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福建省厦门一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省厦门一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,只有一个选正确. 1. (5 分)已知全集 U={x∈N|x≤4},A={1,2},则?UA 为() A.{3} B.{0,3} C.{3,4}

D.{0,3,4}

2. (5 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减

函数的是() A.y=x B.y=﹣x
3

C.y=
﹣x

D.

3. (5 分)在同一坐标系中,函数 y=2

与 y=log2x 的图象是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)函数 f(x)=log3x+2x﹣6 的零点位于区间() A.
0.5

B.

C.

D.

5. (5 分)已知 a=2 ,b=lg2,c=ln2,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b

D.a>c>b

6. (5 分)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前 5 天监测到的数据: 第x天 1 2 3 4 5 被感染的计算机数量 y(台) 10 20 39 81 160 若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律,则其中最接近的一个是() 2 A.f(x)=10x B. f(x)=5x ﹣5x+10 x C. f(x)=5?2 D.f(x)=10log2x+10 7. (5 分)若函数 y=xf(x)的图象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的图象关于() A.原点对称 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

8. (5 分)函数

的零点个数是()

A.0

B. 1

C. 2

D.3

9. (5 分)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给 出下列四个函数:f1(x)=2log2x,f2(x)=log2(x+2) ,f3=log2 x,f4=log2(2x)则“同形”函 数是() A.f1(x)与 f2(x) B.f2(x)与 f3(x) C.f2(x)与 f4(x) D.f1(x)与 f4(x) 10. (5 分)设函数 e |lnx|=1 两个不同的实根为 x1,x2,则() A.x1x2<0 B.x1x2=1 C.0<x1x2<1
x 2

D.x1x2>1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 f(﹣ )=.

12. (4 分)已知函数 f(x)= B,则 A∩B=. 13. (4 分)函数 f(x)=a 为 a,则实数 a 的值为.
x﹣1

的定义域为 A,函数 g(x)=

的定义域为

+logax, (a>0,a≠1)在区间

上的最大值和最小值的和

14. (4 分)已知函数 是.

,则使不等式 f(x)>0 成立的 x 取值范围

15. (4 分)对于函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 c,使对任意 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,满 足 , 则称函数 ( f x) 在 D 上的均值为 c, 现已知函数: ①y=2 , ②y=x ,
x 5

③y=2sinx,④y=lgx,则满足在其定义域上均值为 2 的函数的序号是(填上所有符合要求的 函数的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)若函数 (1)求实数 m 的值; 是偶函数.

(2)作出函数 y=f(x)的图象,并写出其单调区间; (3)就实数 k 的取值范围,讨论函数 y=f(x)﹣k 零点的个数. 17. (13 分)已知函数 f(x)=loga(3+x)+loga(3﹣x) , (a>0 且 a≠1) , (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的定义域和值域; (2)求关于 x 不等式 f(x)<0 的解集. 18. (13 分)已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=3 ﹣4 +1, (1)求实数 a 的值; (2)若 ma=1,求 g(m)的值; (3)求函数 g(x)在 上的最大值和最小值.
x ax x

19. (13 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查 发现:该服装在过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P(x) (百元)与时间 x(天) 的函数关系近似满足 为正常数) ,日销售量 Q(x) (件)与时间 x(天)的

部分数据如表所示: x(天) 10 20 25 30 Q(x) (件)110120125120 已知第 10 天的日销售收入为 121(百元) . (1)求 k 的值; x (2)给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x﹣25|+b,③Q(x)=a?b , ④Q(x)=a?logbx.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售 量 Q(x) (件)与时间 x(天)的变化关系,并求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f(x) (1≤x≤30,x∈N)的最小值. 20. (14 分)已知函数 f(x)=a﹣ 是在 R 上的奇函数,

(1)求实数 a 的值; (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性; (3)若对于任意实数 围. ,不等式 f(t+2)+f(k?t ﹣1)>0 恒成立,求 k 的取值范
2

21. (14 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足条件;①y=f(x)的图象过点 x=﹣1 时,y=f(x)取得最小值是 0. (1)求 f(x)的解析式;
2

2

,②当

(2)若 g(x)=f(x)﹣k x 在 上是单调函数,求 k 的取值范围; (3)是否存在自然数 m,使得关于 x 的不等式 f(x﹣m)≤x 在区间 上有解?若存在, 求出自然数 m 的取值集合,若不存在,说明理由.

