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1.中学数学建模简介


数学建模学案(1)
主讲:王瑞丁 绪论 一提起数学竞赛,人们脑海里就会浮想起这样的场面:考场里鸦雀无声,监考老师 警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前,时而冥思苦想,时而奋笔疾 书,希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出 来,正锁在某—个保险柜里。 数学建模竞赛,或称数学模型竞赛,是不是也是这样的场面呢?

一. 相关概念: 1.模型 我们常见的模型有:
玩具、照片、飞机、火箭模型。 。 。 。 。 。————实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机。 。 。 。 。 。————物理模型 地图、电路图、分子结构图。 。 。 。 。 。 。 。————符号模型 模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代 物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 你碰到过的数学模型——“航行问题” 甲乙两地相距 750 千米,船从甲到乙顺水航行需 30 小时, 从乙到甲逆水航行需 50 小时,问船的速度是多少? 解:用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:

? ?? x ? y ? ? 30 ? 750 ? ? ?? x ? y ? ? 50 ? 750

?

? x ? 20 ? ?y ? 5

航行问题建立数学模型的基本步骤: ? 作出简化假设(船速、水速为常数) ; ? 用符号表示有关量(x, y 表示船速和水速) ; ? 用物理定律 (匀速运动的距离等于速度乘以 时间) 列出数学式子 (二元一次方程) ; ? 求解得到数学解答(x=20, y=5) ; ? 回答原问题(船速每小时 20 千米/小时) 。 2.数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模(Mathematical Modeling) 数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假 设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。 数学建模:建立数学模型的全过程(包括表述、求解、解释、检验等) 3.数学建模教学与数学建模竞赛 数学模型课:二十世纪七十年代国外开始开设,二十世纪八十年代我国各高校相继开设, 二十世纪九十年代我国各中学相继开设,以北京上海开设的影响最大。 4.数学建模竞赛: 大学:美国-1985 年开始,每年一次,每年 2 月;中国-1992 年开始,每年一次,每年九月 竞赛内容: 题目由工程技术、 管理科学中的实际问题简化而成, 没有事先设定的标准答案, 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。
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竞赛形式:三名大学生组成一队,可以自由地收集资料、调查研究,使用计算机、互联网 和任何软件,在三天时间内分工合作完成一篇论文。 评奖标准:假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。 竞赛宗旨:创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争 高中:北京市自 1993 年起开展”方正杯”数学知识应用竞赛,上海也于 1997 年开展”金桥”杯 数学应用知识竞赛(即中学数学建模竞赛,北京上海两地吸收外地选手参赛) 。我国其他 一些省份也陆续开展中学数学建模竞赛。 竞赛形式(以北京为例) :竞赛分初赛和决赛两步,初赛采用开卷方法,即以散发试卷和在报 纸杂志上刊载试题相结合的办法开卷征答,限期收卷.学生答卷地点不限,可以参考任何资 料,可以使用任何计算工具,但要求学生独立完成,倡导诚信。 决赛分两部分,一是让学生完成一篇数学应用的小论文,论文成绩作为总成绩的一部分, 并单独设立优秀论文奖。决赛的第二部分是闭卷答题,要求独立完成问卷中的问题。
5.数学建模的重要意义: 20 世纪,特别是二次世界大战以后,随着电子计算机的飞速发展;数学取得了巨大的发展,

应用数学和数学应用取得了巨大成功,数学几乎渗透到社会的每一个领域和学科,发挥了 实质性的作用,高科技本质上就是数学技术(David。曾任美国总统顾问) 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地; 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具; 数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多 新天地。 数学建模竞赛培养学生创新精神,提高学生综合素质;运用学过的数学知识和计算机(包 括选择合适的数学软件)分析和解决实际问题的能力;面对复杂事物的想象力、洞察力、 创造力和独立进行研究的能力;关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风; 团结合作精神和进行协调的组织能力;勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强 意志;查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力 6.数学建模的一般步骤: 实际情境 模型假设;根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进
行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立 :在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻 划各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。 (尽量 用简单的数学工具) 模型求解 :利用获取的数据资料,对模型的所有参数做 出计算(估计) 。 模型分析 :对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验 :将模型分析结果与实际情形进行比较,以此 来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际 较吻合,则要对计算结果给出其实际含义,并进行解释。 如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设, 在次重复建模 过程。 模型应用 :应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

