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摆动导杆机构的Matlab运动学仿真


第 21 卷
Vol 21 No 1 2008 02

第1


机械研究与应用
M ECHAN ICAL RESEARCH & APPL ICATION

2008 年 2 月

2

摆动导杆机构的 M a tlab 运动学仿真

>李新成 ,樊 琳 ,张 振
(苏州大学机电工程学院 ,江苏苏州 215006 )

3



要:根据摆动导杆机构的闭环矢量方程推导出各构件的位移、速度、加速度的表达式 ,并将其转化为适用于 M atlab 仿真的矩阵数学模型 ,以该矩阵的数学模型编制相应的 M 函数仿真模块 ,最后建立仿真模型 ,并对仿真结果 的正确性加以分析。借助于 M atlab 软件可以方便地实现机构性能分析和动态仿真 ,从而有效提高设计及分 析效率。

关键词:摆动导杆机构 ;仿真 ; M atlab 中图分类号: TP311 文献标识码: A 文章编号 : 1007 - 4414 ( 2008) 01 - 0094 - 03

K inema tic sim ula tion of crank shaper m echan ism ba sed on M a tlab L i Xin - cheng, Fan L in, Zhang Zhen
( S chool of m echan ic and electron ic eng ineering, S oochow un iversity, S uzhou J iangsu 215006, Ch ina)

Abstract: The formula of disp lacement, velocity and acceleration of crank shaper mechanism is derived by closed loop vector equations. The formula is changed to matrix formula for M atlab simulation. According to the matrix formula, M - function of crank shaper mechanism is built up for simulation model block. M atlab simulation model of crank shaper mechanism is given and correctness of simulation result is expounded. By usingM atlab software, the analysis and simulation of mechanism s can be carried out conveniently, and the efficiency of design and analysis can be upgraded. Key words: crank shaper mechanism; simulation; M atlab

1





摆动导杆机构是一种工程上广泛应用的传动机 构 ,常用的设计方法有解析法和几何作图法。解析法 需要大量的数据计算 ,因此在实际工程中多使用作图 法来进行摆动导杆机构的设计。但作图法设计精度 较低 ,且无法在设计过程中对所设计机构的运动性能 进行仿真分析 , 所以难以准确地满足工程需要[ 1 ] 。
M atlab 是目前国际上广泛使用的一种功能强大的数

针为正。从而可以得到矢量方程的两个分量表达式 (坐标系与 R1 重合, 故 θ1 为 90 °): r cosθ = r co sθ (2)
r + r sinθ
1 2 2 2 3

= r sinθ
3 3

3

(3)

2

值计算和仿真软件 ,利用该软件的仿真工具箱 ,可以 方便地实现对机构的动态仿真分析 ,提高设计及分析 效率 ,从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案 ,提 高设计水平和设计效率。 该研究的目的是利用仿真软件 M atlab,实现对摆 动导杆机构设计结果的性能分析。

2

系统模型建立
为了对机构进行仿真分析 ,首先必须建立机构的
图1 摆动导杆机构

数学模型 (即位置方程 ) [ 2 ] 。对于任意摆动导杆机构 都可以建立模型如图 1 所示。 可以建立其矢量方程表达式 :
R1 + R2 = R2

对于摆动导杆机构来说 ,机构确定后其 1 (固定 构件 ) 、2 杆 (曲柄 )的长度已经确定 ,所以仿真要考虑 导杆的角位移、角速度、角加速度和滑块的位移、速 度、加速度。将式 2 、3 对时间求一阶导数后得 : - r2ω2 sinθ2 = r3 cosθ3 - r3ω3 sinθ3 (4) ? ω θ ω θ ( )
r2
2

( 1)

(

) ()

其中: R3 为滑块在 3 杆 (导杆 )方向上的矢量 ,导杆和 滑块的角度方向运动情况相同。 同时规定:由 x 轴正向旋转到矢量的矢量端逆时
3 收稿日期: 2007 - 11 - 27

cos 2 =

?
r

θ

3sin 3

+ r3

3

cos 3

5

作者简介:李新成 ( 1978 - ) ,男 ,河南南阳人 ,硕士 ,研究方向:机械制造及其自动化。

〃94〃
? 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

第 21 卷 第 1 期 2008 年 2 月 形式为:
?

机械研究与应用
M ECHAN ICAL RESEARCH & A PPL ICATION
r3ω3 cosθ3 + a3 r3 sinθ3 a2 r2 cosθ2 r2ω2 sinθ2
3 2

Vol 21 No 1 2008 02 (7) = ¨r3sinθ3 + 2 r3ω3 co sθ3 + (8)
?

