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江西省赣州市信丰县信丰中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(理)试题


信丰中学 2014—2015 年度第二学期高二年级第一次月考 数学(理科)试题
2 1.设 z ? 1 ? i (为虚数单位) ,则 z ?

2015.3.24

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

2 ?( z
C.



A.

1? i

B. ? 1 ? i

?1? i

D. 1 ? i

2.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( A. 充分非必要条件 C . 充分必要条件 ) B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 )

3.已知命题 p: 存在m ? R,3m ? 0 ,则命题 p 的否定是( A.不存在 m ? R, 使3m ? 0 C. 任意m ? R,3m ? 0

B. 存在m ? R,3m ? 0 D. 任意m ? R,3m ? 0 )

4.数列{an}的前 n 项和 Sn ? 3n ? c ,则 c=1 是数列{an}为等比数列的(

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C . 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 5.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 6. 甲、 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 则甲、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( A. 6 种 B. 12 种 C . 24 种 D. 30 种 7.定积分 A.



?[
0

1

1 ? ( x ? 1)2 ? x]dx ? (
B.



? ?1 2

? ?2
4

C.

? ?1 4

D.

? ?1 2

8.如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 处进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道 Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的 长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2; ③c1a2>a1c2; ④

c1 < a1

c2 . a2

{bn }

其中正确式子的序号是( ) A.①③ B.②③ 9.设 F1 , F2 是双曲线

C.①④

D.②④

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右两个焦点,若在双曲线的右支上存在 a 2 b2

一点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为原点)且 PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线的离心率为 ( ) . A.

??? ? ???? ? ???? ?

5 ?1 2

B. 5 ? 1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

10.设双曲线 心率等于( A. 3

x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双曲线的离 2 a b
) B. 2 C.

5

D.

6

11. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四 个简单几何体组成, 其体积分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 ,上面 两个简单几何体均为旋转体 ,下面两个简单几何体均为多 面体,则有( ) A. V2 ? V1 ? V3 ? V4 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V1 ? V2 ? V4 ? V3 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4 12.已知曲线 S:y=3x-x3 及点 P(2,2),过点 P 向 S 作切线,则切线的条数为( A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 )

14 .椭圆 _______. 15 .
m

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 ?F1PF2 的小大为 9 2
是 等 比 数 列 , m, n, p 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 则 有 正 确 的 结 论 :
n

? bp ? ? bm ? ? ? ?? ? ? ? ? bn ? ? bp ?

?b ? ?? n ? ?1 . ? bm ?

p

{an }

类比上述性质,相应地,若 论:

是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,则有正确的结 .
C 1 A1 B 1

16.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,

A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为
A

C D B

三、解答题:(本大题 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题满分 10 分) 设命题 p:方程 2 x ? x ? a ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x1 ? 1 ? x2 ;
2

命题 q:函数 y ? log2 (ax ? 1) 在区间 ?1, 2? 内单调递增; (1)若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)问 p 且 q 是否有可能为真命题,若有可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 设 m ? R , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 向 量 a ? (mx, y ? 1) , 向 量 b ? ( x, y? 1), a ? b , 动 点

?

?

?

?

M ( x, y)的轨迹为 E。求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

19. (本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥ BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II) 线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 3 1 (2)函数 y=f(x)的图象在 x=4 处的切线的斜率为 ,若函数 g(x)= x3+x2 在区间(1,3)上 2 3 不是单调函数,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3 ) 、 (0, 3 )的距离之和等于 4.设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点,.k 为何值时 OA ? OB ? 此时| AB |的值是多少? 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 a ? ?

1 1 ,关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 2 2

求实数 b 的取值范围;

理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) A A D C B C;B B D C A D 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 2 14. 120
?

15. m(ap ? an ) ? n(am ? ap ) ? p(an ? am ) ? 0

16.

3 4

三、解答题:(本大题 6 小题,共 70 分。)

17. 解: (1)令 f ( x) ? 2x2 ? x ? a ,则 f (1) ? 0 ∴3? a ? 0 ∴ a ? ?3 (2)若 q 为真命题,则 a ? 0 且 a ? 1 ? 0 ∴a ?1 ∵ a ? ?3 与 a ? 1 不可能同时成立 ∴p 且 q 不可能为真命题

??????5 分 ??????8 分 ??????10 分

? ? ? ? 18. 解:因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) ,
所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

? ?

即 mx 2 ? y 2 ? 1 .??????4 分

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ;??????6 分 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆??????8 分 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; ??????10 分 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. ??????12 分 19. 【答案】解: (1)? CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,??????2 分
又? AC ? 平面 A1CD , 1
? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。??????4 分 ? AC 1

z A1 (0,0,2 3)

(2) 如图建系 C ? xyz , 则 D ? ?2 , 0, 0 ? ,A 0 ,0 ,2 3 ,
B ?0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0 ? ??????6 分

?

?

M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

D (-2,0,0) C (0,0,0) x

???? ? ???? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0?

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?
???? ? ? ? A1 B ? n ? 0 则 ????? ? ? ? ? A1 E ? n ? 0

?3 y ? 2 3z ? 0 ? ∴? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

? ∴ n ? ?1 ,2 , 3 ??????8 分

?

?

设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3?

??? ? ???? a, 0? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 ,

?

?

? ? ? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?



?ay ? 2 3z1 ? 0 ? 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0

? 3 z ? ay ? ? 1 6 1 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?? ? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a ??????10 分

?

?

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, ? ? ? ? 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。???12 分 a?1-x? (1)f′(x)= (x>0),??????1 分 x 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为;??????5 分 当 a=0 时,f(x)不是单调函数.??????6 分 3a 3 (2)由 f′(4)=- = ,得 a=-2,则 f(x)=-2lnx+2x-3, 4 2 1 3 m ∴g(x)= x +( +2)x2-2x, ∴g′(x)=x2+(m+4)x-2. ??????8 分 3 2 ∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且 g′(0)=-2<0, 20.解: ∴? '

? g ' (1) ? 0 ? g (3) ? 0

??????10 分

m<-3, ? ? 19 得:? 故 m 的取值范围是(- ,-3).??????12 分 19 3 m > - , ? 3 ? 21. 解: (Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),(0, 3) 为焦长, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1,
??3 分

y2 ? 1. 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
2

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 k ?4 k ?4
2

而 y1 y2 ? k x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 所以 k ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

??? ? ??? ? 1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 1 12 4 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2

?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4 ? ? , 172 17 172

所以 AB ?

???? ?

4 65 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 17

22. 解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). ????2 分 x

2 依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

方法一:则 a ?

1? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立, 2 x x 1 2 即 a ? (( ? 1) ? 1) min ( x ? 0) ????4 分 x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 x
∴ a 的取值范围是 (??, ?1] ????5 分

方法二:二次函数 ax ? 2 x ? 1 图像的对称轴 x ? ?
2
2

1 ? 0 ,开口向下,且过定点 (0, ?1) , a

所以, ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立等价于 ? ? 4 ? 4a ? 0,? a ? ?1 ??6 分 (2) a ? ?

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. ????6 分 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . ???7 分 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x
列表:

x
g ?( x)

(1, 2)

2

(2, 4)

?

0

?

g ( x)

?

极小值

?

∴ g ( x) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g (1) ? ?b ?

5 ,又 g (4) ? 2ln 2 ? b ? 2 ?10 分 4

? 方程 g ( x) ? 0 在上恰有两个不相等的实数根.
? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 , 得 ln 2 ? 2 ? b ? ? ????12 分 4 ? g (4) ? 0 ?


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