修改 提出问题

数学模型

数学结果 不合乎实际 检验 合乎实际 可用结果

具体地说,数学建模这一过程可用下面框图来表示:

二.建模示例

生活中的趣味建模 1.女孩子都爱美,你知道你穿多高跟的鞋子,看起来最美吗?
2

设某女孩下肢躯干部分长为 x 厘米,身高为 l 厘米,鞋跟高 d 厘米,我们知道黄金分割 0.618,当人下肢与身高比为0.618时应该看起来最美,即

x?d 0.618l ? x 0.618l ? x ? 0.618 d? ? l?d 1 ? 0.618 0.382 ,则,
由此模型,可计算出任何一个女孩子应该穿多高的鞋子。 以身高168厘米,下肢长为102厘米的人为例,所穿鞋子高度,与好看程度的关系 可由下表说明: 原比( x / l ) 0.6071 0.6071 0.6071 0.6071 身高 l (cm) 168 168 168 168 高跟鞋高度 d 2.5 3.55 4.5 4.7748 新比值 0.6129 0.6151 0.6173 0.618

又如,按照上述模型,身高153厘米,下肢长为92厘米的女士,应穿6.6厘米的高跟鞋 显得比较美。 由此看来,女孩子们爱穿高跟鞋是有科学根据的,也使人联想起为什么人们观看芭蕾 舞表演时有一种美的感受(演员把脚尖抵起来相当于穿高跟鞋) ,可是当你看踩高跷表演 时没有这种感觉。 探究活动:你能举出生活中黄金分割的例子吗? 2.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从 数学的角度解释这一现象吗? 解:可设: V ? r ? ?

4 3 3V ? r ,即 r ?V ? ? 3 3 4?

当空气容量V从0增加1L时,半径增加了

r ?1? ? r ? 0? ? 0.62

气球平均膨胀率:

r ?1? ? r ? 0 ? ? 0.62 1? 0

当空气容量V从1加2L时,半径增加了

r ? 2? ? r ?1? ? 0.16

气球平均膨胀率:

r ? 2 ? ? r ?1? ? 0.16 2 ?1

可以看出,随着气球体积变大,它的平均膨胀率变小. 思考:当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢? 你还能建立其他模型来解释这一现象吗?能用我们的分析来解释与之类似的现象 吗? 3.你能完成的数学建模: 下表是“全球通”移动电话的几种不同收费方案:
3

方案代号 月租费/元 免费时间/分 超过免费时间的通话费元/分 0 50 0 0.40 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1000 0.40 1)分别写出方案0、3、5中月话费(月租费与通话费的总和)y? (元)与通话时间x(分) 的函数关系式; (2)如果月通话时间为300分钟左右,选择哪个方案最省钱? (3)通过图象比较方案0、1、2和3,由此你对选择方案有什么建议? 活动设计意图: 通过这一活动,让学生掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法.根据实际情况选择方 案 活动过程及结论: 1.据题意可知:月话费y(元)与通话时间x(分)的函数关系分别是: 0方案:y=0.40x+50. 3方案:y=168 (0<x≤330) , y=(x-330)× 0.50+168 (x>330) . 5方案:y=388 (0<x≤1000) , y=(x-1000)× 0.40+388 (x>1000) . 2.如果月通话时间为300分钟的话,0方案话费为:170元,? 1? 方案话费为:181.2元,2 方案话费为:176元,3方案话费为:168元……故选择3方案最省钱. 3.根据题意画出0、1、2、3方案图象如下: 由图象可以清楚看出: 如果每月通话时间不超过161分钟的话,应选择1号方案省钱. 如果每月通话时间超过161分钟而小于287分钟的话,应选择2号方案省钱. 如果每月通话时间超过287分钟而小于470分钟的话,应选择3号方案省钱. 如果每月通话时间大于470分钟的话,应选择0号方案省钱. 原因是:当0<x<161时,1号图象在最下方. 当161<x<287时,2号图象在最下方. 当287<x<470时,3号图象在最下方. 当x>470时,0号图象在最下方. 三.课堂活动 和学生玩二分法猜数游戏,体会二分法模型 田忌赛马,鸡兔同笼,百钱百鸡 天平测球 四.怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术, 技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力 永葆对生活的热爱和激情。 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 五.课后探究 请同学们课后总结一下我们所学过的数学模型,看哪组总结得多!

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