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2013年高三一轮复习--统计与概率专题


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一轮统计和概率专题复习

高考概率与统计考点解析
概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等知识为工具, 以考查对概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题,预计这也 是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。 考查一:考查随机变量相关知识 1.(2013 全国大纲卷理)20. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局 当裁判,设各局中双方获胜的概率均为

1 , 各局比赛的结果都相互独立,第1 局甲当裁判. 2

(I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望.

2.(2013 新课标卷Ⅰ理)19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件 数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4, 再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过 检验。假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互 独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费 用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

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3.(2013 天津卷理)(16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

4.(2013 陕西卷理)19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观 众须彼此独立地在选票上选 3 名选手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号 中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.

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5.(2013 重庆卷理)(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中 任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与篮球的 个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ( X ) .

6.(2013 福建卷理)16.(本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 案乙的中奖率为

2 ,中奖可以获得 2 分;方 3

2 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互 5

不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学 期望较大?

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7.(2013 辽宁卷理)19. (本小题满分 12 分) 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 题的概率都是

3 ,答对每道乙类 5

4 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 5

8.(2013 山东卷理) (19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外, 其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设每局比赛结果互相独立。 (1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3:分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对 方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望。

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考查二:考察统计,概率与其他知识结合 1.(2013 广东卷理)17. (本小题满分 12 分)

某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示,其中茎 为十位数,叶为个位数。 (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。 根据茎叶图推断 该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率

2.(2013 江西卷理)18.(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以 0 为起点,再从 A1,A2,A3, A4,A5,A1,A2,A3(如图)这 8 个点中任取两点分别分终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X。若 X=0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队。 (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望。

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3.(2013 安徽卷理)(21) (本小题满分 13 分) 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系 共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数) 。假设李老师和张老师分别将各自 活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动 通知信息的学生人数为 x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m 。

4.(2013 湖南卷理)18. (本小题满分 12 分) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处 都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物 株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。

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5. 2013 四川卷理) (本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示, ( 18. 其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随机产生. (Ⅰ )分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P (i ? 1, 2,3) ; i (Ⅱ )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为

i(i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数

30
?

14
?

6
?

10
?

30
?

12
?

11
?

7
?

2100

1027

376

697

2100

1051

696

353

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序 各自输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数表示) ,并判断两 位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及数学期望.

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考察三.考察正态分布 1.(2013 湖北卷理)20.(本小题满分 12 分)
2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N 800,50 的随机变量, 记一天中从甲地去乙地的旅

?

?

客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求 P 的值; n
2 (I) (参考数据:若 X ? N ? , ? , 有P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

?

?

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往返一次, A、B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个 不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P 的概率运完从甲地去乙地 0 的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A型车、B型车各多少辆?

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