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高二数学竞赛班二试讲义 第三讲 均值不等式


高二数学竞赛班二试讲义 第三讲 均值不等式
班级 姓名

一、知识要点:
1.用好不等式 (a ? b)( ? ) ? 4, (a ? b ? c)( ?

1 1 1 1 1 ? ) ? 9(a, b, c ? R ? ) , a b a b c 2 2 2 2 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca , (

a ? b ? c) ? 3(ab ? bc ? ca) 等不等式.

2.不等式的对称性 设 f ( x1 , x2 , ???, xn ) 是一个 n 元函数。 若将 x1 , x2 , ???, xn 中任意的两个变元互相交换位置, 得到的 f 与原式是恒等的,则称 f ( x1 , x2 , ???, xn ) 是完全对称的, 如 xy ? yz ? zx ,

a b c 等。 ? ? b?c c?a a?b 设 f ( x1 , x2 , ???, xn ) 是一个 n 元函数。若作置换 x1 ? x2 , x2 ? x3 , ???, xn ?1 ? xn , xn ? x1 ,
得到的 f 与原式是恒等的,则称 f ( x1 , x2 , ???, xn ) 是轮换对称的,如 x y ? y z ? z x ,
3 3 3

a b c 等。 ? ? a?b b?c c?a
显然,完全对称的一定是轮换对称的。

二、例题精析
例 1.设正实数 a、b、c 满足:abc=1,求证:对于整数 k
k k k

? 2 ,有 a b c 3 ? ? ? a?b b?c c?a 2
a ? bc b ? ca c ? ab 3 ? ? ? a ? bc b ? ca c ? ab 2

例 2.已知 a, b, c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,求证:

例 3.设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,正实数 x1 , x2 , ???, x5 满足 x1 x2 ??? x5 ? 1 ,求证:

(ax1 ? b)(ax2 ? b) ??? (ax5 ? b) ? 1
例 4.设 x1 , x2 , ???, xn 是正实数,求证:

(1 ? x1 )(1 ? x1 ? x2 )(1 ? x1 ? x2 ? x3 ) ??? (1 ? x1 ? ??? ? xn ) ? ( n ? 1) n ?1 x1 x2 ??? xn

三、精选习题
1.求出最大的正实数 ? ,使得对于满足 x
2

? y 2 ? z 2 ? 1 的任何实数 x、y、z 成立不等式:

? x y? y z?

5 。 2
2

2.a, b, c 是直角三角形的三边,c 为斜边, 求使 a 成立的 k 的最大值。

? b ? c ? ? b2 ? c ? a ? ? c 2 ? a ? b ? ? kabc 恒

1

3.设 0 ? ? , ? , ?

?

?
2

,且 sin

3

? ? sin 3 ? ? sin 3 ? ? 1,
3 3 2
2 2 2 2

求证: tan

2

? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ?

4.x, y, z ? 0 ,xyz ? 1 , 求证:27 ? (1 ? x ? y ) ? (1 ? y ? z ) ? (1 ? z ? x) ? 3( x ? y ? z )

(a 2 ? b 2 )3 ? (b 2 ? c 2 )3 ? (c 2 ? a 2 )3 ? 8abc (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 2 3 3 4 2 2 6.已知 x, y ? 0 , x ? y ? x ? y ,求证: x ? y ? 2
5. a, b, c 为互不相等的正数,求证:

a 2 ? b b2 ? c c 2 ? a 7.正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1,证明: ? ? ?2 b?c c?a a?b a 2 b2 c 2 ( a ? b ? c )3 8. a, b, c 为正数,证明: ? ? ? 2(a ? b ? c) ? b c a ab ? bc ? ca
9.实数 ai , bi (i ? 1, 2, ???, n) 满足 证明:

? ai ? ? bi ? 1 ,
i ?1 i ?1

n

n

1?i ? j ? n

?

ai a j ?

1?i ? j ? n

?

bi b j ? ? ai bi ? 1
i ?1

n

10.对正数 a, b, c ,证明

a ? b b ? c c ? a 3(ab ? bc ? ca) ? ? ? ?4 b?c c?a a ?b (a ? b ? c ) 2
?

