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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.4.1


1.4 三角函数的 图象与性质

1.4.1

1.4.1
【学习要求】

正弦函数、余弦函数的图象

1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2 .掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用 “五点法”作出简单的正、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.

1.4.1

【学法指导】 1.研究函数的性质常常以图象直观为基础,通过观察函数的图 象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法.正弦函数 和余弦函数的学习也是如此. 2 .利用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象是本节的重 点,也是进一步通过正弦函数图象和余弦函数图象研究正、余 弦函数性质的基础和前提,“五点法”作图的基本步骤和要领 要熟练掌握.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.4.1

1.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数 y=sin x(x∈R)和余弦函数 y=cos x(x∈R)的图象分 别叫 正弦 曲线和 余弦 曲线.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.“五点法”画图

1.4.1

画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是
?π ? ?3 ? (0,0),?2,1?,(π,0),?2π,-1?,(2π,0) ? ? ? ? ____________________________________________ ;

画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是
?π ? ?3 ? (0,1),?2,0?,(π,-1),?2π,0?,(2π,1) ? ? ? ? ____________________________________________ .

3.正、余弦曲线的联系 依据诱导公式 cos
? π? x=sin?x+2?,要得到 ? ?

y=cos x 的图象,

π 左 只需把 y=sin x 的图象向 平移 个单位长度即可. 2

复习引入
sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想?

1.4.1

y
1 P
M T

正弦线MP

o

1

A

x

余弦线OM 正切线AT

三角问题

几何问题

研一研·问题探究、课堂更高效

1.4.1

探究点一

几何法作正弦曲线

利用几何法作正弦函数 y=sin x, x∈[0,2π]的图象的过程如下: ①作直角坐标系,并在直角坐标系 y 轴的左侧画单位圆,如图 所示. ②把单位圆分成 12 等份(等份越多, 画出的图象越精确). 过单 π π x 轴 位圆上的各分点作 的垂线,可以得到对应于 0, , , 6 3 π ,?,2π 等角的正弦线. 2

研一研·问题探究、课堂更高效

1.4.1

③找横坐标: 把 x 轴上 从 0 到 2π (2π≈6.28)这一段分成 12 等份. ④找纵坐标:将 正弦 线对应平移,即可得到相应点的纵坐标. ⑤连线:用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来,即得 y=sin x,x∈[0,2π]的图象.

作图演示
函数 y ? sin x, x ? 0,2? 图象的几何作法
y

1.4.1

?

?

作法: (1) 12等分园 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

1.4.1

用描点法作出函数图象 (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
6
1 2

x
y

0

?

? 3
3 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1
y 10

3 3 1 ? ? ? 0 2 2 ? 1 2 ? 12

0

(2) 描点

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

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1.4.1

因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sin x, x∈[2kπ,2(k+1)π),k∈Z且k≠0的图象,与函数y=sin x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y= sin x,x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长 度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象. x,

研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 五点法作正弦曲线

1.4.1

在精度要求不太高时,y=sin x,x∈[0,2π]可以通过找出 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0) ? ? ? ? ________________________________________ 五个关键点, 再用光滑曲线将它们连接起来,就可得正弦函数的简图. 请你在所给的坐标系中画出 y=sin x,x∈[0,2π]的图象.



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探究点三

1.4.1

五点法作余弦曲线 ? π? 根据诱导公式 sin?x+2 ?=cos x, x∈R.只需把正弦函数 y=sin x, ? ? π 向左平移2个单位长度 x∈R 的图象 ________________________即可得到余弦函数 图象.

在精度要求不高时,要画出 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,可
?π ? ?3 ? (0,1),?2,0?,(π,-1),?2π,0?,(2π,1) ? ? ? ? 以通过描出__________________________________________

五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余 弦函数的简图.

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1.4.1

请你在下面所给的坐标系中画出 y=cos x,x∈[0,2π]的图象.



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1.4.1

【典型例题】 例 1 利用“五点法”作出函数 y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表:

x sin x 1-sin x

0 0 1

π 2 1 0

π 0 1

3π 2 -1 2

2π 0 1

描点连线,如图所示.

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1.4.1

小结

作正弦、余弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作

图. “五点”即 y=sin x 或 y=cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、 最低点和与 x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.

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1.4.1

跟踪训练 1 利用“五点法”作出函数 y=-1-cos x(0≤x≤2π) 的简图.
解 (1)取值列表如下:
x cos x -1-cos x 0 1 π 2 0 π -1 0 3π 2 0 2π 1

-2 -1

-1 -2

(2)描点连线,如图所示.

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1.4.1

例 2 求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域.
解 由题意,x
? ?-4≤x≤4 即? ? ?sin x>0

? ?sin x>0 满足不等式组? 2 ? 16 - x ≥0 ?



,作出 y=sin x 的图象,如图所示.

结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π).

小结

一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观

察得到,同时要注意区间端点的取舍.

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1.4.1

例 3 在同一坐标系中,作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图象,根 据图象判断出方程 sin x=lg x 的解的个数.
解 建立坐标系 xOy ,先用五点法画出函数 y = sin x ,

x∈[0,2π] 的图象,再依次向左、右连续平移 2π 个单位,得 到 y=sin x 的图象. ?1 ? 描出点?10,-1?,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到 y= ? ? lg x 的图象,如图所示.

由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个.

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1.4.1

小结 三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较 简便的解决问题,这正是数形结合思想方法的应用.

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1.4.1

2 . 跟踪训练 2 方程 x2-cos x=0 的实数解的个数是____
解析 作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象,如图所示,

由图象,可知原方程有两个实数解.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.1

1.方程 2x=sin x 的解的个数为 A.1 C.3 B. 2 D.无穷多

( D )

练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.根据 y=cos x 的图象解不等式: 3 1 - ≤cos x≤ ,x∈[0,2π]. 2 2

1.4.1



函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示:

π 5π 7π 5π 根据图象可得不等式的解集为{x| ≤x≤ 或 ≤x≤ }. 3 6 6 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.1

1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的 应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础. 2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点 法作图有关的问题是高考常考知识点之一.

作业:
1. 第 46 页 1 2.求函数 y= 1 log2 -1的定义域. sin x

3.求函数 f(x)=lg cos x+ 25-x2的定义域.


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