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北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编9:圆锥曲线


北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 1 . (2013 北京东城高三二模数学理科)过抛物线 y
2

= 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,
( D. 4 )

若 AB ? 10 ,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 A. 1
【答案】

/>
B. 2 D.

C. 3

x2 y 2 2 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题)若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 a b

y ? x2 ? 2 有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是
A. [3, ??)
【答案】

( D. (1,3) (



B. (3, ??)

C. (1,3]



A.
3 . (2013 届门头沟区一模理科)已知 P ( x, y ) 是中心在原点,焦距为 10 的双曲线上一点,且

y x

3 3 的取值范围为 ( ? , ) ,则该双曲线方程是 4 4
( )

A.

x2 9 x2 16

?

y2 16 y2 9

?1

B.

y2 9
y2 16

?

x2 16
x2 9

?1

C.

?

?1

D.

?

?1

【答案】C 4 . (2013 届北京大兴区一模理科)双曲线 x2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于





A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

【答案】D 5 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 , a2 b2
( )

一个焦点与抛物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为
2

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3 x

-1-

【答案】D 6 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题) 对于直线 l:y=k (x+1)与抛物线 C:y =
2

4x,k=±1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 【答案】A

( D.既不充分也不必要



2 7 . (2013 届北京海滨一模理科)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,

又点 A( ?1,0) ,则 小值是

| PF | 的最 | PA |
( )

1 A. 2
【答案】B

2 B. 2

3 C. 2

2 2 D. 3

8 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛

物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边 的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A. 2
【答案】

( C. 1 ? 3 D. 2 ? 3



B. 1 ? 2 B.

9 . (2013 北京西城高三二模数学理科)已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2 ,一条抛物线恰好

经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 A.

( D. 2 3



3 4
B;

B.

3 2

C. 3

【答案】

10 .( 2013 届 东 城 区 一 模 理 科 ) 已 知

F1 (?c , 0 , F2 (c,0) 分 别 是 双 曲 线 C1 : )

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, 双曲线 C1 和圆 C2 : 2 ? y 2 ? c2 的一个交点为 P , x 2 a b
且 2?PF F2 ? ?PF2 F ,那么双曲线 C1 的离心率为 1 1 ( )

A.

5 2

B. 3

C. 2

D. 3 ? 1

【答案】D 11.北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) ( 抛物线 y
2

? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,

已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物 线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

| MN | 的最大值为 | AB |
-2-





A.

3 3

B.1

C.

2 3 3

D.2

【答案】A 二、填空题 12. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案) 曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线 l2 : y ? 1

的距离之积等于常数 k 2 ? k ? 0? 的点的轨迹.给出下列四个结论: ①曲线 C 过点 (?1,1) ; ②曲线 C 关于点 (?1,1) 对称; ③若点 P 在曲线 C 上,点 A, B 分别在直线 l1 , l2 上,则 PA ? PB 不小于 2 k . ④设 P0 为曲线 C 上任意一点,则点 P0 关于直线 x ? ?1 、点 (?1,1) 及直线 y ? 1 对称的点分 别为 P1 、 P2 、 P3 ,则四边形 P0 P P2 P3 的面积为定值 4k 2 . 1 其中,所有正确结论的序号是__________________. 【答案】 ②③④
13. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F ( ,0) ,则抛

1 2

物线 C 的方程为___,若点 P 在抛物线
C 上运动,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上运动,则 PQ 的最小值等于____.
【答案】

y 2 ? 2 x,

9 2 4
2

14. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)双曲线 x

?

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 b2

y ? 3x ,则 b ? _________.
【答案】

3;
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 a 2 b2

15. (2013 届房山区一模理科数学)已知双曲线 C :

(2,3) ,则它的渐近线方程为
【答案】 y ? ? 3x

.

16. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率 a2 b



x2 y2 2 6 ? ?1 ,顶点与椭圆 8 5 3

的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为_______________.
-3-

【答案】

?? 2

2 ,0 , y ? ?

?