11. (2006 年中国国家集训队测试题) a, b, c, d ? R , abcd ? 1 ,求证:

1 1 1 1 ? ? ? ?1 2 2 2 (1 ? a) (1 ? b) (1 ? c) (1 ? d ) 2
12. a, b, c, d ? 0 , a ? b ? c ? d ? 1 ,求证: (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )(1 ? d ) ? 13.设非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2 ,求证: x y ? y z ? z x ? xyz ? 1
2 2 2 2 2 2

abcd

x3 ? y 3 y3 ? z3 z 3 ? x3 ? ? ?2 14.正数 x, y, z 满足 xyz ? 1 ,求证: 2 x ? xy ? y 2 y 2 ? yz ? z 2 z 2 ? zx ? x 2
15.求最小的实数 m,使得对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c, 都有 m (a
3

? b3 ? c 3) (a 2 ? b 2 ? c 2) 1 。 ?6 ?

16.设正整数 n ? 2 ,求 f (n) 的最大值,使得对所有满足 xi ? (0,1)(i ? 1, 2, ???n) ,且

1 ( 1? xi ) (? x j ?) ( 1? i ? j ? n) 1 的实数 x1 , x2 , ???, xn 均有 4

?x
i ?1

n

i

? f (n) ?

1?i ? j ? n

?

(2 xi x j ? xi x j )

2

高二数学竞赛班二试讲义 第三讲 均值不等式
例 1. 【分析】本不等式是对称不等式,显然当 a ? b ? c ? 1 时取等号。从不等式局部入手, 当

ak 1 1 1 1 a ? b ? c ? 1 时, ? (a ? b) ? ? ? ? ? ,用 k 元均值不等式。 a?b 4 2 2 ????? 2
k ?2个 1 2

ak 1 1 1 1 ak k k 【解答】因为 ? ( a ? b) ? ? ? ? ? ? k ? k ? a , a?b 4 2 2 2 2 ????? 2
k ?2个 1 2

所以

ak k 1 k ?2 bk k 1 k ?2 ? a ? ( a ? b) ? ? b ? (b ? c) ? ,同理可得 , a?b 2 4 2 b?c 2 4 2 ck k 1 k ?2 ? c ? (c ? a ) ? 。三式相加可得 c?a 2 4 2 ak bk ck k 1 3 ? ? ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? (k ? 2) a?b b?c c?a 2 2 2

?

(k ? 1) 3 3 3 3 (a ? b ? c) ? (k ? 2) ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? 2 2 2 2 2

【思考】对于对称型不等式,有时从整体考虑较难入手,故比较管用的手法是从局部入手, 从局部导出一些性质为整体服务,这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项。 例 2. 【分析】化齐次,再用分析法证明

a ? bc a(a ? b ? c) ? bc 2bc ? ? 1? a ? bc a(a ? b ? c) ? bc (a ? b)(a ? c) 2bc 2ca 2ab 3 要证 ? ? ? ? (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a) (c ? a )(c ? b) 2 4bc(1 ? a) ? 4ca(1 ? b) ? 4ab(1 ? c) ? 3(1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 1 1 1 bc ? ca ? ab ? 9abc ? ? ? ? 9 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 而 ? ? ? ( ? ? )(a ? b ? c) ? 9 ,即 ? ? ? 9 成立 a b c a b c a b c a ? bc b ? ca c ? ab 3 所以 ? ? ? a ? bc b ? ca c ? ab 2
【解答】 【思考】如果没有明显的解题思路时,分析法是不等式的一种证明方法。 例 3. 【分析】如果从不等式局部 axi ? b ? 2 abxi 入手,相乘,得

a?b 2 1 ) ? , 2 4 不等式方向不能传递。因此考虑多项式 (ax1 ? b)(ax2 ? b) ??? (ax5 ? b) 展开,再作打算。
(a x ? b ( a2x? ) 1 b? ? ? ( a x ? )b ? 3 2 5 a b 2 x ?x? 5 x ? ( ) ( 1) ? ,而 ab 5
5 4

【解答】 (ax1 ? b)(ax2 ? b) ??? (ax5 ? b) ? a x1 x2 ??? x5 ? a b

1?i ? j ? k ?l ?5

?

xi x j xk xl ? a3b2

1?i ? j ? k ?5

?

xi x j xk

3

?a 2b3

1?i ? j ?5

?

xi x j ? ab4 ? xi ? b5
1?i ?5

1?i ? j ? k ?l ?5

?

xi x j xk xl ? C

45 5

( x1 x2 ??? x5 ) ? C
4

4 5 ,

1?i ? j ? k ?5

?