假设曲柄的输入角速度 ω2 已知 ,则转化为矩阵
?

2

ω3 将式 ( 4) 、( 5)再次求导可得:
2

cosθ3 - r3 sinθ3 sinθ3 r3 cosθ3

r3

=

- r2ω2 sinθ2 r2ω2 co sθ2

( 6)

rω sinθ
33 3

2

+ a r cosθ
3 3

a2 r2 sinθ2 + r2ω2 cosθ2 = ¨r3cosθ3 + 2 r3ω3 sinθ3 + co sθ3 - r3 sinθ3 ¨ r3 =

a2 r2 sin 2

θ - rω2

假定曲柄的输入角加速度为已知 ,则上述方程组 的矩阵形式为: ?
2 2

co s

θ + rωθ + rω2
23
3

2

sin 3

33

co s 3

θ

(9)

3

运动学仿真 利用 M atlab 进行仿真分析 ,主要包括两个步骤:

sinθ3 r3 co sθ3

a3

a2 r2 co sθ2 - r2ω2

2

? 2 sinθ2 - 2 r3ω3 co sθ3 + r3ω3 sinθ3

2

首先编制计算所需的函数模块 , 然后利用其仿真工 具 箱 Simulink 建立仿真系统框图 ,设定初始参数进 行仿 真分析[ 3 ] 。
3. 1

编制计算函数 曲柄为原动件 ,根据式 ( 9) ,编制 M 函数如下:
function [ x ] = calculate ( u) % % u ( 1) = alpha2 % u ( 2) = om ega2 % u ( 3) = r3dot % u ( 4) = om ega3 % u ( 5) = theta2 % u ( 6) = r3 % u ( 7) = theta3 r1 = 1000; r2 = 400; % a = [ cos ( u ( 7 ) ) ( 7) ) u ( 6 )
3

图2

仿真框图

根据矩阵 ( 6)编写以下程序可求出
r3 = 3714mm / s,ω3 = 1. 4 rad / s。

% r2 = 400; theta2 = 0; r3 = 1077; theta3 = 68. 199 3 p i/180; om ega2 = 10; sin ( u ( 7 ) ) ; sin ( u 3 u ( 2 ) ^2

- u(6)
3

b = [ - u ( 1 ) r2 3 sin ( u ( 5 ) ) - r2 3 3 3 3 cos ( u ( 5 ) ) + 2 u ( 3 ) u ( 4 ) +u(6) u ( 4) ^2 cos ( u ( 7 ) ) ;

3

cos ( u ( 7) ) ];

33 3 3 3 3 3 J = [ cos ( theta3 ) - r3 sin ( theta3 ) ; sin ( theta3 ) cos ( theta3) ]; r3
b = [ - om ega2 cos ( theta2) ]; x = inv ( J ) b 4 仿真的实现 3. r2 sin ( theta2 ) ; omega2 r2

3

sin ( u ( 7 ) )

u ( 1 ) 3 r2 3 co s ( u ( 5 ) ) - r2 3 u ( 2 ) ^2 3 sin ( u 3 3 3 3 3 ( 5) ) - 2 u ( 3 ) u ( 4 ) cos ( u ( 7 ) ) + u ( 6) u ( 4 ) ^2 sin ( u ( 7) ) ]; x = inv ( a) b; 3. 2 建立系统仿真框图 3. 3

3

3

由于曲柄的转速为 10 rad / s,因此每转动一周的 时间为 0. 628 s。设置仿真时间为 1 s, 进行仿真。矩 tθ simout r ? r θω 阵 ? 中的 8 列依次为时间 、 、3 、3 、¨3、3 、 、
r

a3 。

2

3

建立仿真系统框图 ,如图 2 所示。 建立初始条件 在仿真运行之前 ,必须为积分器建立适当的初始 条件。为了便于求解 ,假设主动件曲柄的初试位置为 θ = 0,ω = 10 rad / s, a = 0,并设定各构件的长度 r =
1000mm , r = 400mm。
2 3 3 2 2 2 1

可以用以下命令绘制滑块的速度 ,加速度 ,导杆 的角速度 ,角加速度随时间的变化曲线:
p lot ( simout ( : , 1) , simout (: , 4 ) , simout ( : , 1 ) , si2 mout ( : , 5) ) p lot ( simout (: , 1 ) , simout ( : , 7 ) , simout ( : , 1 ) , simout ( : , 8) )

