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湖南省怀化市2015届高三上学期期中考试数学理


注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注 意事项的要求答题。 3.考试结束后,将答题卡收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测 2015 届高三上期中考试数学理试题
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 已知全集 U ? ? 1, 2, 3, 4, 5? ,集合 A ? {1, 2, 3} , B ? {2, 4} ,则 (CU A) ? B 为 A. {4} B. {2, 4, 5} C. {1, 2, 3, 4} D. {1, 2, 4, 5}

2. 设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是

1 1 b ? C. a ? 1 D. lg ?b ? a ? ? 0 a b 3. 已知向量 a ? (3, 1) , b ? ( x,?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? ,则实数 x 的值为
A. a ? b
3 3

B.

A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

4. 运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是

1 6 3 C. 4
A.

25 24 11 D. 12
B.

5. 函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) A.是偶函数,且在 (??,+?) 上是减函数 B.是偶函数,且在 (??, +?) 上是增函数 C.是奇函数,且在 (??,+?) 上是减函数 D.是奇函数,且在 (??,+?) 上是增函数 6. 由下列条件解 ?ABC,其中有两解的是 A. b ? 20, A ? 45?, c ? 80? C. a ? 14, c ? 16, A ? 45? B. a ? 30, c ? 28, B ? 60? D. a ? 4 3, b ? 4 2 , A ? 60?

7. 从装有 2 个黄球和 2 个蓝球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个黄球的概率是 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

第 1 页 共 10 页

8. 方程(x2+y2-4) x+y+1=0 表示的曲线形状是

9. 函数 f ( x) ? 2 ?
x

3 ? m 的一个零点在区间(1,3)内,则实数 m 的取值范围是 x
B.(0,5) C.(-7,1) D.(1,5)

A.(-1,7)

10.已知定义域为 (0,??) 的单调函数 f ( x) ,若对任意的 x ? (0,??) ,都有

f [ f ( x) ? log 1 x] ? 3 ,则方程 f ( x) ? 2 ? x 3 的解的个数是
2

A.0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 12.已知 ? ? (

3 ? , ? ), sin ? ? , 则 tan( ? ? ) ? ____. 2 5 4 13.已知函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) ,则 f ( x) 的定义域为_______________ .
3

?

1 ? an * (n?N ) ,则 a3 的值为 1 ? an

.

14.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2, 它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形, 那么它 的侧(左)视图面积的最小值是________. 15. 已 知 集 合 M ? x m x ? 1 ? _______________ .

?

x ? 3 ? 0, x ? R

?

,若

M ??

,则实数

m

的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x , 求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

? ) 部分图象如图所示. 2

? 2

第 2 页 共 10 页

17.(本小题满分 12 分) 设 p : 4x ? 1 ? 1 ; q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 . 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件 , 求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图 , 在四棱锥 S ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是正方形 , SA ? 底面 ABCD , SA ? AB , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N . (Ⅰ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? ?

? a n n为奇数 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 P n. ?bn n为偶数

20.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, O 为坐标原点,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 相 切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 3 与圆 O 交于 A , B 两点,在圆 O 上是否存在一点 Q ,使得
第 3 页 共 10 页

OQ ? OA ? OB ,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 单调递增区间; ( Ⅲ ) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数 ), 求实 数 a 的取值范围.

第 4 页 共 10 页

怀化市 2014 年下期高三期中统一检测

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11. ? 1 B 2 D 3 A 4 B 5 D 6 C 7 C 8 C 9 A 10 B

1 ; 2

12.

1 ; 7

13. ( , 1 ] ;

16 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 ,

所以 ? ? 2 ………3 分 当x?

T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? …………2 分 2 3 6 2

1 2

14. 2 3 ;

15. (?? ,? ) ? ( ,?? ) .

1 3

1 6

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? , 所以 ? ? …………5 分 2 6 ? 所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ……………………6 分 6
(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

?

6

) ? cos 2 x

? ? 3 1 ? cos 2 x sin ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 6 2 2 ? ? sin(2 x ? ) …………………9 分 6 ? ? ? 5? 因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? …………10 分 2 6 6 6 ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 6 2 3 ? ? 1 当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .……12 分 6 6 2 1 17 解:由 4x ? 1 ? 1 得, ? 1 ? 4 x ? 1 ? 1 , 故 0 ? x ? ……………3 分 2 2 由 x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ? ? x ? a ? ? ? x ? ? a ? 1? ? ? ? 0 ? a ? x ? a ? 1 ……6 分 ? sin 2 x cos

? 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, ? 1? ? q是p 的必要而不充分条件, 即 ?0, ? ? ?a, a ? 1? ………………9 分 ? 2? ?a ? 0 1 ? ?? 1 ? ? ? a ? 0 …………………11 分 2 a ?1 ? ? 2 ? ? 1 ? 故所求 a 的取值范围是 ?? ,0? ……………… 12 ? 2 ? 18 证明(Ⅰ):? SA ? 底面 ABCD , ? DC ? SA 又底面 ABCD 是正方形,? DC ? DA ? DC ? 平面 SAD , ? DC ? AM
第 5 页 共 10 页



又? SA ? AD , M 是 SD 的中点,? AM ? SD , ? AM ? 面 SDC ? SC ? AM 由已知 AN ? SC , ? SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 面 SAC ,? 面 SAC ? 面 AMN ………6 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 F ,则 MF // SA . 作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ .

