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正弦、余弦定理的综合运用学生版 (1)


三角形中的三角函数问题导学案(两课时)
导学案设计:袁慧明 课题 课程标准 使用时间:4 月 18 日 姓名: 班级:

正弦、余弦定理综合运用 通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之 间的数量关系,并认识它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题。 知识与能力 过程与方法 灵活运用正、余弦定理解决三角形中的三角函数问题。

学习目标

学习重点 学习难点 一、知识梳理

通过分析、解答典型例题,学会综合运用正、余弦定理求解 三角型中的三角函数问题。 通过正、余弦定理实现三角形中的边角转化,体会事物之间 情感态度与 的相互转化与联系的观点, 从而从本质上把握事物之间的内 价值观 在联系。 三角形中的三角函数问题的求解方法 利用正余弦定理进行三角形中的边角转化。

1、正弦定理: 变式: (1)a= (2)sinA= 主要作用:

a sin A

=

;b= ; sinB=

;c= ; sinC= .

;

2、余弦定理: a 2 ? CosB= 主要作用: (常用于判断三角形的形状)

3、三角形面积公式:S= 4、三角形的三个内角和关系: sin(B+C)= ,

= A+B+C= 180 , , 。
0

= A= 180 -(B+C) , tan(B+C)=
0

COS(B+C)=

A? B sin( )? 2

A? B )? ; cos( 2

5. 三角形中的其它常用边角关系:

1

二、典例分析 (一)判定三角形的形状 例 1:在 ?ABC 中, cos 形状。
2

B a?c ? ( a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边) 。试判断 ?ABC 的 2 2c

变式训练: 1、在 ?ABC 中,若 ?B ? 60?, b2 ? ac, 则 ?ABC 的形状为

2、在 ?ABC 中,若 2cos B sin A ? sin C, 则 ?ABC 的形状为

3. 若

sin A cos B cos C ? ? 则△ABC 为 a b c
B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

( ) A.等边三角形 C.直角三角形

?

4 、 在

?ABC

中 ,

a, b, c

分 别 为 角

A, B, C

的 对 边 , 且

2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ? 1 ,判断 ?ABC 的形状

2

(二)三角形中的三角函数化简与求值问题 例 2:设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,满足 c sin A ? a cos C 。 (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小。

变式训练: 1、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2, a ? c ,求 ?ABC 的面积。

cos C 3a ? c ? cos B b

2、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 (1)求

cos A ? 2 cos c 2c ? a ? 。 cos B b

sin C 的值; sin A

(2)若 cos B ?

1 , b ? 2, 求 ?ABC 的面积。 4

三、学习小结

3

三角形中的三角函数问题导学案
四、课后练习(第一课时) 1、在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边, b cos A ? a cos B , 试判断 ?ABC 三角形的形状。

2、 ?ABC 中,若 tan B ?

cos(C ? B) ,试确定 ?ABC 的形状。 sin A ? sin(C ? B)

2 2 2 3、 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? ab,sin A sin B ?

3 ,试确定 ?ABC 的形状。 4

4

四、课后练习(第二课时) 1、 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 tan A ? 3, cos C ? (1) 求角 B 的大小; (2) 若 c ? 4 ,求 ?ABC 的面积。

5 . 5

2、 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , a sin A sin B ? b cos A ? 2a
2

(1) 求

b ; a

(2)若 c ? b ? 3a ,求 B 的大小
2 2 2

3、 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 a ? b ? 5, c ? 7, 且

4 s i2 n

A? B ? 2

c oC s? 2

7 。 2
(2)求 ?ABC 的面积。

(1)求 ?C 的大小;

4、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 ,b ? 2 ,cosC ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值.

1 . 4

5



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