2014-2015 学年福建省厦门一中高一(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,只有一个选正确. 1. (5 分)已知全集 U={x∈N|x≤4},A={1,2},则?UA 为() A.{3} B.{0,3} C.{3,4}

D.{0,3,4}

考点: 补集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意先化简 U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},再求?UA. 解答: 解:U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4}, 故?UA={0,3,4}, 故选 D. 点评: 本题考查了集合的化简与集合的运算,属于基础题. 2. (5 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=x B.y=﹣x
3

C.y=

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,是一次函数,在其定义域内是奇函数且是增函数; 对于 B,是幂函数,在其定义域内既是奇函数又是减函数; 对于 C,是幂函数,在其定义域内既是奇函数,但不是奇函数; 对于 D,是指数函数,在其定义域内是减函数,但不是奇函数.故可得结论. 解答: 解:对于 A,是一次函数,在其定义域内是奇函数且是增函数; 对于 B,是幂函数,在其定义域内既是奇函数又是减函数; 对于 C,是幂函数,在其定义域内既是奇函数,但不是减函数; 对于 D,是指数函数, 在其定义域内是减函数,但不是奇函数; 综上知,B 满足题意 故选 B. 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的综合,考查常见初等函数, 需要一一判断. 3. (5 分)在同一坐标系中,函数 y=2
﹣x

与 y=log2x 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数 y=2 =
﹣x

是减函数,它的图象位于 x 轴上方,y=log2x 是增函数,它的

图象位于 y 轴右侧,能得到正确答案. 解答: 解:∵函数 y=2 =
﹣x

是减函数,它的图象位于 x 轴上方,

y=log2x 是增函数,它的图象位于 y 轴右侧, 观察四个选项,只有 A 符合条件, 故选 A. 点评: 本题考查指数函数和对数函数的性质,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 4. (5 分)函数 f(x)=log3x+2x﹣6 的零点位于区间() A. B. C. D.

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点存在定理,若 f(x)=log3x+2x﹣8 若在区间(a,b)上存在零点,则 f (a)?f(b)<0,我们根据函数零点存在定理,对四个答案中的区间进行判断,即可得到答 案. 解答: 解:当 x=3 时,f(3)=log33﹣6+2×3=1>0 当 x=2 时,f(2)=log32﹣6+2×2=log34<0 即 f(3)?f(2)<0 又∵函数 f(x)=log3x+2x﹣6 为连续函数 故函数 f(x)=log3x+2x﹣6 的零点一定位于区间(2,3) . 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是零点存在定理,我们求函数的零点通常有如下几种方法:①解 方程;②利用零点存在定理;③利用函数的图象,其中当函数的解析式已知时(如本题) , 我们常采用零点存在定理,本题属于基本知识的考查. 5. (5 分)已知 a=2 ,b=lg2,c=ln2,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性即可得出. 0.5 解答: 解:∵a=2 >1,b=lg2<c=ln2<1, ∴a>c>b. 故选: D. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题. 6. (5 分)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前 5 天监测到的数据: 第x天 1 2 3 4 5
0.5

D.a>c>b

被感染的计算机数量 y(台) 10 20 39 81 160 若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律,则其中最接近的一个是() A.f(x)=10x x C. f(x)=5?2 B. f(x)=5x ﹣5x+10 D.f(x)=10log2x+10
2

