的剪绳试验代替了课本中的送报试验,将送报试验作为练习,让学生用计算机模拟实验解 决该题,其实是对本节课内容的一个应用。对于课本中的最后一个例题,因为和撒豆试验是 同样的思路,所以留作课后作业让学生解决。 本节的设计思路仍以新课标中的教学理念为指导思想,让学生做数学,探究数学知识, 发现数学知识的过程,自主建构知识体系。让学生动起来,动起手来操作数学,动起笔来推 演数学,动起脑来思考数学发现数学质疑权威,动起口来讲数学和与同学老师讨论数学;通 过师生之间,同学之间的合作交往,促进学生个性的充分发展,使学生学会交往,逐步建立 积极和谐的人际关系。在教学过程中有意识地培养学生热爱数学,自觉地学习数学,培养学 生严谨,认真,勤于思考钻研等科学态度,使学生认识数学的实用价值和科学价值。

教学分析
本节是概率必修章节的最后一课,在学生已经掌握古典概型和几何概型的基础上,学习 用适当的随机模拟法去估算几何概率。通过对本节例题的模拟实验,认识用计算机或计算器 产生均匀随机数,可以在短时间内多次重复试验,对试验结果的随机性和规律性有更深刻的 认识。对于培养学生自觉动手、动脑的习惯及辩证思想的进一步形成有良好的作用。

三维目标
1、 通过模拟试验,了解均匀随机数的概念;掌握利用计算器(计算机)产生均匀随 机数的方法。 2、 培养学生自己动手,主动思考,发现创新的好习惯。提高学生独立解决问题的能 力。 3、 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频 率估计概率。

教学重点难点
教学重点:掌握﹝0,1﹞上均匀随机数的产生及﹝a,b﹞上均匀随机数的产生,学会采用 适当的随机模拟法去估算几何概率。 教学难点:如何把未知量的估计问题转化为随机模拟问题。 教具准备:投影仪、计算机及多媒体教学。

教学过程:

一、例题引入 师:在前面我们已经学习了古典概型和几何概型,那么下面的这道题大家分析一下属于 哪种概率模型。 师:有一段一米长的彩带,从任意位置剪断,剪断点有多少个?(1) 生:无数个。 师:在这个问题上加个条件,要使剪得的两段长都不小于 0.3 米,应如何剪?(2) 生:距两端点都为 0.3 米处。 师:把(2)作为事件 A,则事件 A 发生的概率是多大?怎样计算的? 生:0.4。利用几何概型概率公式。 师:这是一道典型的与长度有关的几何概型的问题。它主要针对试验的全部结果是无限 个,古典概型主要针对试验的全部结果是有限个。除了用公式求概率,还有哪些方法? 生:做试验,求频率。 师总结:用频率估计概率可以通过试验求,也可以通过计算机模拟实验产生随机数求得, 这一思路在前面 3.2.2 整数值随机数的产生里已有体现。但整数值随机数的产生主要针对的 试验结果是有限个,那么今天这个试验产生的全部结果是无限个,对应[0,1]上的任意数。 这就需要产生某个区域上的随机数,也就是这节课的内容——均匀随机数的产生。 (板书) 二、新知探究 1、根据整数值随机数的产生,先用计算器产生﹝0,1﹞上的均匀随机数。 (计算器实际 操作) 用计算器产生的﹝0,1﹞上的均匀随机数就可以对应试验的全部结果,那么事件 A 对应 的随机数是哪些呢? 生:﹝0.3,0.7﹞上的均匀随机数。 师:在 n 次试验中,统计出事件 A 对应的随机数的个数,根据 Fn(A)=nA/n 求得频率,得 到概率的近似值。 下面,令 n=20,分小组做试验统计出 A 的频数,再统计出全班试验中事件 A 的总频数求 得概率的近似值,和用公式求得的值比较。分析表格。 2、﹝a,b﹞上均匀随机数的产生 继续提出问题:如果这根彩带长 3 米,那么就需要产生[0,3]上的均匀随机数与试验的 全部结果相对应,该如何解决这个问题? 利用计算器产生﹝ 0 , 1 ﹞上的均匀随机数 X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换, X=X * (b-a)+a 就可以得到﹝a,b﹞上的均匀随机数,试验结果是﹝a,b﹞内任何一实数,并且是 等可能的。 这样我们就可以利用﹝0,1﹞上的均匀随机数表示任意区间上的均匀随机数。通过计算 器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率。 3、用计算机产生均匀随机数解决和概率有关的问题 利用均匀随机数求频率,以此估计概率在我们实际生活中很多地方都有体现,比如大家 都熟悉的圆周率。 (简单介绍圆周率的相关知识) 今天就用随机模拟试验产生随机数的方法求 的近似值。 借助模型,给出例 2: 在如图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机模拟的方法通过求落在圆内豆子的概率 估算圆周率 师:引导学生依据几何概型满足的条件设计随机模拟方法估计圆的面积。 生:回忆几何概型的定义,设计方案。 法 1:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数语 这个区域的面积近似成正比,即

