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一元微积分B(下)14周测试卷(13-14一)答案


(勤奋 求是 创新 奉献)

2013~ 2014 学年第 一 学期(下)考试试卷
课程代码 210154 班级 __________ 学号 __________ 姓名 __________

《 一元微积分 B (下) 》课程测试卷
(本卷考试时间 70 分钟)

题 号 题 分 得 分


一 20

二 6

三 6

四 6

五 6

六 6

七 6

八 6

九 6

十 6

十 一

十 二

十 三

十 四

总 分 100

6

6

6

8

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 。

1.在积分曲线 y ? ? 2 cos xdx 中,过点 ,) ( 0 的曲线为 y ? 2sin x ? 1 . 6 2.设 ? f ( x)dx ? x ln x ? C ,则 f ?( x) ? 3. d [ ? arctan xdx] ? arctan x dx . 4. ? 5. ?
1 (填收敛或发散) dx 是 发散 的. ?1 x 2
1

?

1 . x

1 dx ? 1 ? 2 ln x ? C . x 1 ? 2 ln x

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一元微积分 B(下)测试卷

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二、 分)计算不定积分 ? (6
1 (2 x ? 2) ? 2 解:原式 ? ? 2 2 dx x ? 2x ? 3
?

x ?1 dx . x ? 2x ? 3
2

(两部分各 3 分)

1 1 2 2 ? x2 ? 2 x ? 3 d ( x ? 2 x ? 3) ? ? ( x ? 1)2 ? 2 dx 2

1 x ?1 ? ln( x 2 ? 2 x ? 3) ? 2 arctan ?C 2 2

三、 分)计算不定积分 ? arcsin xdx . (6 解:原式 ? x arcsin x ? ? x ?
1 1 ? x2 dx

(3 分)

? x arcsin x ? 1 ? x 2 ? C

(6 分)

四、 分)计算定积分 ? (6 解:令 x ? tan t ,则 原式 = ? ?3
4

3 1

dx x2 1 ? x2

.

?

sec 2 tdt tan 2 t sec t
?
3

(3 分)

? cos t 1 1 = ? ?3 dt = ? ?3 d sin t ? ? 2 2 sin t 4 sin t 4 sin t

?

?
4

??

2 3? 2 3

(6 分)

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1 1 ? x ? f (t )dt ,求 f ( x) . 0 1 ? x2 1 1 解:设 ? f (t )dt ? A ,则 f ( x) ? ? Ax , 0 1 ? x2 1 1 1 两边积分得 ? f ( x)dx ? ? ( ? Ax)dx , 0 0 1 ? x2

五、 分)已知 f ( x) ? (6

(2 分) (4 分) (6 分)

A ? A 即 A ? (arctan x ? x 2 ) ? ? , 2 4 2 0
1

所以 A ?

?
2

, f ( x) ?

1 ? ? x 2 1? x 2

六、 分)求极限 lim (6
x ?0

? ?
x 0

x2 0

t tan tdt

t 2 (t ? sin t ) dt

.

解:原式 ? lim
x ?0

x 2 tan x 2 ? 2 x x 2 ( x ? sin x)

(3 分)

? lim
x ?0

2x 3 6x 2 6x 2 ? lim ? lim ? 12 x ? sin x x ?0 1 ? cos x x ?0 1 x 2 2

(6 分)

七、 分)已知 ? et dt ? ? (6
2

y

x2 1

0

cos t dt ? 1 ,求 y ? . t

解:方程两边对 x 求导得:
e ? y? ?
y2

cos x 2 ? 2x ? 0 x2

(3 分)

所以

y? ? ?

2 c o x 2 ? y2 s e x

(6 分)

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一元微积分 B(下)测试卷

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sin x 是 f ( x) 的一个原函数,求 ? x 2 f ( x )dx . x sin x 解:原式 = ? x 2 d (2 分) x sin x sin x (4 分) =x 2 ? ?? ? 2 xdx x x

八、 分)已知 (6

=x sin x ? 2cos x ? C

(6 分)

?1 ? x 2 九、 分)已知 f ( x) ? ? (6 ? sin x

x?2 x?2

,求 ? f ( x ? 1)dx .
0

2

解:令 x ? 1 ? t ,则 原式 = ? f (t )dt
1 3

(2 分)
3

= ? (1 ? x 2 )dx ? ? sin xdx
1 2

2

(4 分) (6 分)

=

10 ? cos 3 ? cos 2 3

十、 分) ? (6 解:原式 ? ?
2 ?2

2 ?2

4 ? x 2 ? x 2 arctan x 4 ? x2
2 ?2

dx .

4 ? x 2 dx ? ?

x 2 arctan x 4 ? x2

dx

(2 分) (6 分)

1 ? ? ? 22 ? 0 ? 2? 2

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一元微积分 B(下)测试卷

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十一、 分)求反常积分 ? (6 解:原式 ? ?

?? 0

xe?2 x dx .
(3 分) (6 分)

?? ?? 1 ?? 1 xde?2 x ? ? [ xe?2 x ? ? e?2 x dx] 0 0 2 ?0 2 ?? 1 1 1 1 1 ? ? [ lim xe?2 x ? e?2 x ] ? ? (0 ? ) ? 0 x ??? 2 2 2 2 4

十二、 分)求由 y ? x 2 ? 2 x ? 3 与 y ? x ? 3 所围平面图形面积. (6
? y ? x2 ? 2x ? 3 解:联立 ? 得交点 (0,3), (3, 6) ?y ? x ?3

(1 分) (4 分)

所以面积 A ? ? [( x ? 3) ? ( x2 ? 2 x ? 3)]dx
0

3

3 1 9 ? ? (3x ? x )dx ? ( x 2 ? x 3 ) ? 0 2 3 2 0
3 2

3

(6 分)

十三、 分)证明 ? (6 证: ? 而?
2a a 2a 0 a 0

2a 0

f ( x)dx ? ? [ f ( x) ? f (2a ? x)]dx .
0 2a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx+?
0 a

f ( x)dx

(2 分) (4 分) (6 分)

f ( x)dxx ? 2a ? t ? f (2a ? t )(?dt ) ? ? f (2a ? t )dt ? ? f (2a ? x)dx
0 0 a a

所以等式成立。

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十四、 分) (8 过点 P(1,0) 作抛物线 y ? x ? 2 的切线, 该切线与上述抛物线以及 x 轴围 成一平面图形,求此图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积. 解:设切点为 ( x0 , x0 ? 2) ,则切线方程为
y ? x0 ? 2 ? 1 ( x ? x0 ) 2 x0 ? 2

(2 分) (3 分) (6 分)

将点 (1, 0) 代入得: x0 ? 3, y0 ? 1
3 1 所以体积 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ? ( x ? 2)2 dx 2 3 3 2 ? ? ? ? ? ( x ? 2)dx 2 3

2 1 ? ? ? ? ? ( x 2 ? 2 x) ? 3 2 6 2
3

(8 分)

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一元微积分 B(下)测试卷

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