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数学必修4三角函数复习学案理(2)


三角函数复习
1.弧度:角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° =? 例 1 填表 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

角x 弧度制

00

300

450

600

900

1800

/>
2700

3600

练习:将下列角度化成弧度制 (1)1200 (2)1350

(3)1500

(4)750

二、任意角的三角函数 (一)知识点 1.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数. 在 ? 终边上任取一点 P( x, y) (与原点不重合) ,记 r ?| OP |?

x2 ? y 2 ,

则 sin ? ? y , r

cos ??

x, y tan ? ? , r x

2. 各象限角的各种三角函数值符号::一全二正弦,三切四余弦

sin ?

cos ?

tan ?

sin ? ?

y r

cos ? ?

x r

y tan ? ? (纵坐标 y 的符号) x

(横坐标 x 的符号

(二)例 2.已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值.

练习:已知角?的终边经过 P(-12,?5),求 sin?,cos?,tan?的值.

三.同角三角函数关系 (一)知识点 同角三角函数关系: (1) ; (2) ;.

3 例 3、已知 cosα =- ,并且它是第三象限的角,求 sinα ,tanα 的值。 5

练习 1、已知 sin ? ? ?
3 7 A、 7

3 , ? 是第四象限角,则 tan ?的值为? 4

?
7 4

B、

7 4

C、 ?

3 7 7


D、 -

2、 cos ? ? A.

4 3

4 , ? ? (0, ? ) ,则 tan ? 的值等于( 5 3 4 B. C. ? 4 3
四.三角函数的诱导公式

D. ?

3 4

(一)知识点: 1.三角函数的诱导公式:口诀“奇变偶不变,符号看象限”

公式(一) :

sin(?? ) ? 公式(二) : cos(?? ) ? tan(?? ) ? sin(? ? ? ) ? 公式(四) : cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?
sin( ? ? ) ? 2
公式(六) : cos(

sin(? ? ? ) ? 公式(三) : cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?

?

公式(五) :

sin( ? ? ) ? 2 cos( ? ? ) ? 2

?

?

?

2

??) ?

2 特殊角的三角函数值: 角x sinx cosx tanx 00 300 450 600 900 1800 2700 3600

3.巧记特殊三角函数值 值 角 函 数 sin ?



30°

45°

60°

90°

0 2 4 2
0

1 2 3 2 3 3

2 2 2 2 9 3

3 2 1 2 27 3

4 2 0 2
不存在

cos ?

tan ?

(二)例题讲解 例. 4. 选择题 1.(2010· 全国Ⅰ)cos 300° 等于 A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 ( D. 3 2 )

2.计算

(1) sin1200

(2) cos

3? 4

(3) tan(-

7? ) 6

(4)

cos

5? 6

练习. A 选择题

1. sin ? ?

? 19 ? ? ? 的值等于( ? 6 ?
? 1 2
C.



A.

1 2

B.

3 2

D.

?

3 2

2. tan2010 的值为

0





A. ? 3

B.

3 3
( C.-

C. ?


3 3

D.

3

3 .tan(-300°)的值为

3 3 B.填空题
A.

B. 3

3 3

D. ? 3

4.求下列三角函数的值 (1) sin9300= sin( ( ?

23? ) 4

=

(2) sin( ?

4? 23? 25? = ) cos( ? ) tan 3 6 4

5 化简: (1)sin (? ?

5? )= 2

(2)

cos( ? -7 ? ) =

(3) tan(-5 ? - ? )= 例 5. 化简求值:已知 tan(5 ? + ? )的值

(4) cos(- ? 是第三象限角,sin (? ?

?

7? 3 ) = ,求 sin(-3 ? + ? ), 2 5

3? )== 2

练习:化简求值:已知 tan(13 ? + ? )的值

?

是第二象限角, cos ( ?? ?

9? 12 ) =- , 求 2 13

cos(-5 ? + ? ),

五、三角函数的图象和性质 (一)知识点: 1、三角函数的周期性:如果存在一个非零的常数的 T,满足 f(x+T)= 函 数 f ( x ) 的 一 个 周 期 . 正 、 余 弦 函 数 的 T= T= . 2,三角函数性质表

.则称 T 为 ,正切函数的

函数

正弦函数

余弦函数

正切函数

图像

定义域 值域 周期性 奇偶性

最值

对称性

单调性

(二)例题讲解. 例 5.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间;

(6)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心;

练习:1 选择题:.函数 y=2cos(2x+ A. x=

? 4

? )的一条对称轴是( 3 ? ? B. x= C. x= 3 2

) D. x=

? 6

2、选择题:函数 y ? 3sin(2 x ? A x= ?