15 x 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 , a2 3

17. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 若双曲线 C:
2

则抛物线 y ? 8 x 的焦点到 C 的渐近线距离是______.
【答案】

2;

18. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 在平面直角坐标系 xOy 中, )

设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.如果直
2

线 AF 的倾斜角为 120 ? ,那么 PF ? _______.
【答案】答案 4 抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 .因为直线 AF 的倾斜角

为 120 ? ,所以 ?AFO ? 60 ,又 tan 60 ?
0

?

yA ,所以 yA ? 2 3 .因为 PA ? l ,所以 1 ? (?1)

yP ? yA ? 2 3 ,代入 y 2 ? 4 x ,得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 .
19. (2013 届北京西城区一模理科) 在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对
2 称 . 点 P( x0 , y0 ) 在 抛 物 线 y ? 4 x 上 , 且 直 线 AP 与 BP 的 斜 率 之 积 等 于 2 , 则

x0 ? ______.
【答案】 1 ? 三、解答题 20. (2013 届北京丰台区一模理科)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2,

2;

2 ),直线 l :y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A,B。
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值 范围;若不存在,请说明理由。

x2 y 2 【答案】解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,由题意 a b

-4-

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ,解得 a ? 8 ,b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . …………5 分 ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
(Ⅱ)假设存在斜率为 k 的直线,其垂直平分线经过点 Q(0,3) , 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4mkx ? 2m2 ? 8 ? 0 , …………………6 分 4 ? y ? kx ? m ?

? ? 16m2k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 , 所 以 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,…7


4mk , 1 ? 2k 2 x ?x 2mk m , y0 ? kx0 ? m ? , ? x0 ? 1 2 ? ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 , ? 线段 AB 的垂直平分线过点 Q(0,3) x1 ? x2 ? ?

……………8 分

? kNQ ? k ? ?1 ,即
?? ? 0 ,

y0 ? 3 ? k ? ?1 ,? ?m ? 3 ? 6k 2 ,…………10 分 x0

整理得 36k ? 28k ? 5 ? 0 ,显然矛盾? 不存在满足题意的 k 的值。………13 分
4 2

方 程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 3 , 则 圆 M 的 圆 心
2 2
2 2

M ?? 3,1? , 半 径 r ? 3 . 由 A?0,1?, F ?? c,0? c ? a 2 ? 1 得 直 线 AF 的 方 程 为
x ? cy ? c ? 0 .
由直线 AF 与圆 M 相切,得

?

?

?3?c ?c 1? c2

? 3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ,
x2 ? y2 ? 1 3
1 . 2

故椭圆 C 的方程为

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ?

-5-

因为点 ? 0,?

? ?

1? ? 在椭圆内, 2?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.

1 ? ? y ? kx ? 2 , 9 ? 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?
设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则

y1 ? kx1 ?
所以 PQ ?

1 1 3k 9 , , y 2 ? kx 2 ? , x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 2 2 2 1 ? 3k 4 1 ? 3k 2

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
1

?
?

?1 ? k ???x
2

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

3 1 ? k 2 1 ? 4k 2 . 1 ? 3k 2

?

??

?

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

3 1 的距离 d ? , 2 2 k 2 ?1

所以 ?APQ 的面积为 S ? 设t ?

1 9 1 ? 4k 2 PQ ? d ? 2 4 1 ? 3k 2

?

?

1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ? ? , 2 3t 3 1 ? 3k

9 4 1 9 S ? t? ? ? 4 3t 3 4
因为 0 ? t ? 1 ,

4t t 2 9 1 4 2 ? ? ? ?t ? 2 ? ? . 3 3 4 3 3

所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时

1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2 1 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ?

x2 y 2 3 21. (2013 北京东城高三二模数学理科) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a b 2
原点到过点 A(a, 0) , B(0, ?b) 的直线的距离是
-6-

4 5 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? ,求 x12 ? y12 1 的取值范围. (Ⅲ)如果直线

y ? kx ? 1(k ? 0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆

心的圆上,求 k 的值.
【答案】(共 13 分)解: (Ⅰ)因为

c 3 2 2 2 , a ? b ? c ,所以 a ? 2b . ? a 2

因为原点到直线 AB :

x y ab 4 5 ? ? 1 的距离 d ? ,解得 a ? 4 , b ? 2 . ? a b 5 a 2 ? b2

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y ? ? 1. 16 4

2

(Ⅱ)因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ?x1 , y1 ? , 1

所以

? y0 ? y1 ? x ? x ? 2 ? ?1, ? 0 1 ? ? y0 ? y1 ? 2 ? x0 ? x1 . ? 2 ? 2

解得

x1 ?