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据选项中的函数,依次代入 x 值求出 y 的值,通过 y 的值与表格中所给出的 y 的 值进行比较,误差越小则拟合度越高,误差越大则拟合度越小,计算即可得到答案. 解答: 解:对于选项 A,当 x=1,2,3,4,5 时,对应的 y 的值分别为 10,20,30,40, 50, 对于选项 B,当 x=1,2,3,4,5 时,对应的 y 的值分 别为 10,20,40,70,110, 对于选项 C,当 x=1,2,3,4,5 时,对应的 y 的值分别为 10,20,40,80,185, 对于选项 D, 当 x=1, 2, 3, 4, 5 时, 对应的 y 的值分别为 10, 20, 10+10log23, 30, 10+10log25, 而表中所给的数据为,当 x=1,2,3,4,5 时,对应的 y 的值分别为 10,20,39,81,160, x 通过比较,即可发现选项 C 中 y 的值误差最小,即 y=5?2 能更好的反映 y 与 x 之间的关系. 故选:C. 点评: 本题考查了选择合适的模型来拟合一组数据,根据模型中的 y 的值和实际数据 y 的 值进行比较,误差越小则拟合度越高,误差越大则拟合度越小.本题是一个比较简单的综合题 目. 7. (5 分)若函数 y=xf(x)的图象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的图象关于() A.原点对称 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=xf(x)的图象关于 y 轴对称,得出﹣f(x)=f(﹣x) ,从而判断 f(x) 的图象的对称性. 解答: 解:∵函数 y=xf(x)的图象关于 y 轴对称, ∴xf(x)=﹣xf(﹣x) , 即﹣f(x)=f(﹣x) , ∴函数 y=f(x)是奇函数, ∴函数 y=f(x)的图象关于原点对称. 故选:A 点评: 本题考查了函数的奇偶性的定义,运用定义式判断,属于容易题.

8. (5 分)函数

的零点个数是()

A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根解析式画出图象,根据函数对单调性,结合图象判断零点个数.

解答: 解:∵函数



∴通过函数式子可知(﹣∞,0) (0,+∞)为单调递减函数 ∴根解析式画出图象,结合图象判断: 零点个数是 2, 故选:C

点评: 本题考查了函数的图象的运用,求解函数的零点问题,属于中档题. 9. (5 分)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给 2 出下列四个函数:f1(x)=2log2x,f2(x)=log2(x+2) ,f3=log2 x,f4=log2(2x)则“同形”函 数是() A.f1(x)与 f2(x) B.f2(x)与 f3(x) C.f2(x)与 f4(x) D.f1(x)与 f4(x) 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 新定义. 分析: 利用对数函数的运算的法则可知函数 f4=log2(2x)=1+log2x,它的图象可由 y=log2x 向上平移 1 个单位得到;函数 f2(x)=log2(x+2)的图象可由 y=log2x 向先向左平移 2 个单 位得,故它们符合“同形”函数. 解答: 解:∵f2(x)=log2(x+2)的图象可由 y=log2x 向先向左平移 2 个单位得, f4=log2(2x)=1+log2x,它的图象可由 y=log2x 向上平移 1 个单位得到; 故 f2(x)与 f4(x)为“同形”函数. 故选 C.

点评: 本题主要考查了对数函数的图象的变换.考查了学生对对数函数基础知识的掌握的 熟练程度.解答的关键是认清新定义的“同形”函数的本质属性. 10. (5 分)设函数 e |lnx|=1 两个不同的实根为 x1,x2,则() A.x1x2<0 B.x1x2=1 C.0<x1x2<1 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意 f(x)=e ﹣|lnx|的零点,即方程 e =|lnx|的实数根.因此在同一坐标系内作 ﹣x 出函数 y=e 与 y=|lnx|的图象,并设 x1<x2,可得 lnx2<﹣lnx1,推出 x1x2<1.再根据 x1> 且 x2>1 得到 x1x2> ,由此即可得 到本题的答案. 解答: 解:函数 f(x)=e ﹣|lnx|的零点,即方程 e =|lnx|的实数根 ﹣x 同一坐标系内作出函数 y=e 与 y=|lnx|的图象,如图所示 不妨设 x1<x2,可得 0<x1<1 且 x2>1 ∵0<﹣lnx1<1,∴lnx1>﹣1,可得 x1> ∵x2>1,∴x1x2> 又∵y=e 是减函数,可得 lnx2<﹣lnx1, ∴lnx2+lnx1<0,得 lnx1x2<0,即 x1x2<1 综上所述,可得 <x1x2<1 故选:C
﹣x ﹣x ﹣x ﹣x ﹣x

