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成都华西中学高2014级零诊练习题零诊5


华西中学高二专用

2011 级零诊数学模拟训练五

姓名

一、选择题: (本题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分)
1.已知集合 M ? {x | x ? 3} ,N={x|2x---1>0},则 M A. ? , B.

N ?(

)
<

br />{x | x ? 3} ,

C. )

{x |1 ? x ? 3} , D . {x | 0 ? x ? 3}

2.函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域是 ( A. (1,2) 3.函数 y ? 2sin 2 ( B. (e, ??)

C. (1,??) )

D. (1, e)

?
4

? x) ? 1 是 (

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 4.已知物体 度为 (

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

?
2

的奇函数
2

?
2

的偶函数

的运动方程为 s ? t ? )
学科网

3 ( t 是时间, s 是位移) ,则物体在时刻 t ? 2 时的速 t
15 4 13 4

A.

19 4

B.

17 4

C.

D.

学科网

a 4 ? 15 ,S5 ? 55 , 5.已知 ?a n ? 是等差数列, 则过点 P (3, a3 ), Q (4, a4 ) 的直线的斜率为 (
A.4 B.



1 4

C.-4

D.-14

6.已知三棱锥底面是边长为 1 的正三角形,侧棱长均为 2,则侧棱与底面 所成角的余弦值为 ( A. ) , C.

3 , 2

B.

1 2

3 3

,

D.

3 6

7. 如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个程序框图,则图中执 ? ? ... ? 3 5 29
( )

行框内①处和判断框中的②处应填的语句是 A. n ? n ? 2, i ? 15 C. n ? n ? 1, i ? 15

B. n ? n ? 2, i ? 15 D. n ? n ? 1, i ? 15

8.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,

2
1 俯视图

4
正(主)视图

4
侧(左)视图

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可得该几何体的表面积是( A. 32? C. 12? 9.已知双曲线 B. 16? D. 8?



x2 y 2 - 2 = 1 (a ? 0, b ? 0) ,若过其右焦点 F 作倾斜角为 450 的直线 l 与双曲 2 a b
) D. (1, 2) )

线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率的范围是( A. [ 2 , ? ) B. (1, 2) C. [2, ? )

10.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,并满足以下条件: ( (1) f ( x) ? 2a g ( x), (a ? 0, a ? 1) ; (2)g ( x) ? 0 ; (3) f
x

( x) g ' ( x) ? f ' ( x) g ( x)



f (1) f (?1) ? ? 5 ,则 a ? g (1) g (?1)
A.

1 ; B. 2 2

;

C.

5 4

;

D.

2或

1 2

二、填空题(本题共 5 小题。每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,若 a, b 成 120 的角,则 k=
0



12.小明家的晚报在下午 5:30—6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午 6:00—7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 则晚报在晚餐开始之前被就送到的概率是 __________。 13. 函数 则 f (1) ? f (2) +?+f(4006)的值为 的部分图象如图所示, 。 第 12 题 14. M 是抛物线 y ? 4 x 上一点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点。以 Fx 为始边, FM 为终
2 2

边的角 ?xFM ? 60? ,则 ?MOF ( O 是坐标原点)的面积为___________________。

?x ? 2 y ? 15.若实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 的最大值是__________。 x ?1 ?x ? y ? 2 ?
三、解答题: (共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数, f ( x) ? A cos 2 (? x ? ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2

?
2

) 的最大值为 3,f ( x) 的

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图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距为 2. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

17. (本小题满分12分) 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、 乙两人依次各抽一题。 ① 甲抽到选择题, 乙抽到判断题的概率是多少?② 甲、 乙二人中至少有一人抽到选择题的 概率是多少?

3

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18.(本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,ED=1, E F//BD 且 E F= BD. (I)求 证 : BF//平 面 ACE (II)求 证 : 平 面 EAC 丄 平 面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) .
*

设 bn ?

an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2n

4

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20.(本小题满分 13 分)已知动点 P 到直线 y ? ?1 的距离比它到点 F (0, ) 的距离大 (Ⅰ )求动点 P 的轨迹方程;

1 4

3 4

(Ⅱ )若点 P 的轨迹上不存在两点关于直线 l: y ? m( x ? 3) 对称,求实数 m 的取值范围.

5

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21.(本小题满分 14 分)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

答案 一、选择题: (满分 50)
1.已知集合 M ? {x | x ? 3} ,N={x|2x---1>0},则 M A. ? , B.