?
4

) 的对称轴为

( C x=-

) D x=

?
4

B x=

? 4

? 8

? 8

3,填空: 函数 y=cos(4x+ 是 4.求函数 y=2cos(2x-

? )的对称中心是 3

函数 y=sin(4x+

? ) 的对称中心 6

? )的周期,单调区间,对称轴和对称中心 6

(六)三角函数的图像变换

1.三角函数有三种变换:

例题 6. 1. 函数 y=sinx 的图像怎样变成函数 y=2sin(2x+

? ) 的图像 6

2.函数 y=cosx 的图像怎样变成函数 y=

1 1 ? cos( x- ) 的图像 3 2 6

例 7. 1.将函数 y ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) 的图象向______平移_______个单位得到函数 y ? sin 2 x 2 4 2

的图象(只要求写出一个值) 2. 要得到 y ?

1 ? 1 ? cos(2 x ? ) 的图象 , 可以把函数 y ? cos( 2 x ? ) 的图象向 ______ 平移 2 3 2 4

_______个单位(只要求写出一个值). 练习:1.函数 f(x)=sinx 图像经过怎样变形变成 f(x)=2sin(2x+

? ) 的图像 4

2.函数 y=2sin(-2x+

? ? )的图象向______平移_______个单位得到函数的数 y=2sin(-2x- )图象 4 3

(只要求写出一个值)
x ? 3. .为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的 3 6

点(

)

(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移

? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

6

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变)
3

(D) 向右平移

?
6

4、平移函数 y ? sin ( ? 2 x ? ? ) 的图象得到函数 y ? sin ( ? 2 x ) 的图象的平移过程是( (A)向左平移



? ? ? ? 单位(B)向右平移 单位(C)向左平移 单位(D)向右平移 单位 6 6 3 3

(七)

函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像确定

1 、 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像的有关问题 (1)定义域 (4)周期 T= (2)值域 (5) 相位 ( (3) 振幅 (6)初相

2. y=Asin( ?x ? ?) + B ( A>0, ? ? 0 ) 的图像的图像确定

例 8.

1.如图图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ?



?

C. y ? sin(2 x ?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

2.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函 数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 y 温度/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
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30 20 10 时间/h 6 10 14

o
练习: 1.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( (A) y ? sin ? x ? )

x

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? sin( 2 x ?

?
3

)

2、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 ,

| ? |? ? )的一段图
象如图所示, (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。 (3)求这个函数对称中心

3、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) +b( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的一段图 求函数的解析式 y 2 1 o
?
10
7? 20

x

六.三角恒等变换 (1)两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?
(2) .二倍角公式

tan ? ? tan ? 。 1 tan ? tan ?
2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

tan 2? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;

(3)降幂公式

sin ? cos ? ?

1 sin 2? ; 2

; cos ? ?
2

1 ? cos 2? 。 2

(4)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? 其中sin ? ?
例题讲解 考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2



1、 sin 20 cos 40 ? cos 20 sin 40 的值等于 2、若 tan ? ? 3 , tan ? ?
0

. .
0

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于 3
0 0

练习:1.cos 175 ·cos 5 5 +sin 175 ·sin 5 5 =
0 0 0

.
0

2.cos (? ? 21 ) · cos (? ? 24 ) +sin (? ? 21 ) · sin (? ? 24 ) = 3.。sin10°sin40°+sin50°sin80°=( A. 考点 2 1、cos ) C.

1 2
2? 的值等于 5

B.

2 2

3 2

D. ?

3 2

二倍角的正弦、余弦、正切公式

?
5

cos

3 ,那么 sin 2 A 等于 2 5 2 ? ? 1 ? ________ 练习:1.sin22?30’cos22?30’=________ 2. 2 cos 8
2.、 已知 0 ? A ? ,且 cos A ? 3. cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ . 4.

?

sin 2

? ? ? cos 2 ? __________ 8 8
运用相关公式进行简单的三角恒等变换

考点 3

例 9. 1.已知 sin α = c o s (

12 4 ,sin β = ,α 与 β 均为锐角,求 cos(α -β ), 13 5

? -α -β )的值 2

2.化简

(1).

s i n x-c o s x =

(2).C o s x- 3 s i n x=

(3).2sinx+2 3 c o s x=

3 .已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 3 (x∈R) 2 ⑴求 f(x)的最小正周期;⑵求 f(x)单调增区间;

练习 1. ( 2012(广一模文数 16)已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

(2)若 f ?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?

2.. ( 2013(广一模文数16) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 正周期为 8 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 ,O 为坐标原点, 求 cos ? POQ

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

2 3..设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos (? x ? ?) ?

1 ? (? ? 0, o ? ? ? ) ,已知 f ( x) 的最小正周期 2 2

为 ? ,且 f ( ) ?

?

8

1 . (1)求 ? 和 ? 的值; 4

(2)求的单调增区间.

(3)f(x)图象的对称轴,对称中心。

4. ( 2013(广一模文数16) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x( x ? R). (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值。 ?? 8? 3

5 填空. 函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____. 6 f ( x) ?

cos

2

x ? sin x cos x 的最大值是_____.