x

D.x1x2>1

点评: 本题给出含有指数和对数的基本初等函数,求函数的两个零点满足的条件,着重考 查了指数函数、对数函数的图象与性质,以及函数的零点与方程根的关系等知识点,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 f(﹣ )=1.

考点: 函数奇偶性的性质;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质,将条件进行转化即可得到结论.

解答: 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x, ∴f(﹣ )=﹣f( )= ,

故答案为:1 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数的奇偶性是解决本题的关键. 12. (4 分)已知函数 f(x)= B,则 A∩B={x|0<x≤2 或 3≤x≤10}. 考点: 交集及其 运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集的定义和函数的定义域求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= 函数 g(x)= 的定义域为 A, 的定义域为 A,函数 g(x)= 的定义域为

的定义域为 B,

∴A={x|
2

}={x|0<x≤10},

B={x|x ﹣5x+6≥0}={x|x≥3 或 x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤2 或 3≤x≤10}. 故答案为:{x|0<x≤2 或 3≤x≤10}. 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意函数的定义域的合理运用. 13. (4 分)函数 f(x)=a
x﹣1

+logax, (a>0,a≠1)在区间

上的最大值和最小值的和

为 a,则实数 a 的值为 .

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知可知,函数 y=a 和 y=logax 有相同的单调性,通过分 0<a<1 和 a>1 两种 情况讨论 f(x)的单调性,分别求出其最大(小)值 ,列出关于 a 的方程求解. 解答: 解:①当 a>1 时,函数 y=a 和 y=logax 在上都是增函数, x﹣1 ∴f(x)=a +logax 在上 递增, ∴f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+loga2+1=a, ∴loga2=﹣1,得 a= (舍去) ; ②当 0<a<1 时,函数 y=a 和 y=logax 在上都是减函数, x﹣1 ∴f(x)=a +logax 在上递减, ∴f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+loga2+1=a, ∴loga2=﹣1,得 a= ,
x﹣1 x﹣1 x﹣1

综上,a 的值为 , 故答案为: 点评: 求函数的最值问题,一般利用函数的单调性来求;而对于指对函数研究其单调性时, 要分底数 a>1 或 0<a<1 进行讨论;同时本题还要注意根据 a 的范围去掉绝对值符号 达到化 简的目的.

14. (4 分)已 知函数 是(﹣1,+∞) .

,则使不等式 f(x)>0 成立的 x 取值范围

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将已知关系式中的分式分离出常数,再解不等式 f(x)>0 即可求得答案. 解答: 解:∵ 1+ ∴
x

=(1﹣ ﹣ , >0,

)+(

)=(1﹣

)+(﹣

)= >
x

∴4?4 +4>2?2 +4,即 2 >2 , ∴2x+2>x+1, 解得:x>﹣1. 故答案为: (﹣1,+∞) . 点评: 本题考查指数型不等式的解法,从分式 中分离出常数是关键,考查转化思想与运算 求解能力. 15. (4 分)对于函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 c,使对任意 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,满 足 , 则称函数 ( f x) 在 D 上的均值为 c, 现已知函数: ①y=2 , ②y=x ,
x 5

2x+2

x+1

③y=2sinx,④y=lgx,则满足在其定义域上均值为 2 的函数的序号是②④(填上所有符合要 求的函数的序号) 考点: 函数的值;函数的图象. 专题: 新定义. 分析: 首先分析题目求对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 f(x1)+f(x2)=4 成立的 函数. x 对于函数①y=2 ,利用特殊值法代入验证不成立成立.即可得到答案. 对于函数②y=x ,可直接取任意的 x1,验证求出唯一的
5

,即可得到成立.