3 3 xi x j xk ? C5 10 ( x1 x2 ??? x5 )6 ? C5

1?i ? j ?5

?

xi x j ? C52 10 ( x1 x2 ??? x5 )4 ? C52

(ax1 ? b)(ax2 ? b) ??? (ax5 ? b) ? a 5 ? 5a 4b ? 10a 3b 2 ? 10a 2b3 ? 5ab 4 ? b5 ? (a ? b)5 ? 1
【思考】注意均值不等式是“和大于等于积” ,依此确定配凑方法。 例 4. 【分析】两边平方,把含 x1 , x2 , ???, xn 的式子放置一边,再想办法。

x1 x2 ??? xn 1 n ?1 ,原不等式等价于 s ? ( ) 2 2 (1 ? x1 ) (1 ? x1 ? x2 ) ??? (1 ? x1 ? ??? ? xn ) n ?1 xn x1 x2 令 y1 ? , y2 ? , ???, yn ? 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x1 ? x2 ) (1 ? x1 ? ??? ? xn ?1 )(1 ? x1 ? ??? ? xn ) xn x1 x2 , y2 ? , ???, yn ? 设 y1 ? 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x1 ? x2 ) (1 ? x1 ? ??? ? xn ?1 )(1 ? x1 ? ??? ? xn )
【解答】记 s ?
2

yn ?1 ?

n ?1 1 ,则 s ? ? yi ,且 1 ? x1 ? ??? ? xn i ?1

?y
i ?1

n ?1

i

?

x1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? x1 1 ? x1 1 ? x1 ? x2 1 ? x1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? x3 1 1 1 ? ??? ? ? ? ?1 1 ? x1 ? ??? ? xn ?1 1 ? x1 ? ??? ? xn 1 ? x1 ? ??? ? xn
n ?1

? n ?1 ? n ?1 ? ? yi ? s ? ? yi ? ? i ?1 ? ? n ?1 ? i ?1 ? ? ? ?

? 1 ? ?? ? ? n ?1?

n ?1

【思考】本题用了数列中的裂项相消法,配出和为定值是关键。

?2 2 1 y ? y2 ? z2 1.1 ? x ? y ? z ? x ? 2 2 1? ? 1? ?
2 2 2 2

(| ? xy ? yz |) 。 1? ?2 1? ?2 ? 2 ?2 2 ?x ? 1 ? ? 2 y ? 2 2? 2 ? 1 且当 ? 时, y 2 ? z 2 即当 y ? ,x ? ,z ? 2 1? ? 2 2 ?2 ?1 2 ?2 ?1 ? ?1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? ?
上述两个等号可同取到,则

2

(? | xy | ? | yz |) ?

2

1? ?2 2

是 | ? xy ?

yz | 的最大值.令

1? ?2 5 , ? 2 2

4

则?

? 2。
? ? ?? ?, 2?

2.令 a ? c cos ?, b ? c sin ?, ?? ? 0, 则u ?

a 2 ? b ? c ? ? b2 ? c ? a ? ? c 2 ? a ? b ? abc

?

1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? cos ?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 1, 2 ? , ? 4? ? 2 2 2 ? 0 ,所以 u ? 则u ? ? t , u? ? 1 ? ? t 在 1, 2 ? 上是减函数, 2 ? (t ? 1) t ?1 t ?1 ? 故当 t ? 2 即 ? ? 时, umin ? 2 ? 3 2 ,从而 kmax ? 2 ? 3 2 。 4 另解:猜测 c ? 2a ? 2b 时, umin ? 2 ? 3 2 。
再令 t ? sin ? ? cos ? ?

?

?

?b a? ?c b? ?a c? ? ? ? ??? ? ??? ? ? abc ?a b? ?b c? ?c a? c ? ?b a? ? c b? ?a c ? ? c ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?, ? a b ? ? 2b c ? ? c 2a ? ? 2b 2a ? b a c b a c 因为 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, a b 2b c c 2a u?
2 2 2 2 1?a b? 1 ?? a ? ? b ? ? 2 ?a b? ?c c? ?a? ?b? ? ? ? ? 1, ? ? ? ? 又? ? ,? ? ??? ? ? ? 4 , ?? ? ? ? ? ? ? 2? c c ? 2 ?? c ? ? c ? ? 2 ?c? ?c? ?c c? ?a b? ? ? c c ? ? 2 ,从而 u ? 2 ? 3 2 , 抽以 2b 2a 当且仅当 c ? 2a ? 2b 时,等号成立,故 umin ? 2 ? 3 2 。

a 2 ? b ? c ? ? b2 ? c ? a ? ? c 2 ? a ? b ?

