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6.3.2等比数列的前n项和教学设计


6.3.2 等比数列的前 n 项和
【教学目标】 1. 理解并掌握等比数列前 n 项和公式,并会应用公式解决简单的问题. 2. 逐步熟练等比数列通项公式与前 n 项和公式的综合应用,培养学生的运算能力. 3. 通过公式的探索、发现,培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力,渗透类比与转化的 思想. 【教学重点】 等比数列前 n 项和公式的应用. 【教学难点】 等比

数列前 n 项和公式的推导和灵活运用. 【教学方法】 本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法.师生共同参与整个教学活动,教师是活动 的主导,学生是活动的主体,教师在引导的同时,让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、 探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的. 【教学过程】 环节 教学内容 印度一国王与国际象棋发明家的故 事:发明者要国王在他的棋盘上的 64 格 题. 导 入 中的第 1 格放入 1 粒麦粒, 第 2 格放入 2 粒麦粒,第 3 格放入 4 粒麦粒,第 4 格 放入 8 粒麦粒……问应给发明家多少粒 麦粒? 师生互动 教师讲故事,并提出问 设计意图 利用学生好奇心 理,让学生去经历知 学生分组合作探究.学生 识 的 形 成 与 发 展 过 用计算器依次算出各项的值, 程,便于调动学生学 然后再求和. 教师对他们的这种思路给 予肯定. 1 .求数列 1 , 2 , 4 ,…, 262 , 263 的各项和 数列 1,2,4,…,262,263 是以 1 师:数列 1,2,4,…, 262, 263 是个什么数列?有何特 征?前面的问题应归结为什么 习本节课的积极性.

为首项,2 为公比的等比数列,前面的问 数学问题呢? 题应归结为求这个数列前 64 项的和,可 新 课 表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263. ① 师:让我们寻找一种更简 教学中,繁难的 学生思考回答.

单的解决这个问题的办法吧. 求解过程激起学生急 师:观察①式中的各项有 于 探 求 新 方 法 的 欲 何联系? 望,为后面的教学埋

学生会发现,后一项都是 下伏笔. 前一项的 2 倍.

1

2S64 = 2+4+8+…+263 +264.



师:如果我们把每一项都 乘公比 2,得到②式,请观察

留出时间让学生 充分地比较,等比数

各项发生了什么变化?与①式 列前 n 项和公式的推 有什么联系? 导关键是错位相减,

学生发现, 除最后一项外, 培养学生的辩证思维 每一项都变成了①的后一项. 能力. 教师继续引导学生比较、 ①-②,得到 S64 -2S64 = 1-2 . 即 (1-2)S64 = 1-2 . S64 = 1-2 . 1-2
64 64 64

探究:①、②两式有许多相同

让学生在化繁为

的项,用什么办法可以把相同 简的过程中,充分感 的项消掉? 学生会想到把两式相减, 消去相同的项. 教师板书推导过程,得出 求和公式. 教师指出:这就是错位相 减法,并要求学生纵观全过程 受到数学的简洁性.

新 课

后反思:为什么①式两边要同 乘 2 呢?

教师顺势引导学生将结论 2.等比数列的前 n 项和公式. a1(1- q n) 当 q≠1 时,Sn = ; 1-q 当 q =1 时,Sn = n a1. 等比数列的前 n 项和公式,包含四 个变量,只要知道其中任意三个,就可 求出第四个. 一般化. 等比数列的前 n 项和公式 要分 q≠1 与 q =1 时两种情况 讨论. 在教师的引导 培养学生分类讨 论的意识.

请学生说出公式中包含的 下,让学生从特殊到 变量:a 1,q ,n,Sn . 一般,完成公式的探 究.

1 1 1 例 1 求等比数列 , , ,…的前 2 4 8 8 项的和. 1 4 1 1 因为 a 1= ,q= = ,n=8, 2 1 2 2

学生独立思考, 自主解题. 师生共同总结解法. 教师订正评价. 通过对例题的解 答,强化对公式的掌 握.



1 1 [1-( )8] 2 2 255 所以 S8 = = . 1 256 1- 2

2

练习 根据下列各组条件,求相应的等比 数列{an }的 Sn: (1)a1=3,q=2,n=6; 1 (2)a1=8,q= ,n=5. 2

学生练习, 教师巡视指导.

1 例 2 等比数列{an}的公比 q=- , 3 新 课

教师出示例 2,引导学生

分析题意,写出已知、所求, 5 前 4 项的和 ,求这个等比数列的首项. 9 自主解答. 解 根据等比数列前 n 项和公式及 请学生在黑板上板演. 已知条件可得 5 = 9 3 解得 a1= . 4 3 即首项为 . 4 等比数列的前 n 项和公式: 学生阅读课本 P21~P22, 畅谈本节课的收获. 教师引导梳理,总结本节 课的知识点和解题方法. 学生课后完成. 教师鼓励学生 积极回答,培养学生 的口头表达能力和 归纳概括能力. 巩固拓展.
n

师生共同订正. 1 a1[1-(- )4] 3 , 1 1-(- ) 3

小 结

当 q≠1 时,Sn =

a1(1-q ) ; 1-q

当 q =1 时,Sn = n a1. 作 业 教材 P23,练习 A 组第 2 题;B 组 第 1 题.

3


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