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常见不等式的证明


已知函数 f ( x) ?

ln x x

(1).求函数 f ( x ) 的极值. (2).若 g ( x)

? xf ( x) ? e x?a
x+a

,

试证明:当 a ≥﹣2 时, g ( x) <0. ,lnx﹣e ≤lnx﹣e
x+a x﹣2



(Ⅱ)证明:当 a≥﹣2 时,e ≥e ∵t′(x)= ﹣e
x﹣2

x﹣2

,只需证明 t(x)=lnx﹣e

x﹣2

<0


x﹣2

由 t′(x)=0 得 =e

,方程有唯一解 x0∈(1,2) ,

∴x∈(0,x0)时,t′(x)>0,t(x)在(0,x0)内单调递增, x∈(x0,+∞)时,t′(x)<0,t(x)在(x0,+∞)内单调递减, ∴t(x)max=lnx0﹣e
x0﹣2

=﹣x0+2﹣ >2,∴t(x)max<0

∵x0∈(1,2) ,∴x0+

综上,当 a≥﹣2 时,g(x)<0.


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