3.令 a=sin ? ,b=sin ? ,c=sin ? ,则 a, b, c ? (0, 1)且 a
3

3

? b3 ? c 3 ? 1 ,

1 1 2a 2 ? 1 ? a 2 ? 1 ? a 2 3 2 2 2 2 a?a ? 2a (1 ? a ) ? ( ) ? , 3 2 2 3 3 2 2 3 , c ? c3 ? , 同理 b ? b ? 3 3 3 3
因此

a2 b2 c2 a3 b3 c3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ( a ? b3 ? c 3 ) ? 1 ? a 2 1 ? b 2 1 ? c 2 a ? a 3 b ? b3 c ? c 3 2 2
注意到

5

sin 2 ? a2 ? 1 ? sin 2 ? 1 ? a 2 sin 2 ? b2 2 tan ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? b 2 tan 2 ? ? sin 2 ? c2 tan ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? c 2 3 3 2 2 2 . 所以 tan ? ? tan ? ? tan ? ? 2
2



易知上述不等式等号不能成立。

4. 1 ? x ? y ? 3 3 xy ,1 ? y ? z ? 3 3 yz ,1 ? z ? x ? 3 3 zx

(1 ? x ? y ) 2 ? 9 3 x 2 y 2 , (1 ? y ? z ) 2 ? 9 3 y 2 z 2 , (1 ? z ? x) 2 ? 9 3 z 2 x 2

(1 ? x ? y ) 2 ? (1 ? y ? z ) 2 ? (1 ? z ? x) 2 ? 9( 3 x 2 y 2 ? 3 y 2 z 2 ? 3 z 2 x 2 ) ? 27
欲证明 (1 ? x ? y) ? (1 ? y ? z ) ? (1 ? z ? x) ? 3( x ? y ? z )
2 2 2 2

只需证明 4( x ? y ? z ) ? 3 ? x ? y ? z ? 4( xy ? yz ? zx)
2 2 2



设 S ? x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3, t ? xy ? yz ? zx ? 3 ①等价于 4S ? 3 ? S ? 2t 即 ( S ? 2) ? 2t ? 7 ? 0 成立。
2
2

5.当 x ? y ? z ? 0 时, x ? y ? z ? 3xyz ? ( x ? y ? z )( x ? y ? z ? xy ? yz ? zx) ? 0
3 3 3 2 2 2

所以 x ? y ? z ? 3xyz
3 3 3

所以

(a 2 ? b 2 )3 ? (b 2 ? c 2 )3 ? (c 2 ? a 2 )3 3(a 2 ? b 2 )(b 2 ? c 2 )(c 2 ? a 2 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 3(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc
2 4 3 4 3 3 2 2 2 3 3 4

6.因为 y ? y ? 2 y ,所以 y ? y ? y ? y
2 3 4 3

故由 x ? y ? x ? y 得 x ? x ? y ? y ? y ? y
3

2

所以 x ? y ? x ? y
2 3

3
3



2x ?1 2 y3 ? 1 2 , y ? y ? y ?1 ? 3 3 3 3 2x ?1 2 y ?1 2 2 所以 x ? y ? ② ? 3 3 2 2 结合① ②两式得 x ? y ? 2
又因为 x ? x ? x ?1 ?
2

a2 b2 c2 a2 b2 c2 ? ? ?1 ? ( ? a) ? ( ? b) ? ( ? c) b?c c?a a ?b b?c c?a a ?b a ( a ? b ? c ) b( a ? b ? c ) c ( a ? b ? c ) a b c ? ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b 2 2 2 a ?b b ?c c ?a a?b b?c c?a 所以 ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ,得证。 b?c c?a a?b b?c c?a a ?b ? a 2 b2 c2 ? (ab ? bc ? ca ) ? ? ? ? 2(a ? b ? c) ? ? (a ? b ? c )3 8.原不等式等价于 c a ?b ?
7.注意到 展开即需证明 a b ? b c ? c a ? ab c ? bc a ? ca b
2 4 2 4 2 4 3 2 3 2 3 2