N ?(

)

{x | x ? 3} ,
)

C.

{x |1 ? x ? 3} , D . {x | 0 ? x ? 3}

2.函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域是 ( A. (1,2) 3.函数 y ? 2sin 2 ( B. (e, ??)

C. (1,??) )

D. (1, e)

?
4

? x) ? 1 是 (

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 4.已知物体 度为 (

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

?
2

的奇函数
2

?
2

的偶函数

的运动方程为 s ? t ? )
学科网

3 ( t 是时间, s 是位移) ,则物体在时刻 t ? 2 时的速 t 15 4 13 4

A.

19 4

B.

17 4

C.

D.

学科网

5.已知 ?a n ? 是等差数列, a 4 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 P (3, a3 ), Q (4, a4 ) 的 直线的斜率为( A.4 ) B.

1 4

C.-4

D.-14

6.已知三棱锥底面是边长为 1 的正三角形,侧棱长均为 2,则侧棱与底面 所成角的余弦值为 ( )

6

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A.

3 , 2

B.

1 2

,

C.

3 3

,

D.

3 6

7. 如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断 ? ? ... ? 3 5 29
( )

框中的②处应填的语句是 A. n ? n ? 2, i ? 15 C. n ? n ? 1, i ? 15

B. n ? n ? 2, i ? 15 D. n ? n ? 1, i ? 15

8.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ) A. 32? C. 12? B. 16? D. 8?
俯视图

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

9.已知双曲线

x2 y 2 - 2 = 1 (a ? 0, b ? 0) ,若过其右焦点 F 作倾斜角为 450 的直线 l 与双曲 2 a b
) D. (1, 2) )

线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率的范围是( A. [ 2 , ? ) B. (1, 2) C. [2, ? )

10.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,并满足以下条件: ( (1) f ( x) ? 2a g ( x), (a ? 0, a ? 1) ; (2)g ( x) ? 0 ; (3) f
x

( x) g ' ( x) ? f ' ( x) g ( x)



f (1) f (?1) ? ? 5 ,则 a ? g (1) g (?1)
A.

1 ; B. 2 2

;

C.

5 4

;

D.

2或

1 2

二、填空题(本题共 5 小题。每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,若 a, b 成 120 的角,则 k=
0



12.小明家的晚报在下午 5:30—6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午 6:00—7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐, 则晚报在晚餐开始之前被就送到的概率是 ____

7 ______。 8

13. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,

7

第 12 题

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则 f (1) ? f (2) +?+f(4006)的值为

2



14. M 是抛物线 y ? 4 x 上一点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点。以 Fx 为始边, FM 为终
2 2

边的角 ?xFM ? 60? ,则 ?MOF ( O 是坐标原点)的面积为__________ 3 _________。

?x ? 2 y ? 15.若实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 的最大值是____2______。 x ? 1 ?x ? y ? 2 ?
三、解答题: (75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数, f ( x) ? A cos 2 (? x ? ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距为 2. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的单调递增区间. 解: (Ⅰ)? f ? x ? ?

?
2

) 的最大值为 3,f ( x) 的

A A cos?2?x ? 2? ? ? 1 ? 2 2 A A 依题意 ? 1 ? ? 3, ? A ? 2 2 2 T 2? 又 ? 2 ,得 T ? 4 ? ?4 2 2?

------- 1 分 ------2 分

??

?
4

-------3 分

?? ? ? f ? x ? ? cos? x ? 2? ? ? 2 ?2 ?
令 x=0,得

cos 2? ? 2 ? 2 , 又0 ? ? ?

?
2

? 2? ? 2 x

?
2

-------4 分 -------6 分

所以函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2 ? sin (还有其它的正确形式,如: f ( x) ? 2 cos 2 ( (Ⅱ)当 2k? ?

?
?

?
4

x?

?
2

?

?
2

x ? 2 k? ?

3? , k ? Z 时 f ? x ? 单调递增 2

4

) ? 1, f ( x) ? cos(

?
2

x?