对于函数③y=2sinx,因为 y=2sinx 是 R 上的周期函数,明显不成立. 对于函数④y=lgx,定义域为 x>0,值域为 R 且单调,显然成立. 解答: 解:首先分析题目求对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 f(x1)+f(x2)=4 成 立的函数. x 对于函数①y=2 ,利用特殊值 x1=3 时,代入验证不成立成立.x2 不存在 对于函数②y=x ,可直接取任意的 x1,验证求出唯一的
5

,即可得到成立.

对于函数③y=2sinx,因为 y=2sinx 是 R 上的周期函数,明显不成立. 对于函数④y=lgx,定义域为 x>0,值域为 R 且单调,显然成立. 故答案为:②④ 点评: 此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用.对于新定义的问题, 需要认真分析定义内容,切记不可偏离题目. 三、解答题:本大题共 6 小题, 共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)若函数 是偶函数.

(1)求实数 m 的值; (2)作出函数 y=f(x)的图象,并写出其单调区间; (3)就实数 k 的取值范围,讨论函数 y=f(x)﹣k 零点的个数. 考点: 函数图象的作法;函数单调性的判断与证明;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,1﹣2﹣1=1﹣m﹣1,从而解出 m; (2)作出函数图象,由图象写出其单调区间; (3)由图象讨论函数 y=f(x)﹣k 零点的个数. 解答: 解: (1)由题意, 1﹣2﹣1=1﹣m﹣1, 解得,m=2; (2)作出函数 y=f(x)的图象如下,

单调减区间: (﹣∞,﹣1) , (0,1) ; 单调增区间: (﹣1,0) , (1,+∞) . (3)由图可知, ①当 k<﹣2 时,函数 y=f(x)﹣k 没有零点; ②当 k=﹣2 时,函数 y=f(x)﹣k 有两个零点; ③当﹣2<k<﹣1 时,函数 y=f(x)﹣k 有 4 个零点; ④当 k=﹣1 时,函数 y=f(x)﹣k 有 3 个零点; ⑤当 k>﹣1 时,函数 y=f(x)﹣k 有两个零点. 点评: 本题考查了函数性质的应用及函数图象的作法,属于中档题. 17. (13 分)已知函数 f(x)=loga(3+x)+loga(3﹣x) , (a>0 且 a≠1) , (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的定义域和值域; (2)求关于 x 不等式 f(x)<0 的解集. 考点: 指、对数不等式的解法;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=3 时,由函数 f(x)的解析式可得:3+x>0 且 3﹣x>0,由此求得函数的 定义域.进而根据对数的运算性质和对数函数的图象和性质,得到函数的值域; (2)不等式 f(x)<0 可化为 loga(3+x)?(3﹣x)<logaa,分当 a>1 和当 0<a<1 时两种 情况,分别利用函数的单调性和定义域,可求得要求的不等式的解集. 解答: 解: (1)当 a=3 时,f(x)=log3(3+x)+log3(3﹣x) , 由 3+x>0 且 3﹣x>0 得:x∈(﹣3,3) , 故函数 f(x)的定义域为(﹣3,3) , 2 又由 f(x)=log3(3+x)+log3(3﹣x)=log3(9﹣x )中, 2 当 x=0 时,9﹣x 取最大值 9,此时 f(x)取最大值 2, 可得求函数 f(x)的值域为(﹣∞,2]; 2 (2)函数 f(x)=loga(3+x)+loga(3﹣x)=loga(9﹣x ) , 2 当 a>1 时,不等式 f(x)<0 可化为:9﹣x ∈(0,1) ,

