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2012级高一数学期末复习题(3)函数


成都七中高 2012 级高一上期期末复习专题讲座 第三讲 映射、函数三要素、反函数
编者:刘正平 1、 映射的概念:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的 _________________,在集合 B 中____________________和它对应,那么这样的对应叫 做_____________________________记作 f :A→B。如果 a ? A , b ? B , b 与 a 对应。 则把元素 b 叫做_______________,元素 a 叫_______________。 集合 A 叫_______________,集合_______________叫象集合 2、 (1)函数定义: 设 A、B 是两个_____________,如果依照某种确定的对应关系 f 使_________________ 数 x , 在 ______________________________ 数 f ( x ) 和 它 对 应 , 则 称 f : A → B 为 _________________的一个函数。记作 y ? f ( x ), x ? A 。 (2)也可用映射概念来定义函数: 当 A、B 是_______________,A 到 B 的映射 f :A→B 叫做___________________的一 个函数,原象集合 A 叫____________,象集合 C_________叫__________。 (3)表示函数的方法有___________、___________、___________。 (4)函数的三要素是 ___________、___________、___________。 3、 (1)反函数的定义 设函数 y ? f ( x ) ( x ? A ) 的值域为 C、从式子 y ? f ( x ) 中解出 x ,得到式子 x ? ? ( y ) 。 如果对于 y 在 C 中的_______________通过 x ? ? ( y ) , x 在 A 中_______________和它 对 应 。 那 么 函 数 x ? ? ( y ) ( y ? C ) 叫 做 函 数 y ? f ( x ) ( x ? A ) 的 ___________ 记 作
x ? f
?1

( x ) ,并改写成_______________。
?1

(2)若 y ? f ( x ) 的反函数是 y ? f

( x ) ,则 y ? f

?1

( x ) 的反函数是______________。
?1

(3) 原函数 y ? f ( x ) 的___________, ___________分别是它的反函数 y ? f 域,值域。 (4)互为反函数的两个函数的图象关于_____________对称。 注意事项:

( x ) 的定义

1、 在映射 f :A→B 中,允许 B 中的元素没有原象,但 A 中的每一个元素必有唯一的象, 映射有一对一,多对一两种情况,但没有一对多的情况。

2、 对 应 法 则 与 值 域 分 别 相 同 的 函 数 , 不 一 定 是 同 一 函 数 。 如 y ? x ( x ? R ) 与
2

y ? x

2

( x ? 0)

3、 求定义域的关键是抓准自变量的受限条件,应用问题还应结合实际考虑。 4、 y ? f ( x ) 的定义域是指 x 的取值范围而不是 x 的取值范围。
2

2

5、 函数的值域取决于函数的定义域与对应法则,特别是定义域容易被忽略。 6、 求函数的解析式一般还需求自变量的取值范围。 7、 单调函数必有反函数,但存在反函数的函数不一定单调。如 y ? 8、 y ? f
y ? f
?1

1 x

( x ? 0)

( x ? 1) 并不是 y ? f ( x ? 1 ) 的反函数, y ? f ( x ? 1) 的反函数若存在,应为 (x) ? 1

?1

典型例题: 例 1、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0 ,1] , 求函数 g ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a )( a ? 0 ) 的定义域。

例 2、已知 f ( x ) ? lo g 2 ( x ? 1) ,若 [1 ? f

?1

( a )] ? ? f [1

?1

( b )] ? 8 ,求 f ( a ? b ) 的值

例 3、 将长度为 1 的铁丝分成两段, 分别围成一个正方形和一个圆形, 若正方形的边长为 x 。 正方形与圆的面积之和为 y,求 y 关于 x 的表示式。 x 为何值时 y 取得最小值。

例 4、设二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ? 2 ) ,且图象在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴截 得的线段长为 2 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式。

例 5、已知函数 f ( x ) ? (1) 当 a ?
1 2

x ? 2x ? a
2

x ? [1, ? ? )

x

时,求 f ( x ) 的最小值

(2) 若对任意的 x ? [1, ? ? ) , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例 6、已知函数 f ( x ) ?

2?

x?3 x ?1

的定义域为 A, g ( x ) ? lg [( x ? a ? 1)( 2 a ? x )] ( a ? 1) 的

定义域为 B,若 A ? B ? B 求实数 a 的取值范围

练习: 1、设 A ? B ? N ,映射 f :A→B 下 A 中元素 n 的象是 2 ? n ,则象 20 的原象是(
n



A、2 2、函数 y ?
2 x ?1 1 2

B、3

C、4

D、5 )

的定义域是 ( ? ? ,1) ? [ 2, 5) 则其值域是( B、 ( ? ? , 2 ) D、 (0, ? ? )

A、 ( ? ? , 0 ) ? ( , 2 ] C、 ( ? ? , ) ? [ 2 , ? ? )
2 1

3、函数 y ?

2x ? 5 x?3

的值域是 ( ? ? , 0 ) ? [ 4, ? ? ) ,则此函数的定义域是_________________。

4、已知函数 f ( x ) ? 1 0
2

x ?1

? 2 ,则 f

?1

(8) 的值为___________

5、求函数 f ( x ) ?

x ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

的定义域

x 6、若函数 f ( 2 ) 的定义域是 [ ? 1,1) ,求函数 y ? f (lo g 1 x ) 的定义域
2

7、若函数 f ( x ) ?

1 2

( x ? 1) ? a 的定义域和值域都是 [1, b ] ,试求 a , b 的值
2

8、设函数 f ( x ) ? x ? x ?
2

1 2

的定义域是 [ n , n ? 1] ( n ? N ) ,求 f ( x ) 的值域中的整数个数

9、已知 f ( x ) ? lg ( a x ? a x ? 1)
2

(1)若 f ( x ) 得定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 (2)若 f ( x ) 得值域为 R,求实数 a 的取值范围。


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