? SA ? 底面 ABCD , ? MF ? 底面 ABCD
? ?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平面角
设 SA ? AB ? a ,在 Rt?MFQ 中

? FQ ? AC , ? MQ ? AC

MF ?

1 a 2 6 SA ? , FQ ? a , MQ ? MF 2 ? FQ2 ? a 2 2 4 4

? cos?FQM ?

FQ 3 ………………11 分 ? MQ 3
3 …………12 分 3

所以二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

解法 2:(Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,由于 SA ? AB , 可设 AB ? AD ? AS ? 1 , 则 A?0,0,0?, B?0,1,0?,

C ?1,1,0?, D?1,0,0?, S ?0,0,1?,
?1 1? M ? ,0, ? …………………3 分 ?2 2? ?1 1? ? AM ? ? ,0, ? , CS ? ?? 1,?1,1? …………………4 分 ?2 2?

? AM ? CS ? 0 ,

? AM ? CS

又? SC ? AN 且 AN ? AM ? A ? SC ? 平面 AMN .又 SC ? 平面 SAC 所以,平面 SAC ? 平面 AMN …………………6 分 (Ⅱ)? SA ? 底面 ABCD ? AS 是平面 ABCD 的一个法向量, AS ? ?0,0,1? ……7 分

设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ?x, y, z ? ? AC ? ?1,1,0? , AM ? ? ,0, ? ,

?1 ?2

1? 2?

第 6 页 共 10 页

? ? ?n ? AC ? 0 则 ?? ? ?n ? AM ? 0
? cos ? AS, n ?? ?

得 n ? ?1,?1,?1?…………9 分

?

3 …………11 分 3 3 …………12 分 3

? 二面角 D ? AC ? M 的余弦值是

19 解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n …………3 分 ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 , 当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 …………6 分 (Ⅱ) cn ? ?

n为奇数 ? 4n . n ?1 3 ? 2 n 为偶数 ?
? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? bn )

当 n 为偶数时, P n ? (a1 ? a3 ?

(4 ? 4n ? 4) ?
= 当 n 为奇数时,

2

n n 2 6(1 ? 4 ) 2? ? 2n?1 ? n2 ? 2 ……………8 分 1? 4

( n?1) ?1 法一: n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 ……11 分 n ? P n ?1 ? cn ? 2

法二: P n ? (a1 ? a3 ?

? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ?

? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 6(1 ? 4 ) 2 ? ? 2n ? n2 ? 2n ? 1……………11 分 2 1? 4

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ……………13 分 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数
20 解: (Ⅰ)设圆 O 的半径为 r ,因为直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 O 相切, 所以 r ?

| 0 ? 3?0 ? 4 | ? 2 ………………3 分 1? 3
2 2

所以圆 O 的方程为 x ? y ? 4 ………………5 分

第 7 页 共 10 页

(Ⅱ)方法一:因为直线 l : y ? kx ? 3 与圆 O 相交于 A , B 两点, 所以 dO ?l ?

| 3| 1? k 2

?2,

所以 k ?

5 5 或k ? ? ……………7 分 2 2

假设存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB ……………8 分 因为 A , B 在圆上,且 OQ ? OA ? OB ,同时 | OA |?| OB | 由向量加法的平行四边形法则可知 四边形 OAQB 为菱形,所以 OQ 与 AB 互相垂直且平分 ……………9 分 所以原点 O 到直线 l : y ? kx ? 3 的距离为 d ? 即 d O ?l ?

1 | OQ |? 1 …………10 分 2

| 3| 1? k
2

? 1 ,解得 k 2 ? 8 , k ? ?2 2 ,经验证满足条件…………12 分

所以存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB …………13 分 方法二:假设存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB .记 OQ 与 AB 交于点 C( x0 , y0 ) 因为 A ,B 在圆上, 且 OQ ? OA ? OB , 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, 因为直线 l 斜率为 k ,显然 k ? 0 ,所以 OQ 直线方程为 y ? ?

1 x …………7 分 k

?3k ? x0 ? 2 ? y ? kx ? 3 ? ?6 k 6 ? ? k ?1 , 2 ) ………9 分 , 所以点 Q 坐标为 M ( 2 1 , 解得 ? ? k ?1 k ?1 y?? x ?y ? 3 ? k ? 0 2 ? k ?1 ?
因为点 Q 在圆上,所以 (

?6 k 2 6 ) ? ( 2 ) 2 ? 4 ,解得 k 2 ? 8 …………11 分 2 k ?1 k ?1

即 k ? ?2 2 ,经验证满足条件…………12 分 所以存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB …………13 分 21 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,

第 8 页 共 10 页

又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 ……3 分 (Ⅱ)由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 令 h( x) ? 2x ? (a x ? 1) ln a ,则 h' ( x) ? 2 ? a x ln 2 a ? 0 所以当 a ? 0, a ? 1 时, f ?( x) 在 R 上是增函数…………………5 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) …………………8 分 (Ⅲ)因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可. …………………9 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0
0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数 ,所以当 x ? [?1,1] 时 , f ? x ? 的最小 值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) . 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上 是增函数,解得 a ≥ e ………………11 分 当 0 ? a ? 1 时 , f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 , 即

1 a

1 1 ? ln a ≥ e ? 1 , 函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上 a a

是减函数,解得 0 ? a ≤ .………………12 分
第 9 页 共 10 页

1 e

综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] [e, +?) ………………13 分

1 e

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