7. ( 2013(广二模文数12)已知? 为锐角,且cos ? ? ? 8.已知 s i n x=

? ?

?? 3 ? ? ,则 sin ? ? 4? 5



3 5

co s y =

1 2

x,y 分别是二,四象限角,则 sin(x-y)=

Cos(- ? ? x ? y )= 9 .函数 f(x)=2sin( 2x -

5? )的奇偶性是 2

七.解三角形
(一)正弦定理 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, 圆的半径,则有: 2、正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? ③a :b:c ? ④ , sin ? ? ; , sin C ? ; = = = 为 ??? C 的外接 = 2R

a?b?c a b c ? ? ? . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
= =

3、三角形面积公式:

S???C ?
4.典型例题:

例 1. (1)在△ABC 中,已知 a=10,B= 60

0

,C= 45 ,解三角形。

0

变式练习: (1) ? ABC 中 A ? 45 , C ? 30 , c ? 10 ,求 B, a 及 b 的值。

例 10、 ? ABC 中 b ?

2, c ? 3, B ? 45 ,解三角形.

变式练习: ? ABC 中 b ? 6, c ?

3, B ? 45 ,解三角形

例 11、 ? ABC 中,

a b ? ,则 ? ABC 的形状为( ) cos A cos B
B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

A、等边三角形

变式练习: ? ABC 中, a cos A ? b cos B ,则 ? ABC 的形状为 ______ 例 12.在 ?ABC 中,A ? 300 , b ? 12, S?ABC ? 18, 则

sin A ? sin B ? sin C 的值为 ________. a?b?c

变式练习:1、在 ?ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 300 , 求 B及S?ABC . 2、在 ?ABC 中,外接圆半径为 2, A ? 60 ,则 BC 的长为____

(二)余弦定理 1、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ?
2

, . ,

b2 ?
cos ? ?
4.典型例题:

c2 ?
cos C ?

2、余弦定理的推论: cos ? ?



例 13. (1)已知 a=3 3 ,c=2,B=150°,求边 b 的长及 S△. 变式练习: (1)在△ABC 中,已知 a=6, b=8,C=600,则 c= 。

例2、已知在?ABC的三边长为a ? 3, b ? 4, c ? 37, 求?ABC的最大内角.

近八年广东高考数学三角试题
1. (2007年高考广东卷第3小题) 1 若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R ),则 f ( x) 是 2 ? A.最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的奇函数 2 ? C.最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 ? 的偶函数 2 2.(2007年高考广东卷第16小题) 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1) 若 c ? 5 ,求sin∠ A的值; (2)若∠ A是钝角, 求 c 的取值范围. 3.(2008 年高考广东卷第 12 小题) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是 . (2008 年高考广东卷第 16 小题) (本小题满分 13 分) 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, ?π 1? 过点 M ? , ? . ? 3 2? 3 12 ? π? (1) 求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 5 13 ? 2?

(2) 求 f (? ? ? ) 的值. 4.(2009 年高考广东卷第 6 小题) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已 知 F1 , F2 成 60 0 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A. 6 D. 2 7 5.(2009 年高考广东卷第 10 小题) 若平面向量 a , 则a ? b 满足 a ? b ? 1, a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) , 6.(2009 年高考广东卷第 16 小题) . B. 2 C. 2 5

? 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?
10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

7.(2010 年高考广东卷第 13 小题) 已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B, 则 sinC= .

8.(2010 年高考广东卷第 16 小题) 已知函数
f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ?

?
12

时取得最大值 4.

2 ? 12 (1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 求 f ( x) 的解析式; (3) 若 f ( α + )= ,求 sinα. 3 12 5

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 , cos 2? ? , 1 ? 2sin 2 ? ? , sin 2 ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

9. (2011 年高考广东卷第 16 小题)
1 ? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R. 3 6

(1) 求 f (

5? ? 10 6 ? ?? ) 的值;(2)设 ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 4 2 13 5 ? 2?

(2) 求 cos(? ? ? ) 的值. 10. (2012 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( ?x ? ? ) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 10? .
6

(1) 求 ? 的值;
5? 16 ?? 5? 6 (2) 设 ? , ? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ) ? ? , f (5 ? ? ?0, ?, f (5? ?

?

2?

3

5

6

17

11.(2013 年高考广东卷第 16 小题)

? ? ? 已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
? ?? (Ⅰ) 求 f ? ? ? 的值; ? 6?
3 ? 3? ? (Ⅱ) 若 cos ? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?
?
4 ), x ? R ,且

12 、 (2014 年高考广东文科卷第 16 小题 已知函数 f ( x) ? A sin( x ?

f(

5 3 ?) ? , 12 2 (1)求 A 的值;
(2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

13. 、(2014 年高考广东理科卷第 12 小题在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为

a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则

a ? b

.


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