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费马大定理简明完整版证明


费马大定理证明
求证不定方程对于整数 n>2

X n ?Y n ? Zn
无 X,Y,Z 的整数解
这就是费马猜想 又称费马大定理,起源于三百多年前,挑战人类 3 个世纪, 多次震惊全世界,耗尽人类众多最杰出大脑的精力,也让千 千万万业余者痴迷。传言在 1994 年被安德鲁· 怀尔斯攻克, 但是我并不知道安德鲁· 怀尔斯攻克的证明是否真实可靠。 现在来阐述最新最简易的证明如下:

证明:
条件:设整数(p,q)互素, (a,b)互素,并且 X,Y 均整数, 如果不存在整数 Z 使得

X ?Y ? Z
n n

n
成立, 那么

猜想正确,否则猜想就是错误的 由条件设定已知 x,y 为整数,将猜想等式左边合并变换为下 式

y Z ? X (1 ? ( ) ) x

1 n n



p y ? q x
p u?( 1 ? ( q Z ? X u
1 n n
n 1 n

)

)



假设存在整数 Z,则 u 一定至少是有理数设

p a u ? (1 ? ( ) ) ? q b

(qn ? pn )bn ? qn an
n n n n n (1) p b ? q (a ? b ) 由于(p,q)互素

那么 q 必然是 b 的因子才能使得等式两边成立

设 b=qt 代入(1)式得
a n n n ( p ? q ) ? ( ) (2) t
则 t 为 a 的因子,至此如原条件(a,b)互素相矛盾,所以 t 必 须等于 1 得以下等式: (3)

p ?q ?a
n n

n

假设等式依然成立
? p n? a 1 ? ( ) ? = 得? q ? q ?
1 n

利用牛顿二项式广义定理展开上式
? p? a ? q ? q C ? ? ? 得: k ?1 ?q?
k ?? k 1 n
k ?? kn

kn

k ? p? 1 ? p? 2? p? 3? p? k ? p? a ? q ? q ? C1 ? ? ? q (C 1 ? ? ? C 1 ? ? ? C 1 ? ? ? .. ? ?C 1 ? ? ? ...) k ?1 n ? q ? n ? q ? n ? q ? n ? q ? n ? q ?

n

2n

3n

kn

展开式曲线簇附图如下

k ? p? 1 ? p? 2? p? 3 ? p? k ? p? a ? q ? q ? C1 ? q ( C ? C ? C ? .. ? C 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ...) q q q q q k ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n k ??

kn

n

2n

3n

kn

要使得 a-q 为整数,至少 a-q 的小数部分为有理数,而 a-q 的 展开式是无限级数,那么只有一个条件下 a-q 才可能是有理 数,就是级数的系数的绝对值相等,由此只有 n 趋近无穷大 时才会出现此种情况如下:

? p? 1 1 p kn ? ?1? k ?1 lim C ? ? = ? ?1? lim ? n ? 1?? 2n ? 1? .. ? (k ? 1)n ? 1? kn ? n ?? x ?? k ! n k q kn ?q?
kn k 1 n

k ?1

? p? ? ? ?q?

kn

p n ( ) 只有 a-q 才是- q 的等比数列之和才可能是有理数,由上
式知道就算是极限状态也不存在系数的绝对值相等 所以在有限整数 n>2 的条件下,或 n 无穷大时
k ? p? 1 ? p? 2? p? 3 ? p? k ? p? a ? q ? q ? C1 ? q ( C ? C ? C ? ... ? C 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...) k ?1 n ? q ? n ? q ? n ? q ? n ? q ? n ? q ? k ?? kn n 2n 3n kn

均不可能是有限的或无限循环的,那么它只能是无理数,所 以 a 也只能是无理数,据此

整数 n>2 时,对于互素的 p,q, (q>p)没有 整数 a 使得(4)等式成立
? p n? a 1? ( ) ? ? (4) ? q ? q ? ? p n? u ? 1 ? ( ) ? 为无理数 结论 ? (整数 n>2, q>p) q ? ?
1 n 1 n

那么 Z

? Xu 同样也是无理数

至此 对于整数 n>2

X ?Y ? Z
n n

n

X,Y,Z 没有同为整数的解 费马猜想证明完毕 后记:
? p ? u ? ?1 ? ( ) n ? 为无理数已经写入无理数 q ? ?
1 n

的百度词条中,便于知识的传播。 现在讨论 n=2 的情况 由
? p? ? p? 2? p? 3? p? k ? p? a ? q ? q ? C ? ? ? q (C1 1 ? ? ? C 1 ? ? ? C 1 ? ? ? ... ? C 1 ? ? ? ...) k ?1 ?q? n ? q ? n ? q ? n ? q ? n ? q ?
k ?? k 1 n kn n 2n 3n kn

















1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 -2 ... ? k ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? k C1 ? k! 2
k C1 ? 2

1.3.5.. ? 2k ? 1? k ?1 ? 2k ? ! ? ? 1 ? ? 2 k 而对于 n>2 2k k ! ? 2 k !? ,

就不存在类似结构 就是说
C ? ? ?1?
k 1 n k ?1

? n k !?
k

? nk ?!
2

结构,正因为如此,

也许

k C1 ? 2

1.3.5.. ? 2k ? 1? k ?1 ? 2k ? ! ? ? 1 ? ? 2 k 2k k ! 2 k ! ? ? 与勾股

数存在某种联系。现在讨论 k 很大的情况
? 2k ? ? ? 1.3.5.. ? 2k ? 1? k ?1 ? e ? k ?1 k lim C1 ? ? lim ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2k k k ?? k ?? 2 k ! ? k ? 2k 2 ? ? 2 ?e?
2k

就是说 k 趋近无穷大时, K 以后的所有项是 个等比数列,它可以表示为有理数 ε ,而 n>2 时就不存在等比数列因为 n>2 时
lim C = ? ?1?
k ?? k 1 n k ?1

1 1 ? 1 ?? 1? ? 1 ? ? ?1? lim ( ) ?1 ? ? ? 2 ? ? .. ? ( k ? 1) ? ? ? x ?? k ! n n? ? n? kn ? n ??

k ?1

它绝对值不相等,k 趋近无穷大时,K 以后 的所有项不是个等比数列,它依然存在无穷 项 这是为什么在 n>2 时利用展开式证明它的 原因,n=2 的这种特殊结构与勾股数的联系 依然是个谜团。


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