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圆锥曲线中的定值、定点问题


圆锥曲线中的定值、定点问题
一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定 “定值” 是多少, 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角 式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 例1. 已知动点 E 在直线 l : y ? ?2 上,过点 E 分别作曲线 C : x2 ? 4 y 的切线 E

A, EB , 切点为 A 、 B , 求证:直线 AB 恒过一定点,并求出该定点的坐标; 解:设 E (a,?2), A( x1 ,

x12 x2 x2 1 ), B( x2 , 2 ) ,? y ? ? y' ? x 4 4 4 2

过 A的 物 切 方 为 点 抛 线 线 程

y?

x12 1 ? x1 ( x ? x1 ), 切 过 E点, ? 线 4 2

? ?2 ?

x12 1 ? x1 (a ? x1 ), 整理得: x12 ? 2ax1 ? 8 ? 0 4 2

2 同理可得: x2 ? 2ax2 ? 8 ? 0

? x1 , x2是 程 x 2 ? 2ax ? 8 ? 0的 根 ? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?8 方 两
a ?4 ) ,又 k AB 2
2
2 x12 x2 ? y ?y x ?x a ? 1 2 ? 4 4 ? 1 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 4 2

可 AB中 为 (a, 得 点

? 直线AB的方程为y ? (

a a2 a ? 2) ? ( x ? a) , 即y ? x ? 2 ? AB过定点(0,2) . 2 2 2
xx x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1 , 2 2

例 2、已知点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 E :

直线 l0 过 P 点与直线 l 垂直,点 M(-1,0)关于直线 l0 的对称点为 N,直线 PN 恒 过一定点 G,求点 G 的坐标。 解:直线 l0 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ,即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 设 M (?1,0) 关于直线 l0 的对称点 N 的坐标为 N (m, n)

? 2 x 3 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x0 ? n m? 0 ? ? m ?1 ? ? 2 y x0 2 ? 4 ? ? 0 则? ,解得 ? 4 3 2 ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 ? ? 0 2 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 ?

?

n ? y0 x04 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 8 直线 PN 的斜率为 k ? ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4)
从而直线 PN 的方程为: y ? y0 ?

x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4)

即x?

2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) y ?1 x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8
从而直线 PN 恒过定点 G (1, 0)

(2)恒为定值问题 例 3、 已知椭圆两焦点 F1 、F2 在 y 轴上, 短轴长为 2 2 , 离心率为

2 ,P 是椭圆在第一 2



限弧上一点,且 PF ? PF2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭 1 圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; 解: (1)设椭圆方程为

???? ???? ?

y2 x2 ? ? 1 ,由题意可得 a 2 b2

y2 x2 ?1 a ? 2, b ? 2, c ? 2 2 ,所以椭圆的方程为 ? 4 2
则 F (0, 2), F2 (0, ? 2) ,设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) 1 则 PF ? (?x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (?x0 , ? 2 ? y0 ), 1

????

???? ?

???? ???? ? 2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1
2 2 x0 y0 ? 1. ? 点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则 ? 2 4 2 4 ? y0 ?x ? 2 2 0

从而

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 ,则点 P 的坐标为 (1, 2) 。 2

(2)由(1)知 PF1 // x 轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数, 设 PB 斜率为 k (k ? 0) ,则 PB 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1)

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? ?2 4

得 (2 ? k 2 ) x2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k )2 ? 4 ? 0

设 B( xB , yB ), 则 xB ?

2k (k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 ?1 ? 2 ? k2 2 ? k2

同理可得 xA ?

k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k ,则 x A ? xB ? 2 2?k 2 ? k2
8k 2 ? k2

y A ? yB ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ?
所以直线 AB 的斜率 k AB ?

y A ? yB ? 2 为定值。 x A ? xB

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A 、 B 两点,已知点 例 4、已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C : 5 5 3

???? ???? 7 M ( ? , 0) , 求证: MA ? MB 为定值. 3
x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 解: 将 y ? k ( x ? 1) 代入 5 5 3

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 ,
x1 ? x2 ? ?
???? ????

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 MA ? MB ? ( x1 ?

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 9

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 4 ? ? ? k2 ? 。 2 9 3k ? 1 9

二、针对性练习 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E , 射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE ,求证:直线 l 过定点;
2

解: (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,

? y ? kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3

? ? 36k 2n2 ? 4(1 ? 3k 2 )× 3(n2 ?1) ? 12(3k 2 ? 1 ? n2 ) ? 0
设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得:

x1 ? x2 =

?6 kn ?3kn n ?3kn ?k ? n ? ,即 x0 ? , y0 ? kx0 ? n ? , 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k ?3kn n , ), 所以中点 E 的坐标为 ( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
因为 O、E、D 三点在同一直线上, 所以 kOE ? KOD ,即 ?

1 m 1 ? ? , 解得 m ? , k 3k 3

1 ? k 2 ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 即 m2 ? k 2 的最小值为 2. 2 k m (Ⅱ)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x , 3
2 2 所以 m ? k =

m ? ?y ? ? 3 x m2 ? 所以由 ? 2 得交点 G 的纵坐标为 yG ? , m2 ? 3 ? x ? y2 ? 1 ?3 ?
n m2 n 2 ? m? 又因为 y E ? , yD ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所以 2 , 2 1 ? 3k m ?3 1 ? 3k 2
又由(Ⅰ)知: m ?

1 ,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 l : y ? kx ? k , k
令 x ? ?1 得,y=0,与实数 k 无关,

即有 l : y ? k ( x ? 1) ,

所以直线 l 过定点(-1,0).
2 2. 已知点 N 为曲线 y ? 4 x ( x ? 0) 上的一点, 若 A(4,0) , 是否存在垂直 x 轴的直线 l

被 请

以 AN 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在, 说明理由. 解:设 AN 的中点为 B ,垂直于 x 轴的直线方程为 x ? a , 以 AN 为直径的圆交 l 于 C , D 两点, CD 的中点为 H .

? CB ?

x?4 1 1 1 ? a ? x ? 2a ? 4 AN ? ( x ? 4)2 ? y 2 , BH ? 2 2 2 2

1 1 2 2 2 ? CH ? CB ? BH ? [( x ? 4)2 ? y 2 ] ? ( x ? 2a ? 4)2 4 4
1 ? [(4a ? 12) x ? 4a2 ? 16a] ? (a ? 3) x ? a2 ? 4a 4
所以,令 a ? 3 ,则对任意满足条件的 x , 都有 CH ? ?9 ? 12 ? 3 (与 x 无关) 即 CD ? 2 3 为定值. ,
2


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