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

所以

2 x12 ? y12 ? x0 ? y0 .2

因为点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :

3x 2 x2 y 2 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ? 4 ? 0 . 4 16 4

2

因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 .所以 x12 ? y12 的取值范围为 ? 4, 16? .

? y ? kx ? 1, ? 2 2 (Ⅲ)由题意 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kx ? 12 ? 0 .可知 ? ? 0 . ?1 ? ? ?16 4
设 E( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) , 则 xM ?

x2 ? x3 ?4k 1 ? , yM ? kxM ? 1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 k BM ?

yM ? 2 1 ?? . xM k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 . 又因为 k ? 0 ,



?4k k ? ? 2k ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

-7-

所以 k ?
2

1 2 .所以 k ? ? 8 4

22. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

2 ,且过点 A( 2,1) .直线 2
2 x ? m 交椭圆 C 于 B , D (不与点 A 重合)两点. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. y?
【 答 案 】 (Ⅰ) ?

e?

2 1 2 c ? , 2 ? 2 ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 ? a ? 2 , b ? 2 , c ? 2 a b 2 a

?

x2 y 2 ? ?1 4 2

? 2 x +m ? y= ? 2 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,由 ? ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 2 2 ? x ? y ?1 ? 4 2 ?

? ? ? 8 ? 2m2 ? 0 ? ?2 ? m ? 2 , x1 ? x2 ? ? 2m,
? BD ? 1 ? ( 2 2 6 ) x1 ? x2 ? 8 ? 2m2 , 2 2
2m 2 x +m 的距离,? d ? 2 6



x1x2 ? m2 ? 2 ②

设 d 为点 A 到直线 BD: y =

? S?ABD ?

1 2 BD d ? (4 ? m2 )m2 ? 2 2 2

当且仅当 m ? ? 2 ? (?2, 2) 时等号成立 ∴当 m ? ? 2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2

x2 ? y 2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B, 23.2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) ( 已知椭圆 C: 4
直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m,

1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

-8-

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.

【答案】解:(Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ?

3 ,?e ? 3 ;
2

(Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x 2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ? E ? 4m , m 2 ? 1 ? , 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?
2

? x2 2 ? y 2 ? 1, 12m 由? 4 得 9 ? m2 x 2 ? 12mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ? F ? 12m , 9 ? m ? ; ? 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

(Ⅲ)? S?AMF ? ,

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME 2 2

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,
| ME | | MF |

?

5m m ? , 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

? m ? 0 ,? 整理方程得
2

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又? m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ?m ? 1 ,? m ? ?1 为所求
2

-9-

24. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭

圆 C 过点 (1,

3 3 ,点 A 为其右顶点.过点 B(1 0) 作直线 l 与椭圆 C 相交于 , ) ,离心率为 2 2

E , F 两点,直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于点 M , N .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 EM ? FN 的取值范围.

???? ???? ?

【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 ? c 依题意得 ? ? , 解得 a 2 ? 4 , b2 ? 1 . 2 ? a 3 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ?
所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)显然点 A(2, 0) . (1) 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 不 妨 设 点 E 在 x 轴 上 方 , 易 得

x2 ? y2 ? 1 4

E (1,

???? ??? ? ? 3 3 3 3 ), F (1, ? ) , M (3, ? ), N (3, ) ,所以 EM ? FN ? 1 2 2 2 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,显然 k ? 0 时,不符 合题意. 由?

? y ? k ( x ? 1), 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ?
8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 . 4k 2 ? 1 4k ? 1

设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

直线 AE , AF 的方程分别为: y ?

y1 y ( x ? 2), y ? 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 3 ,则 M (3,

y1 y ), N (3, 2 ) . x1 ? 2 x2 ? 2
- 10 -

所以 EM ? (3 ? x1 ,

???? ?

y1 (3 ? x1 ) ???? y (3 ? x2 ) ) , FN ? (3 ? x2 , 2 ) x2 ? 2 x1 ? 2 y1 (3 ? x1 ) y2 (3 ? x2 ) ? x1 ? 2 x2 ? 2

所以 EM ? FN ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ?

???? ??? ? ?

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ?

y1 y2 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ] x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? k 2 ?

? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? [1 ? k 2 ?

