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高二理科上学期期终考试试数学试题(必修5,选修2-1)


高二第一学期期末考试数学试卷

高二理科数学周考试题(2013.1.6)
一.选择题:本大题共 12 个小题. 1.x>2 是 x ? 4 的
2

9. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a5 a6 且 的值为 A. 12 B. 10 C. 8

? 9 ,则 log3 a1 ? log

3 a2 ? ? ? log3 a10
D. 2 ? log3 5

A. 充分不必要条件 件

B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条

10.在同一坐标系中,方程 a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0 (a ? b ? 0) 的图象大致是

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,用向量 AB, AD, AA 来表示向量 AC1 1

??? ??? ???? ? ?

???? ?
A1

D1 B1

C1

??? ? ??? ??? ???? ? ? A. AC1 ? AB ? AD ? AA 1

??? ? ??? ??? ???? ? ? B. AC1 ? AB ? AD ? AA 1
A

???? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? C. AC1 ? AB ? AD ? AA D. AC1 ? AB ? AD ? AA 1 1
3.已知“ a ? b ? 0 ” ,则下列命题正确的是 A. a 、 b 都不为 0 B. a 、 b 至少有一个为 0
2 2

D B

C

11.在△ABC 中 ?A ? 60 , b ? 1 ,其面积为 3 ,则角 A 的对边的长为
?

第 2 题图 2 , 12.一艘船向正北方向航行,看见正西方有两个灯塔恰好与它在一条直线上,两塔相距 10 2 4 海里,继续航行半小时后,看见一塔在船的南偏西 60°,另一塔在船的南偏西 45°,则船 , , 速(海里/小时)是 4 6 , C.10 A.5 B.5 3 D.10 3 +10 6 二.填空题:本大题共 4 个小题. 每小题 4 分;共 16 分.将答案填在题中横线上. A. 57 B. 37 C. 21 D. 13 13. 已知向量 OA ? ?k ,2,1? , OB ? ?4,5,1? , AB ? 5 则 k=

C. a 、 b 至少有一个不为 0 4.若不等式 ax A.-10
2

D. a 不为 0 且 b 为 0 ,或 b 不为 0 且 a 为 0

? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? 1 ? x ? 1 ? ,则 a-b 的值是 ? ?
? 2 3?
C.10 D.14

B.-14

??? 1 ??? ??? ? ? ? 5.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则 AB ? ( BD ? BC ) 化简的结果是 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A. AM B. BM C. CM D. DM
6. 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两 在 个正数之和为 A.

1



?x ? 1 ? x ? y ?1 ? 0 14.已知 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

2


3 5 6 9 10

x 2 ? y 2 的最小值_____________. 4
7 8

27 2

B.

7.若 0 ? 是 A.

a ? 1 , 0 ? b ? 1 , a ? b ,则 a ? b ,2 ab , a 2 ? b2 , 2ab 中最大的一个
2 2 C. a ? b

45 4

C.

25 2

D.

47 4

2 15.过抛物线 y ? 2 px ( p >0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1 ?????????

垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 4,9,那么 |P1Q1|= .

?????

a?b
2 2

B. 2 ab

D.

2ab
D.

16.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一个数) : 设 ai , j (i、 j∈ N )是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如
?

8.在双曲线 x ? y ? 8 的右支上过右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么 △F1PQ 的周长为 A. 28 B. 14 ? 8 2 C.

14 ? 8 2

a4,2 =8.则 a

8 2

11, 4 为



?????????
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高二第一学期期末考试数学试卷

三.解答题:本大题共 6 个小题. 共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知 p : ?2 ? x ? 10 ; q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的必要非充分条 件,求实数 m 的取值范围。

20.现有一批货物用轮船从甲地运往乙地距离为 500 海里,已知该船最大速度为 45 海里/小 时,每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方 成正比,其余费用为每小时 960 元.已知轮船速度为 20 海里/小时,全程运输成本为 30000 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应为多大速度行驶?

18. 在△ABC 中, 、 是方程 x a b (1)求 c 的值; (2)求△ABC 的面积.

2

? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, 2 cos(A ? B) ? 1. 且
21.已知等差数列 {an } 的前 n 项的和记为 Sn , a4

? ?12, a8 ? ?4 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求 S n 的最小值及其相应的 n 的值.

22. 已知 F 、 F2 分别为椭圆 C: 1 19.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点, (1)求 BN 的长; (2)求 cos ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两焦点,点 A 为椭圆的左 a 2 b2

??? ?

顶点,且椭圆 C 上的点 B (1, (1)求椭圆 C 的方程;

3 ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和为 4. 2

BA , CB1 ? 的值 . 1

(2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 平行线交椭圆 C 于 P,Q 两点,求 ?F1 PQ 的面积.