6

令 x ? ab , y ? bc , z ? ca ,则只需证明 x ? y ? z ? xy ? yz ? zx 这是显然成立的
2 2 2

2

2

2

9.由

? ai2 ? 2
i ?1

n

1?i ? j ? n

?

ai a j ? (? ai ) 2 , ? bi2 ? 2
i ?1 i ?1

n

n

1?i ? j ? n
n

?

bi b j ? (? bi ) 2 得
i ?1

n

1 1 1 n (ai2 ? bi2 ) ? (? ai ) 2 ? (? bi ) 2 ? 1 ? ? ? 2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1 1?i ? j ? n 1?i ? j ? n a?b b?c c?a 3(ab ? bc ? ca) 10.假设 b ? max ?a, b, c? ? ( ? ? ? 3) ? ( ?1) ? 0 b?c c?a a?b (a ? b ? c ) 2
左式 ?

ai a j ?

bi b j ?

n

?( ?

(a ? c) 2 (b ? a)(b ? c) (a ? c) 2 ? (b ? a)(b ? c) ? )? ?0 (a ? b)(b ? c) (a ? b)(c ? a) (a ? b ? c) 2

(a ? c)2 (a 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ) (b ? a )(b ? c )(b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ) ? ?0 (a ? b)(b ? c)(a ? b ? c) 2 (a ? b)(c ? a )(a ? b ? c) 2

这是显然成立的,当且仅当 a ? b ? c 取等号。 11.从不等式局部入手,注意到当 xy ? 1 时,我们有 于是我们有

1 1 ? ?1, 1? x 1? y

1 1 ? ?1 1 ? ab 1 ? cd
1 1 1 ? ? 2 2 (1 ? a) (1 ? b) 1 ? ab

故我们考虑证明不等式

1 1 1 ab(a ? b) 2 ? (ab ? 1) 2 而 ? ? ? ?0 (1 ? a) 2 (1 ? b) 2 1 ? ab (1 ? a) 2 (1 ? b) 2 (1 ? ab) 1 1 1 同理我们有 ? ? 2 2 (1 ? c) (1 ? d ) 1 ? cd
相加得证。 12.从不等式局部入手,先尝试证明 (1 ? a )(1 ? b ) ? 事实上

cd

2(1 ? a )(1 ? b ) ? 2 ? 2 ab ? 2 a ? 2 b ? ( a ? b ? 1) 2 ? 1 ? a ? b

? 1 ? a ? b ? c ? d ? 2 cd
同理, (1 ? c )(1 ? d ) ? 相乘得证。 13.当 x ? y ? z ?

ab

2 24 2 2 2 2 2 2 时, x y ? y z ? z x ? xyz ? ? 1 ,等号不能成立。 3 27

当 x, y, z 中有两个为 1,一个为 0 时等号成立。

1 x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? xyz ? [ xy ? 2 xy ? yz ? 2 yz ? zx ? 2 zx ? 2 xyz ] 2 1 ? [ xy ? ( x 2 ? y 2 ) ? yz ? ( y 2 ? z 2 ) ? zx ? ( z 2 ? x 2 ) ? 2 xyz ] 2 1 1 ? ( xy ? yz ? zx)( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? xyz (? x ? y ? z ? 2) ? ( xy ? yz ? zx)( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 2 1 1 2( xy ? yz ? zx) ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 ? ? 2( xy ? yz ? zx)( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( ) ?1 4 4 2
7

14.因为 3( x ? xy ? y ) ? ( x ? xy ? y ) ? 2( x ? y ) ? 0
2 2 2 2 2

所以

x 2 ? xy ? y 2 1 x3 ? y 3 ( x ? y )( x 2 ? xy ? y 2 ) x ? y ? , 2 ? ? x 2 ? xy ? y 2 3 x ? xy ? y 2 x 2 ? xy ? y 2 3

同理,

y3 ? z3 y?z z 3 ? x3 z?x ? , 2 ? 2 2 2 y ? yz ? z 3 z ? zx ? x 3

x3 ? y 3 y3 ? z3 z 3 ? x3 x? y y?z z?x ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 3 xyz ? 2 2 2 2 2 x ? xy ? y y ? yz ? z z ? zx ? x 3 3 3
15. 【解法一】当 a=b=c ?

