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高中数学因式分解的十二种方法(修改版)


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高中数学因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分 解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从 而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例 1、分

解因式 x-2x-x(2003 淮安市中考题) x -2x -x=x(x-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就 可以用来把某些多项式分解因式。 例 2、分解因式 a+4ab+4b(2003 南通市中考题) 解:a2+4ab+4b2=(a+2b)2 3、分组分解法 要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公 因式 a,把它后两项分成一组,并提出公因式 b,从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可 以提出公因式 m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m+5n-mn-5m 解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n =(m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于 mx+px+q 形式的多项式,如果 a×b=m,c×d=q 且 ac+bd=p,则多项式可 因式分解为(ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x2-19x-6 分析:1-3 72 2-21=-19
2 2

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解:7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方 式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例 5、分解因式 x2+3x-40 解 x2+3x-40=x2+3x+ 9 169 4 4

=(x+

3 2 13 2 ) -( ) 2 2

=(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a +b) 7、换元法 有时在分解因式时, 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然 后进行因式分解,最后再转换回来。 例 7、分解因式(x?+x+1)(x?+x+2)-12 解:(x?+x+1)(x?+x+2)-12
令 y=x?+x 原式=(y+1)(y+2)-12 =y?+3y+2-12 =y?+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x?+x+5)(x?+x-2) =(x?+x+5)(x+2)(x-1)

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8、求根法
将不同的 x 的值代入原式进行计算,若结果为 0,则该值为原式的一个根,一般用 1、-1 试 算,求出一个根后可把原式写成 x 减去它的根乘以另一个代数式,如此做下去,直到每一个因式 次数都为 1 为止. 一般来说,x 的最高次为几,原式就有几个根,但有时可能无法求出根,因为根有可能是无理数 或复数. 例:X^4+2X?-9X?-2X+8 试算后得 x=1 为原式的一个根,则可提取(x-1) 原式=(x-1)(x^3+3x^2-6x-8) 试算后得 x=-1 为原式的一个根,则可提取(x+1) 原式=(x-1)(x+1)(x^2+2x-8) 再十字相乘得:原式=(x+1)(x-1)(x+4)(x-2) 还有一些规律:如果一个一元多项式的各项系数和为 0,则它必有 x=1 的根 如果一个一元多项式的奇次项系数与偶次项系数之和的差为 0,则它必有 x=-1 的根

9、图象法 令 y=f(x), 做出函数 y=f(x)的图象, 找到函数图象与 X 轴的交点 x,x,x,…… x,则多项式可因式分解为 f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x) 例 9、因式分解 x+2x-5x-6 解:令 y=x+2x-5x-6 作出其图象,见右图,与 x 轴交点为-3,-1,2 则 x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、主元法 先选定一个字母为主元, 然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行 因式分解。 例 10、分解因式 a(b-c)+b(c-a)+c(a-b) 分析:此题可选定 a 为主元,将其按次数从高到低排列 解:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb) =(b-c)[a-a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c)

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11、利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x,求出数 P,将数 P 分解质因数,将质因数适当的组合,并 将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式,将 2 或 10 还原成 x,即得 因式分解式。 例 11、分解因式 x+9x+23x+15 解:令 x=2,则 x+9x+23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积,即 105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为 1,而 3、5、7 分别为 x+1,x+3,x+5,在 x=2 时的值 则 x+9x+23x+15=(x+1) (x+3) (x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式, 然后设出相应整式的字母系数, 求出字母系数, 从而把多项式因式分解。 例 12、分解因式 x-x-5x-6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设 x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d) =x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd 所以解得 则 x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)


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