第 19 题图

第 2 页共 4 页

高二第一学期期末考试数学试卷

高二理科数学周考试题
参考答案及评分标准
一、选择题: 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B 12.D

19.解: (1)以射线 坐标系

CA, CB, CC1分别为ox, oy, oz 建立空间直角
―――――――――――――――――――――1 分

则 B(0,1,0) N (1,0,1),

???? ?| BN |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3

―――――――3 分

二、填空题: 13. k ? 0 或 k ? 8 三、解答题: 17. 解: 解:由 x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m ??????1 分 14.5 15.12 16.59

(2) ? A1 (1, 0, 2) B1 (0,1, 2), C (0, 0, 0) ???? ???? ? BA1 ? (1, ?1, 2), CB1 ? (0,1, 2),
??????2 分

―――――――6 分

? ? p : B ? ?x | x ? ?2或x ? 10? ????????????4 分 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,且 m ? 0 , ? A ? B ? ?m ? 0 (1) ? ? ?1 ? m ? ?2 (2) ????????????6 分 ? ? ?1 ? m ? 10 (3) ? 即 m ? 9 , 注意到当 m ? 9 时, (3)中等号成立,而(2)中等号不成立 ? m 的取值范围是 m ? 9 ????????????8 分

? ? q : A = ?x | x ? 1 ? m或x ? 1 ? m?

???? ??? ? ? cos ? BA1 , CB1 ?? ?

???? ??? ? BA1 ? CB1 ??? ? | BA1 | ? | CB1 | ? 30 10
――――――――8 分

1? 0 ? (?1) ?1 ? 2 ? 2 12 ? (?1)2 ? 22 ? 02 ? 12 ? 22

20.解: (1)由题意得,每小时燃料费用为 kx

2

(0 ? x ? 45) ,全程所用时间为

500 小时. x

1 18.解:(1)∵ 2 cos(A ? B) ? 1,∴ cos C ? ? 2
∴角 C 的度数为 120° ∵a、b 是方程 x ∴
2

则全程运输成本 y= kx ―――――――1 分

2

?

500 500 ? 960 ? , x ? (0, 45] x x

―――――――3 分 ―――――――4 分 ―――――――5 分

――――――――――――――2 分

当 x=20 时,y=30000 得:k=0.6 故所求的函数为 y= 300( x ?

? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,
, ab
2

a?b ? 2 3
2

?2
2

1600 ) , x ? (0, 45] x

―――――――3 分

由余弦定理,得 c

? a ? b ? 2ab cosC
―――――――5 分

(2)y= 300( x ?

1600 1600 ) ? 300 ? 2 x ? ? 24000 x x

―――――――7 分

? (a ? b) 2 ? 2ab(cosC ? 1) =12-2=10
∴c (2) S

当且仅当 x

?

? 10
1 3 absin C ? 2 2

1600 ,即 x=40 时取等号 x

―――――――9 分 ―――――――10 分

――――――――――――――6 分

故当轮船速度为 40 海里/小时时,所需成本最小

?

―――――――8 分

21.解: (1)设公差为 d,由题意,可得

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高二第一学期期末考试数学试卷

?a4 ? ?12 ?a1 ? 3d ? ?12 , ?? ? ? a1 ? 7d ? ?4 ? a8 ? ?4
? d ?2 解得 ? ,所以 an ? 2n ? 20 ? a1 ? ?18
(2)由数列 {an } 的通项公式可知, 当 n ? 9 时, an

――――――――――――――3 分



y1 ? y2 ?

3 5 4

――――――――――――――10 分

――――――――――――――5 分

所以 ?F1 PQ 的面积 S ?F1PQ ?

1 3 5 ? 2c ? y1 ? y 2 ? 2 4

―――――――12 分

? 0 ,当 n ? 10 时, an ? 0 ,当 n ? 11 时, an ? 0
? S10 ? ?90

―――――8 分

所以当 n=9 或 n=10 时, Sn 取得最小值为 S9 22.解: (1)由定义知 BF1

―――――――10 分 ―――――――1 分

? BF2 ? 2a ? 4? a ? 2

3 ( )2 2 2 3 1 x y 2 ? 1(b ? 0), 又点 B (1, ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,所以有 2 ? 2 2 b2 a b
解得 b ?

3

-----------------4 分

x2 y2 ? ?1 所以椭圆 C 的的方程 4 3
(2) 由(1)知焦点 F2 的坐标为(1,0)

― ―――――――――――――5 分 ― ―――――――――――――6 分

又过 F2 的直线 PQ 平行 AB,A 为椭圆的左顶点,所以 PQ 所在直线方程为

y?

1 ( x ? 1) 2

――――――――――――――7 分

设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 将 y ? 1

1 ?x ? 1? 代入椭圆方程得: 2

16 y 2 ? 12 y ? 9 ? 0
解得:

y?

?3 ? 3 5 8

――――――――――――――9 分

第 4 页共 4 页


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