?

圆的面积 落在圆中的豆子数 ? 正方形的面积 落在正方形中的豆子数
假设正方形的边长为 2,则

圆的面积 ? ? ? ? 正方形的面积 2 ? 2 4
由于落在每个区的豆子数是可以数出来的,所以

??

落在圆中的豆子数 ?4 落在正方形中的豆子数

这样就得到了? 的近似值。 法 2: (1)用计算机产生两组﹝0,1﹞内均匀随机数 a1=RAND() ,b1=RAND() (2)经过线性变换,a=2a1-1,b=2b1-1 (3)求出 a2+b2 的值 C (4)数出落在圆 x2+y2=1 内的点的个数 N1(统计 x2+y2<1 的频数) 。 (5)计算频率: N 1 ,求得圆周率的近似值

N

? ?

4N N

1

(N 代表落在正方形内的点(a,b)的个数)

4、变式训练: 试想,如果换一种建系方法上面的计算过程会有怎样的变化? 可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型 并通过随机模拟的方法可以近似计算出不规则图形的面积。 三、应用练习 假设你家定了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间,用计算机模拟实验求父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件 A)的概率是多少, 。 分析:用计算机产生随机模拟实验,我们可以利用计算机产生 X 是 0~1 之间的均匀随 机数,则送报人送报到家的时间是 X+6.5,利用计算机产生 Y 是 0~1 上的均匀随机数, 则父亲离家的时间是 Y+7,如果 Y+7>X+6.5,即 X-Y<0.5 时,事件 A={父亲离家前能得到 报纸}发生。 教师实际在电脑上操作。 四、课堂小结 均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随 机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量 (比如概率值、常数)有关,然后设计适当的试验,并通过这个实验的结果来确定这些量。 用随机模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范 围,用计算机可以产生大量的随机数,可以对实验结果的随机性和规律性有更深刻的认识; 相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力,也能解决平常不能解决的一些问题。 五、课后作业 基础作业:完成课本习题 3.3 的作业(必做) 提升作业:将例 1、例 2 解题步骤改为算法语言并画出流程图。

研究性学习:利用随机模拟得方法如何计算圆锥得体积(圆锥得大小可自行确定数据) 六、课后反思 我们的新课程越来越注重理论和实际相结合,要让学生学有用的知识,有用的学。数学 教学的完整目标,不仅包括发展学生认知能力,还应包括学生意志、合作能力、行为习惯及 交往意识与能力等方面。我们教学的生命力不是“复制”而是“刷新” 。新课程要求我们教师 具备的不只是操作技能技巧,还要有直面新情况、分析新问题、解决新矛盾的本领,在更高 的起点上不断实现自我超越的精神。 在这堂课中,试着通过创设情境引导学生共同讨论,将课本和现实联系起来,在解决问 题过程中形成技能,并且努力尝试着给学生数学知识的同时,还给学生一双能用数学视角观 察世界的眼睛;一个能用数学思维思考世界的头脑;一副为某国家富强人民幸福的心肠。

板书设计

§3.3.2

均匀随机数的产生

1、计算器 RAN# 例 1:A={剪得的两段长都不小于 0.3 米} 例 2: N1 N r 2、计算机 RAND() P(A)=0.4/1=0.4 N1/N≈S 圆/S 正方形 =? /4 线性变换公式: X∈[0,1] Y∈[a,b] Y=a+(b-a)X

优质课教案

均匀随机数的产生

晋城市矿区中学

牛丽丽


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