?
2

) ? 2 等)
-----8 分 ------10 分

即 4k ? 1 ? x ? 4k ? 3 , k ? Z ∴ f ? x ? 的增区间是 (4k ? 1, 4k ? 3), k ? Z

-------12 分

8

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17. (本小题满分12分) 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、 乙两人依次各抽一题。 ① 甲抽到选择题, 乙抽到判断题的概率是多少?② 甲、 乙二人中至少有一人抽到选择题的 概率是多少? 解: (1)记 “甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A, 甲抽到选择题有 6 种抽法,乙抽到判断题有 4 种抽法, 所以事件 A 的基本事件数为 6 ? 4 ? 24 ∴ P ( A) ? ??????4 分 ??6 分 ??2分

6? 4 4 ? 10 ? 9 15

② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解: (2)记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B, “至少一人抽到选择题”为事件 C, 则 B 含基本事件数为 4 ? 3 ? 12 由古典概率公式得 P ( B ) ? ????8 分 ???10 分

12 2 ? 10 ? 9 15 2 3 ? 15 15

由对立事件的性质可得 P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

??12 分

18.(本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,E D= 1, EF//BD (I)求 证 : BF//平 面 ACE (II)求 证 : 平 面 EAC 丄 平 面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积. 解: (Ⅰ)如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO,于是 DO=OB. 且 EF = BD.

9

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∵ EF∥BD 且 EF=

E ∴ EF OB, F ∴ 四边形 EFBO 是平行四边形, ∴ BF∥EO. D 而 BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE, ∴ BF∥平面 ACE.??????????4 分 O (Ⅱ)∵ ED⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, B A ∴ ED⊥AC. ∵ ABCD 是正方形, ∴ BD⊥AC, ∴ AC⊥平面 BDEF. 又 AC? 平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. ???????????8 分 (Ⅲ)连结 FO,∵ EF DO, ∴ 四边形 EFOD 是平行四边形. 由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO, ∴ 四边形 EFOD 是矩形. ∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF. ∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高,

1 BD, 2

C

EF ? FO 1 ? 2 6 ? = . 3 OE 3 ∴几何体 ABCDEF 的体积 V ? V三棱锥E ? ACD ? V三棱锥F ? ACE ? V三棱锥F ? ABC
且高 h=

1 1 1 1 6 1 1 = ? ? 2 ? 2 ? 1+ ? ? 2 2 ? 3 ? + ? ? 2 ? 2 ?1 3 2 3 2 3 3 2 =2.?????????????????12 分
19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) .
*

设 bn ?

an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2n

解:在 Sn ? 2an ? 2n?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? 2a1 ? 22 ? 2 ,即 a1 ? 2 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2n ? 2 ,则 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ? 2n

? an ? 2an?1 ? 2n ,即
∵ bn ?

an an ?1 ? ?1 2 n 2 n ?1

an ∴ bn ? bn?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 1 2n a 又 b1 ? 1 ? 1 ∴数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列 2
于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n (n ? N ) ,
*

从而 an ? 2n ? bn ? n ? 2n (n ? N )
*

20.(本小题满分 13 分)已知动点 P 到直线 y ? ?1 的距离比它到点 F (0, ) 的距离大 (Ⅰ )求动点 P 的轨迹方程;
10

1 4

3 4

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(Ⅱ )若点 P 的轨迹上不存在两点关于直线 l: y ? m( x ? 3) 对称,求实数 m 的取值范围. (Ⅰ)据题意可知,点 P 到直线 y ? ? 点 F (0, ) 为交点,直线 y ? ? 因为 p ? (Ⅱ)若

1 1 的距离等于它到点 F (0, ) 的距离,所以点 P 的轨迹是以 4 4

1 4

1 为准线的抛物线. 4

1 2 ,抛物线开口向上,故点 P 的轨迹方程是 x ? y . 2
,则直线 l 为 x 轴,此时抛物线 x ? y 与直线 l 相切.
2



,设与直线 l 垂直的直线为

,代入

,得

(*)

设直线 与抛物线的交点为

,则

,

从而 假设点 A,B 关于直线 对称,

.

则 AB 的中点

在 l 上,

所以

,即

.

由于方程(*)有两个不相等的实根,则

.

所以 整理得 即 , .

,

由 所以 ,

恒成立,



.
11

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所以当 故当抛物线

时,抛物线上存在两点关于直线 对称. 上不存在两点关于直线 l: 对称时,实数 的取值范围是

. 21.(本小题满分 14 分)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有 (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? x ? a ? 2分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? x x x

( x ? 1) 2 . 故 f ( x) 在 (0,??) 单调增加. x (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0. , 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1) (1,??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得 f ( x)在(1, a ? 1)单调减少 , 在(0,1), (a ? 1,??)
(i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x. 2 a ?1 a ?1 由 g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ? ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0,



f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 时,有 ? ? ?1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ? x1

12


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