解得:x∈(﹣3,﹣2 )∪(2 ,3) , 2 当 0<a<1 时,不等式 f(x)<0 可化为:9﹣x ∈(1,+∞) , 解得:x∈(﹣2 ,2 ) , 故当 a>1 时,不等式 f(x)<0 的解集为(﹣3,﹣2 )∪(2 ,3) , 当 0<a<1 时,不等式 f(x)<0 的解集为(﹣2 ,2 ) . 点评: 本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性,对数不等式的解法,体现了转 化、分类讨论的数学思想,属于基础题. 18. (13 分)已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=3 ﹣4 +1, (1)求实数 a 的值; (2)若 ma=1,求 g(m)的值; (3)求函数 g(x)在 上的最大值和最小值.
x ax x

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. x a 分析: (1)由已知中 f(x)=3 ,f(a+2)=18,结合指数的运算性质可得 3 =2,化为对数 式,可得实数 a 的值; (2)若 ma=1,则 g(m)3﹣
ax x x x

+1,进而根据指数和对数的运算性质得到答案;
x

(3)g(x)=3 ﹣4 +1=2 ﹣4 +1,令 t=2 , (x∈ 2 ﹣t +t+1,进而根据二次函数的图象和性质,得到答案. x 解答: 解: (1)∵f(x)=3 , a+2 ∴f(a+2)=3 =18, a ∴3 =2, ∴a=log32 (2)若 ma=1, 则 m=log23, ∴g(m)=3﹣
ax x

) ,则 t∈,则 y=g(x)=2 ﹣4 +1=

x

x

+1=3﹣9+1=﹣5,
x x

(3)g(x)=3 ﹣4 +1=2 ﹣4 +1, 令 t=2 , (x∈
x x x

) ,则 t∈,
2

则 y=g(x)=2 ﹣4 +1=﹣t +t+1 的图象是开口朝下,且以直线 x= 为对称轴的抛物线, 故当 t= ,即 x=﹣1 时,函数 g(x)取最大值 , 当 t=1,即 x=0 时,函数 g(x)取最小值 1. 点评: 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,指数和对数的运算性质,换元法思 想,难度中档. 19. (13 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查 发现:该服装在过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P(x) (百元)与时间 x(天) 的函数关系近似满足 部分数据如表所示: 为正常数) ,日销售量 Q(x) (件)与时间 x(天)的

x(天) 10 20 25 30 Q(x) (件)110120125120 已知第 10 天的日销售收入为 121(百元) . (1)求 k 的值; x (2)给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x﹣25|+b,③Q(x)=a?b , ④Q(x)=a?logbx.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售 量 Q(x) (件)与时间 x(天)的变化关系,并求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f(x) (1≤x≤30,x∈N)的最小值. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 f(10)=P(10)?Q(10) ,可求 k 的值; (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②,从表中任 意取两组值代入可求得结论; (3)求出函数 f(x)的解析式,分段求最值,即可得到结论. 解答: 解: (1)依题意有:f(10)=P(10)?Q(10) , 即 ,所以 k=1. …(2 分)

(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调, 故只能选②Q(x)=a|x﹣25|+b.…(4 分) 从表中任意取两组值代入可求得: Q (x) =﹣|x﹣25|+125=125﹣|x﹣25|. (6 分) (3)∵ ,







…(8 分)

①当 1≤x<25 时,

在上是减函数,在∪[1,+∞)∪{0}; 上有解,

(3)假设存在自然数 m,使得关于 x 的不等式 f(x﹣m)≤x 在区间 即有 (x﹣m+1) ≤x,即|x﹣m+1|
2



即有﹣2 ﹣x≤1﹣m≤2 ﹣x 在区间 上有解, 2 y=﹣2 ﹣x=﹣( +1) +1 在 =2 即 x=4 时,取得最小且为﹣8, 2 y=2 ﹣x=﹣( ﹣1) +1 在 =1 即 x=1 时,取得最大且为 1, 则有﹣8≤1﹣m≤1,解得,0≤m≤9. 故存在,且自然数 m 的取值集合是{0,1,2,3,4,…,9}. 点评: 本题考查二次函数的解析式的求法,考查函数的单调性的判断和运用,考查函数的 恒成立思想,注意运用参数分离,转化为求函数的最值,考查运算能力,属于中档题.


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