1 时,有 m ? 27 。下证不等式 3 27(a 3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。 因为 ( a ? b) 于是
2

(a ? b) ? 0 ,所以 a 3 ? b3 ? a 2b ? ab 2 ,同理,

b3 ? c3 ? b 2c ? bc 2 , c3 ? a 3 ? c 2 a ? ca 2 ,

2(a 3 ? b3 ? c 3 ) ? a 2b ? b 2c ? c 2 a ? ab 2 ? bc 2 ? ca 2 3(a 3 ? b3 ? c 3 ) ? a 3 ? b3 ? c 3 ? a 2b ? b 2c ? c 2a ? ab 2 ? bc 2 ? ca 2 ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? a 2 ? b2 ? c2 2 2 2 2 2 2 2 所以 6 ( a ? b ? c ) ? 1 ? 6 ( a ? b ? c ) ? ( a ? b ? c)
? 6(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 9(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 27(a 3 ? b3 ? c 3 )
所以,m 的最小值为 27. 【解法二】当 a=b=c ?

1 时,有 m ? 27 。下证不等式 3 27(a 3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。

(a ? b ? c) 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3(a ? b ? c ) ? a ? b ? c ,则18(a ? b ? c ) ? 6(a ? b ? c 2 ) ① (a 3 ? b3 ? c 3 )(a ? b ? c) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ?
由幂平均不等式 3 ①②相加得证 【解法三】当 a=b=c ?

a 3 ? b3 ? c 3 a ? b ? c 3 3 3 ? ,得 9( a ? b ? c ) ? 1 ② 3 3

1 时,有 m ? 27 。下证不等式 3 27(a 3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。 因为对于 0 ?

x ? 1,构造函数 f ( x) ? 27 x3 ? (6 x2 ? kx ? m)
1 1 处取得极小值 f ( ) ? 0 3 3

f ?( x) ? 81x 2 ? (12 x ? k ) ,由题意 f ( x) 在 x ?
8

? ?1 ?k ? 5 ? f ( 3) ? 0 4 ? ? 3 2 所以 ? 解得 ? 4 ,故 f ( x) ? 27 x ? (6 x ? 5 x ? ) ? 0 3 ?m ? ? 3 ? f (1) ? 0 ? ? 3 ?

27 x3 ? 6 x 2 ? 5 x ?

4 ? 81x3 ? 18 x 2 ? 15 x ? 4 ? 0 ? (3 x ? 1) 2 (9 x ? 4) ? 0 3 4 3 2 故 27 x ? 6 x ? 5 x ? , 0 ? x ? 1 。 3 4 4 4 3 2 3 2 3 2 所以 27 a ? 6a ? 5a ? ,27b ? 6b ? 5b ? ,27c ? 6c ? 5c ? 3 3 3
把上面三个不等式相加,得

27(a 3 ? b3 ? c3 ) ? 6 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 1 .
所以,m 的最小值为 27。 16.当 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 所以 f ( n) ?

n 1 n 2 时, ? f ( n) ? ? 1 ,即 ? f (n) ? Cn , 2 2 2 1?i ? j ? n

1 n ?1 n 1 ? ? (2 xi x j ? xi x j ) 下证: ? xi ? n ? 1 1?i ? j ? n i ?1 1 证明:由 (1 ? xi )(1 ? x j ) ? ,得 (1 ? xi ) ? (1 ? x j ) ? 2 (1 ? xi )(1 ? x j ) ? 1 4 所以 xi ? x j ? 1
(n ? 1)? xi ?
i ?1 n 1?i ? j ? n

?

( xi ? x j ) ?

1?i ? j ? n

?

2 1 ? Cn ?

n(n ? 1) 2

所以

?x
i ?1

n

i

?

n 2

右边 ? 2

1?i ? j ? n

?

xi x j ?

1?i ? j ? n

?

2 2 xi x j ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ??? ? xn ) ?

1?i ? j ? n

?

xi ? x j 2

?

n n ?1 n ?1 n n ?1 n n n ?1 n ( x1 ? x2 ? ??? ? xn )2 ? ? xi ? n ? 2 ? xi ? 2 ? xi ? (n ? 1)? xi n 2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(注意

x1 ? x2 ? ??? ? xn ? n

2 2 x12 ? x2 ? ??? ? xn ( x ? x2 ? ??? ? xn )2 2 2 2 得 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 1 ) n n

9


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