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?1 4k ? 4 8k 2 4k 2 ? 1 4k ? 1 ?( 2 ? 3? 2 ? 9) ? (1 ? k ? 2 ) 4k ? 4 8k 2 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 1 4k ? 1
2 2

16k 2 ? 5 ?3k 2 ?( 2 ) ? (1 ? ) 4k ? 1 4k 2 ? 16k 2 ? 5 1 ? 1? 2 16k ? 4 16k 2 ? 4
2 2

因为 k ? 0 ,所以 16k ? 4 ? 4 ,所以 1 ? 综上所述, EM ? FN 的取值范围是 [1, )

???? ???? ? 5 16k 2 ? 5 5 ? ,即 EM ? FN ? (1, ) . 2 4 16k ? 4 4

???? ???? ?

5 4

25. (2013 届北京大兴区一模理科)已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ?

1 , 4

点 P 的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D。求证,A、D、N 三点共线。
【答案】解: (I)设 P 点坐标 ( x, y ) ,则 k AP ?

y y ( x ? ?2 ) kBP ? , (x?2) , x?2 x?2

由已知

x2 y y 1 ? ? ? ,化简得: ? y 2 ? 1 . 4 x?2 x?2 4
- 11 -

所求曲线 C 的方程为

x2 。 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) 4

(II)由已知直线 AQ 的斜率存在, 且不等于 0,设方程为 y ? k ( x ? 2) ,
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? k ( x ? 2)

由?

,消去 y 得:

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ? ? ? (1).

因为 ?2 , xQ 是方程(1)的两个根, 所以 ?2 ? xQ ?
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ,得 xQ ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 4k 2 ? 8k 2 4k ,所以 Q( , )。 ? 2) ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

又 yQ ? k ( xQ ? 2) ? k (

当 x ? 4 ,得 yM ? 6k ,即 M (4, 6k ) 。 又直线 BQ 的斜率为 ?
1 1 1 1 , 方程为 y ? ? ( x ? 2) , x ? 4 时, yN ? ? , N (4, ? ) 。 当 得 即 4k 4k 2k 2k

直线 BM 的斜率为 3k ,方程为 y ? 3k ( x ? 2) 。
? x2 ? 4 y 2 ? 4 ,消去 y 得: ? y ? 3k ( x ? 2)

由?

(1 ? 36 k 2 ) x 2 ?144 k 2 x ?144 k 2 ?4 ? 0 ? ? ? (2).

因为 2, x D 是方程(2)的两个根,所以
2 ? xD ? 144k 2 ? 4 , 1 ? 36k 2 72k 2 ? 2 12k 12k 72k 2 ? 2 ,又 yD ? 3k ( xD ? 2) ? ? ,即 D( ,? )。 1 ? 36k 2 1 ? 36k 2 1 ? 36k 2 1 ? 36k 2
1 72k 2 ? 2 12k ,? ) , N (4, ? ) 。 2 2 2k 1 ? 36k 1 ? 36k

得 xD ?

由上述计算: A(?2,0) , D( 因为 k AD ? ?

1 1 , k AN ? ? ,所以 k AD ? kAN 。 12k 12k

所以 A、D、N 三点共线。
26. 2013 届北京海滨一模理科) ( 已知圆 M : x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 r ? 0 ) ( .若椭圆 C : (

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为

2 . 2

- 12 -

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别 交于 G , H 两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

【答案】解: (I)设椭圆的焦距为 2c ,

因为 a ? 2 ,

c 2 ,所以 c ? 1 ,所以 b ? 1 . ? a 2

所以椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ………………4 分 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) , 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ………………6 分 1 ? 2k 2

所以 AB ?

8 8(1 ? k 2 ) ………………7 分 (1 ? k ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

2k 1? k2

则 GH ? 2 r 2 ?

2k 2 ………………9 分 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 所以要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH
B H

8(1 ? k 2 ) 2k 2 所以 ? 4( r 2 ? ) 1 ? 2k 2 1? k2 r2 ?

G A

2k 2 2(1 ? k 2 ) 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 ? ? ? 2(1 ? 4 ) ………………11 分 1 ? k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k ? 3k 2 ? 1
2 ………………12 分

当 k ? 0 时, r ?

- 13 -

1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3 1 3 2 ? ?2 k4 k2 1 r 2 ? 2(1 ? )?2 , 1 3 又显然 所以 2 ?r ? 3 ? 2 ?2 4 k k
当 k ? 0 时,

r 2 ? 2(1 ?

综上, 2 ? r ?

3 ………………14 分

- 14 -


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