根据式 ( 2 ) 、( 3 ) 求出: r = 1077mm , θ = 68.
199°。

得到滑块的速度 ,加速度 ,导杆的角速度 ,角加速 度变化曲线如图 3 所示。 利用仿真得到各变量随时间的变化曲线 ,就可以 〃95〃

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2008 年 2 月

对机构做出大概的评价。

如果曲柄作匀加速转动 ,可以用同样的方法设定

各参数进行仿真。

4





M atlab 软件具有很强的计算仿真功能 ,是目前国

际上广泛使用的系统分析与仿真软件之一 [ 4 ] 。笔者 借助该软件实现了摆动导杆机构的运动仿真 ,结果表 明 ,运用这种方法可以提高摆动导杆机构的设计及分 析效率。并对摆动导杆机构的运动性能分析方法 ,对 进行其它机构的仿真、分析具有一定的参考意义。本

文的程序在 M atlab7. 0 版中调试通过。
图3 仿真结果

参考文献:
[1]

为了更准确分析机构的运动学特性 ,需要知道各 变量的极值大小 , 极值大小可以通过 M atlab 的 max 命令求出。 在命令行键入: r = max ( simout (: , 4 ) ) ; ¨r =
3m ax
r

杨可桢 , 程光蕴. 机械设计基础 [M ]. 北京: 高等教育出版社 ,
1999.

[2]

周进雄 ,张

陵. 机构动态仿真 ─使用 Matlab 和 Simulink [M ].

西安:西安交通大学出版社 , 2002.
[3]

3m ax

曲秀全. 基于 Matlab / Simulink 平面连杆机构的动态仿真 [M ]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社 , 2007.

max ( simout (: , 5) ) ;可得到: ? = 3990mm / s, ¨r3max = -2 66045mm / s 。同理可得 ω , a
3m ax

[4]

陈杰平. Matlab 在连杆机构仿真中的应用 [ J ]. 制造业信息化 ,
2005 ( 11 ) : 116 - 117.


(上接第 93 页 )

?

3m ax

3m ax

2

优化方法及计算机程序框图
由于本优化设计问题仅有 3 个变量 11 个约束条

轮的体积比原设计减少了 21. 06% 。采用优化方法
进行设计 ,不仅节省金属材料 ,降低成本 ,而且节省设

件 ,属于小型优化设计问题 ,因此选用随机方向法寻 查优化解。利用该优化方法求得 4 组优化解 ,在这 4 组优化解中由变量的最小值与最大值组成 1 新区间 , 调用 3 次插值子程序在此区间内再进行一维探索 ,这 样就能获得优化问题的最优解。优化设计主程序框 图如图 1 所示[ 2 ] 。

计时间 ,提高了工作效率 ,使设计参数达到最优值。
表 1 原设计及优化设计结果
模数 /mm
m

z

齿数

1

z

2

齿宽 /mm 目标函数值 /mm b b
1 2

3

V

原设计 优化设计

5. 5 5

13 13

60 60

67 64

58 55

5. 481 ×10 6 4. 327 ×10

6

3

优化实例
某小型挖掘机终传动采用了外置式外啮合直齿

参考文献:
[1]

圆柱齿轮传动 , 作用于主动齿轮上的计算扭矩为
600Nm。挖掘机最终传动优化程序是用 FORTRAN 语言编制的 ,原设计及优化设计结果如表 1 所示
[3]

程悦荪. 建筑机械设计 [M ]. 北京:中国机械工业出版社 , 2001. [ 2 ]

谭浩强 ,田淑清. FORTAN77 结构程序设计 [M ]. 北京:高等教育

出版社 , 1999.
[3]



陈立周. 机械优化设计 [M ]. 北京:冶金工业出版社 , 2005.

从表 1 中可以明显看出 ,优化设计后的终传动齿 〃信 息 〃

世界最大桥式起重机成功通过型式试验
主梁跨度达 120m、额定起重量达 2 万 t、总造价 3. 5 亿元的世界上最大桥式起重机 ,成功通过了各项性 能 参数的型式试验 ,这标志着 ,全球起重机中的“巨无霸 ”正式落户烟台。 这台桥式起重机由大连重工起重集团有限公司为烟台莱佛士船业有限公司设计制造。据介绍 ,这台名为 “泰山 ”的起重机 ,将主要用于海上钻井平台的制造。

〃本刊辑 〃

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