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2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷(新课标I 理科)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷(新课标 I 理科数学)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器厚度,则 球的体积为( ) 500? 866? 1372? 2048? A、 cm3 B、 cm3 C、 cm3 D、 cm3 3 3 3 3 7、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 Sm?1 ? ?2 , Sm ? 0 , Sm ?1 ? 3 ,则 m ? ( A、3 A、 16 ? 8? C、 16 ? 16? B、4 B、 8 ? 8? D、 8 ? 16?
4 主视图

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x ? 5 ? x ? 5} ,则( A、 A ? B ? ? B、 A ? B ? R C、 B ? A ) D、
4 5



C、5

D、6 )
2 4 2 左视图 2

8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

) D、 A ? B

2、设复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( A、 ?4 B、 ?
4 5

9、设 m 为正整数, ( x ? y )2 m 展开式的二项式系数的最 大值为 a , ( x ? y)2 m?1 展开式的二项式系数的最大值为 b ,
4

C、4

若 13a ? 7b ,则 m ? ( A、5 B、6
2

) C、7
2

2

3、为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而 男女视力情况差异不大. 在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 ) D、系统抽样 )

D、8

俯视图

(第 8 题)

10、已知椭圆 E :

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交 E 于 A, B 两 2 a b

点. 若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(
x2 y 2 ?1 A、 ? 45 36 x2 y 2 ?1 B、 ? 36 27


x2 y2 ?1 D、 ? 18 9

x2 y 2 5 4、已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b

1 A、 y ? ? x 4

1 B、 y ? ? x 3

1 C、 y ? ? x 2

D、 y ? ? x )

x2 y 2 ?1 C、 ? 27 18

5、执行下面的程序框图,如果输入的 t ?[?1,3] ,则输出的 s 属于( A、 [?3, 4] B、 [?5, 2] C、 [?4,3]

D、 [?2,5]

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 11、已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0



A、 (??,0]

B、 (??,1]

C、 [?2,1]

D、 [?2,0]

12、设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1, 2,3,? . 若 b1 ? c1 ,
b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn?1 ?

cn ? an b ?a , cn?1 ? n n ,则( 2 2



A、 {S n } 为递减数列 C、 {S2 n?1} 为递增数列, {S 2 n } 为递减数列 (第 5 题)
数学试卷?第 1 页(共 4 页)

B、 {S n } 为递增数列 D、 {S2 n?1} 为递减数列, {S 2 n } 为递增数列

(第 6 题)
数学试卷?第 2 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) ? ? ? ? ? ? ? 13、已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60? , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? ______;
2 1 14、若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an ? ,则 {an } 的通项公式是 an ? ______; 3 3

20、 (本小题满分 12 分)已知圆 M :( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N :( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P 、圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求 AB . 21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , g ( x) ? e x (cx ? d ) . 若曲线 y ? f ( x) 和 曲线 y ? g ( x) 都过点 (0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .

15、设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos? ? ______; 16、 若函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )( x 2 ? ax ? b) 的图象关于直线 x ? ?2 对称, f ( x) 的最大值为__. 则 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 如图, ?ABC 中,?ABC ? 90? ,AB ? 3 ,BC ? 1 ,P 为 ?ABC 在 内一点, ?BPC ? 90? . 1 (1)若 PB ? ,求 PA ; 2 (2)若 ?APB ? 150? ,求 tan ?PBA .

C P A
(第 17 题)

(1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,作答时请写清题号.

B

22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线, 切点为 B , C 在圆上,?ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , 点

? AB 18、 本小题满分 12 分) ( 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ? CB , ? AA1 , BAA1 ? 60? . CA

DB 垂直 BE 交圆于点 D .
(1)证明: DB ? DC ; (2)设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB
D

(1)证明: AB ? AC ; 1 (2)若平面 ABC ⊥平面 AA1 B1 B , AB ? CB , 求直线 AC 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 1

C

C1 B B1 A1
(第 18 题)

B F E C (第 22 题) A

于点 F ,求 ?BCF 外接圆的半径. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 4 ? 5cos t 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标 ? y ? 5 ? 5sin t

A

19、 (本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检测,检验方案是:先从这批产品中任 取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n . 如果 n ? 3 ,再从这批产品中任取 4 件检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n ? 4 ,再从这批产品中任取 1 件作 检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假 1 设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产品 2 是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望.
数学试卷?第 3 页(共 4 页)

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . 24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; a 1 (2)设 a ? ?1 时,且当 x ? [? , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2
数学试卷?第 4 页(共 4 页)


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