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2007年全国高中数学联赛(广西赛区)预赛试卷


2007 年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
(9 月 23 日上午 8:30~10:30) 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1、若点 P(x,y)在直线 x+3y=3 上移动,则函数 f(x,y)= 3 ? 9 的最小值等于(
x y


1

27 (A) 5( ) 5 4
2、满足

y ?

1

27 (B) 7( ) 7 9

1

16 (C) 7( ) 7 9


1

5 (D) 3( ) 3 2

( x ? 3 ? x ? 2007的正整数数对(x,y)

(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在 3、设集合 M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M ? N 使对任意的 x∈M,都有

x ? f ( x) ? xf ( x) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是(
(A)45 (B)27

) (D)11 )

(C)15

x2 y2 4、设方程 ? ? 1 所表示的曲线是( sin(192007 ) ? cos(192007 ) ?

(A)双曲线 (B)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确 5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是 偶数,则称这个数为“奇和数” 。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200 6、设 a1 ? 6 , an?1 ? [ an ?

5 4

3 2 an ? 2 ]( n ? N ? ) ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数。则 4
) (C)3 (D)4

a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2007 的个位数字为(
(A)1 (B)2 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

1、已知三个正整数 x,y,z 的最小公倍数是 300,并且 ? 解(x,y,z)= 。
2 2

? x ? 3 y ? 2z ? 0 ,则方程组的 2 2 2 ?2 x ? 3 y ? z ? 0

2、已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面 上对应的点共圆,则 m 的取值范围是
? ? ? ? ? ?


? ? ? ?
? ?

3、设平面上的向量 a , b , x , y 满足关系 a ? x ? y, b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互 相垂直,则 x 与 y 的夹角为
?

?



4、设函数 f 0 ( x) ?| x |, f1 ( x) ?| f 0 ( x) ? 1 |, f 2 ( x) ?| f1 ( x) ? 1 | ,则函数 f 2 ( x) 的图象与 x 轴

所围成图形中的封闭部分的面积是 。 5、已知单位正方体 ABCD—EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q、P。若△PQG 与△ BDE 相截得到的线段 MN 长度为 y,设 AQ=x(0≤x≤1) ,则 y 的最小值写成关于 x 的函数 关系式是 。 6、 设 a1, a2, ?, a2007 均为正实数, 且 的最小值是 。

1 1 1 1 则 a1a2 ? ? ? a2 ? ? ??? ? ? , 0 7 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2007 2

三、 (20 分)已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且满足 abc= 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1). (1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,b>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。 四、 (20 分)已知⊙O1 与⊙O2 相交于两不同点 A、B,点 P、E 在⊙O1 上,点 Q、F 在⊙O2 上,且满足:EF 为两圆的公切线,PQ∥EF,PE 与 QF 相交于点 R。证明:∠PBR=∠QBR。

五、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 过定点 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的交点为 a 2 b2
2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

B、C。现有以 A 为焦点,过点 B、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M(m,0) 。 当椭圆的离心率 e 满足


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