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2.1.1指数与指数幂的运算


三江中学高 2014 级数学教学案系列

第二章 基本初等函数

§2.1.1 指数与指数幂的运算
执笔: 修订:高一备课组 学生姓名:_________ 第____学习小组

一、学习目标 心中有数 1.理解 n 次方根及 n 次根式的概念。 2.正确运用根式的运算性质化简,求值。 3.理解分数指数幂的概念,

掌握根式与分数指数幂的互化。 4.掌握指数幂的运算性质及其应用。 二、自主学习 体验成功 思考 1: 2 2 ,23 ,... 2 分别是多少? 5 32, 5 ? 32, 3 a 6 分别是多少?
5

1. n 次方根 (1)定义:一般地,如果 x ? a ,那么
n

叫做 a 的

,其中

n ? 1 ,且 n ? N * 。
( 2 )记法:当 n 是奇数是,正数的 n 次方根是一个 个 , 这时,a 的 n 次方根用符号 次方根有两个,这两个数互为 ,负数的 n 次方根是一 表示, 当 n 是偶数时, 正数的 n

,这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表

示,负的 n 次方根用符号 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成 (a ? 0) 2. 根式 (1)定义:式子 叫做根式,这里 n 叫做 , a 叫做 。 (2)根式运算性质( n ? 1, 且 n ? N )
*

(n a ) n ?

;当 n 为奇数, n a n ?

;当 n 为偶数, n a n ?

;0 的任何

次方根都是 。 练习 1:计算下列各式:
2 3 2 4 (1) 3 (?8) ; (2) ( ?10) ; (3) 4 (3 ? ? ) ; (4) (a ? b) ( a ? b)

思考 2:根据 n 次方根的定义和数的运算填空
5

a

10

? (a ) ?
5 2 5

?a

10 5

(a ? 0) ; 4 a12 ?

? a3 ?

( a ? 0 ).

结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式。 【问题 1】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数

当一个小小的信念变成行为时,便成了习惯;从而形成性格,而性格就决定你一生的成败。

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第二章 基本初等函数

幂的形式?若可以 a (a ? 0) 写成分数指数幂的形式是?
1 1 1

【问题 2】 2 2 ,2 3 ,2 4 ,...的意义是什么? 3.分数指数幂 (1)意义:
m n ? m n

a

?

;a

?

* (其中 a ? 0, m 、 n ? N ,且 n ? 1 ) 。

(2)结论:0 的正分数指数幂等于 ;0 的负分数指数幂 。 思考 3: (1)规定分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,分数指数 幂 a 可理解为
2
m n

m 个 a 相乘吗? n
1

(2) a 4 与 a 2 一定相等吗? 4.有理指数幂的运算性质 (1) a a ?
r s

( a ? 0, r , s ? Q ); ( a ? 0, r , s ? Q ); ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) 。

(2) (a r ) S ? (3) (ab) r ?

注意:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用。 5.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂 a (a ? 0, ? 是无理数)是一个确定的 的运算性质同样适用于无理数指数幂。 思考 4: 5
2

?

,有理数指数幂

它的大小如何确定?
1 2
3 2

三、合作探究 共同进步

1 ?3 1、计算: (1) 100 ; (2) 9 ; (3) ( ) 4 . 81
?

2

2、根式与分数指数幂互化: (1) 4 73 ; ( 2) 3 5 ; (3)

3

a2

; (4) a

3

(5) 7 a;

?

5 4

.

3、下列各式正确的是: () A. ( 3 a )3 = a B. ( 4 a )4 = ?a C. ( 5 a )5 = a D. 6 a 6 = a

2 3 4、若 xy ? 0, 那么等式 4 x y ? ?2 xy y 成立的条件是( )

当一个小小的信念变成行为时,便成了习惯;从而形成性格,而性格就决定你一生的成败。

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第二章 基本初等函数

A. x ? 0, y ? 0 C. x ? 0, y ? 0

B. x ? 0, y ? 0 D. x ? 0, y ? 0

5、求 6

1 3 3 3 ? 3 ? 0.125 的值。 4 8

6、计算:

a ? 3 a?4 a ( a)?a
6 1 4

( a ? 0)

四、过手训练 步步为营 (一)课堂训练,巩固知识 1、化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) / ( a 6 b 6 ) 的结果是: ( ) B. ?a C. ?9a
2

2

1

1

1

1 3

1

5

A. 6 a 2、填空:

D. 9 a

(1)设 ?3 ? x ? 3 ,则 x2 ? 2x ? 1 ? x2 ? 6x ? 9 = (2)若 4 a ? 2 ? (a ? 4) 0 有意义,则 a 的取值范围是 .



n n * 3、 (1)已知 a ? b ? 0 , n ? 1 , n ? N ,求 n ( a ? b) ? n ( a ? b) 的值; 3 4 (2)已知 m ? 5 ,求 ( 3 6 ? m ) ? 4 (5 ? m) 的值.

4、计算(1) a a a

1 3

3 4

7 12

1 (2n ?1 ) 2 ? ( ) 2 n ?1 * 2 (a ? 0) ; (2) ( x y ) ; (3) ( n ? N ). 4n ? 8?2
1 2 ? 1 3 6

当一个小小的信念变成行为时,便成了习惯;从而形成性格,而性格就决定你一生的成败。

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第二章 基本初等函数

5、化简 3 ? 2 5 ? 12 3 ? 2 2

(二)课后作业 1、化简 (a 3 b 2 ) ? (?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 )
2 1 1 1

1 3

1

5

2、计算

1 ? a 2 ? a 2 ? 1 ? 3a 1 ?1 ( 4ab?1 )3 2 ( a ? 0 , b ? 0 ) (1) 1 1 ; ( 2 ) ; ( 3 ) ( ) ? 1 1 1 ? 1? a 4 0.1?2 (a3b?3 ) 2 (a 4 b 2 ) 4 a 3 b 3
a 3 b 2 3 ab2
4

3、已知 a 2 ? a
?1

1

?

1 2

? 5 ,求下列各式的值:
(2) a ? a ;
2 ?2

(1) a ? a ;

(3) a ? a .
2

?2

4、已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 4 ,求

x ? x ?1 ? 4 的值。 x 2 ? x ?2 ? 200

当一个小小的信念变成行为时,便成了习惯;从而形成性格,而性格就决定你一生的成败。

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