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理科数学江西省上饶市2015届高三第三次模拟考试


江西省上饶市 2015 届高三第三次模拟考试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名 ?准 考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ

卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.

第Ⅰ卷
一?选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的一项. 1.已知全集为 R, A ? ? x A. (??, 0] C. (??, ?1)

? x ?1 ? ? 0 ? , B ? ? x | x ? 0? ,则 CR ( A B) ? ? x ?1 ?
B. (??, 0][1, ??) D. (??, ?1]

(1, ??)

2.已知 i 是虚数单位,若(-1-2i)z=1-i 则 z 在复平面上所代表的点在 A.第一象限 .第二象限 .第三象限 3.给出以下四个说法: ①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距; ②线性回归直线一定经过样本中心点 x, y ; ③设随机变量ξ 服从正态分布 N(1,32)则 p(ξ <1)= .第四象限

1 ; 2

④对分类变量 X 与 Y 它们的随机变量 K2 的观测值 k 越大,则判断 “与 X 与 Y 有关系” 的把握程 度越小.

3
其中正确的说法的个数是 A.1 B.2 4.已知点 M(-6,5)在双曲线 C : 方程为 A. y ? ? C.3 D.4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,双曲线 C 的焦距为 12,则它的渐近线 a 2 b2

5 x 2

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

2 x 3

D. y ? ?

3 x 2

5.如图,在网格状小地图中,一机器人从 A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走 1 格到相应顶点,已知 向上的概率是

2 1 ,向右的概率是 ,问 6 秒后到达 3 3 80 243 20 D. 243
B.

B(4,2)点的概率为

16 729 4 C. 729
A.

?2 22 6.若{ an }为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S n ? ,则 ? ,{bn } 为等比数列, b5 .b7 ? 4 3
A.

3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

7.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) cos x ,则下列说法正确的为 A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2π B. f ( x) 的最大值为 2 C. f ( x) 的图象关于直线 x ? ? D.将 f ( x) 的图象向右平移
2

?
8

对称

?
8

,再向下平移

1 个单位长度后会得到一个奇函数的图象 2

8.已知抛物线 y ? 8 x, P 为其上一点,点 N(5,0),点 M 满足 | MN |? 1, MN .MP ? 0 ,则 | MP | 的最 小值为 A. 3
n

B.4

C. 23

D. 2 6

9.设函数 f ( x) ? (2 x ? a ) ,其中 n ? 6 为 A.-240

?

?

2 0

cos xdx,

f '(0) ? ?12 ,则 f ( x) 的展开式中 x4 的系数 f (0)
C.-60 D.60

B.240

10.P ? Q 为三角形 ABC 中不同的两点 , 若 3 PA ? 2 PB ? PC ? 0,3QA ? 4QB ? 5QC ? 0 , 则

S

PAB

:S

QAB



A.1∶2 B.2∶5 C.5∶2 D.2∶1 11.从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60°角,且分别与球 O 相切于 A,B,C 三点,若,则球的 体积为 A.

?
3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

8? 3

12. 定 义 : 如 果 函 数

f ( x) 在 [a,b] 上 存 在 x1 , x2 ( a ? x1 ? x2 ? b) 满 足

f '( x1 ) ?
知函数

f (b) ? f (a ) f (b) ? f (a ) , f '( x2 ) ,则称函数 f ( x) 是[a,b]上的“双中值函数”.已 b?a b?a

f ( x) ? x3 ? x 2 ? a 是
A. ( , )

1 1 3 2

B.(0,1)

C.(

1 ,1) 3

D.(

1 ,1) 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二?本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡上.

? x ? y ? 10 ? 13.设实数 x?y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? 4 ?
14.执行右边的程序框图,如果 a1 , a2 ,

.

, a10 输入的依次为 1,2,3,4,5,5,4,3,2,1,则输出的 S 为
.

15.若函数 f ( x) ?|1nx | ?mx 恰有 3 个零点,则犿的取值范围为

16.如图,在△ABC 中, AB= 2 ,点 D 在边 BC 上,BD=2DC, cos ?DAC ?

3 10 2 5 ,则 , cos ?C ? 10 5

. 三?解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案做 在答题卡上. 17.(本题满分 12 分)已知数列{ an }的首项 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 . (1)求证: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 S n .

AC =

18.(本题满分 12 分)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计,随机抽取 M 名学生作 为样本,得到这 M 名学生参加社会实践的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和 频率分布直方图如下:

(1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社会实践的次数不少于 20 次的学生中任选 3 人,记参加社会实践次 数在区间[25,30)内的人数为 X,求 X 的分布列和期望.

19.(本题满分 12 分)如图,已知四边形 ABCD 满足

AD BC , BA ? AD ? DC ?

1 BC ? a, E 是 2

BC 的中点,将△BAE 沿 AE 折成 B1 AE ,使面

B1 AE ? 面AECD, F 为B1 D 的中点.
(1)证明: AE ? B1 D ; (2)求二面角 F—AC—B1 的余弦值.

20.(本题满分 12 分)已知圆 A : ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

49 1 ,圆 B : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ,动圆 D 和定圆 A 相内 4 4

切,与定圆 B 相外切, (1)记动圆圆心 D 的轨迹为曲线 C,求 C 的方程;

(2)M?N 是曲线 C 和 x 轴的两个交点,P 是曲线 C 上异于 M?N 的一点,求证 k PM .k PN 为定值; (3)过 B 点作两条互相垂直的直线 l1 , l2 分别交曲线 C 于 E?F?G?H,求四边形 EGFH 面积的取值范围.

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (mx ? 1)(1nx ? 3) . (1)若 m ? 1, 求曲线y ? f ( x)在x ? 1 的切线方程; (2) 设点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 满足 1nx1.1nx2 ? 31n( x1.x2 ) ? 8, ( x1 ? x2 ) , 判断是否存在点 P(m,0),使得∠APB 为直角?说明理由; (3)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

选考题:请考生在第 22?23 题中任选一题作答?若多做,则按所做的第一题计分?(本小题 10 分)

22.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程:已知直角坐标系 xOy 和极坐标系 Ox 的原点与 极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos ? , (? ? ? y ? sin ?
为参数). (1)在极坐标系下,若曲线犆与射线 ? ?

1 1 和射线 ? ? ? 分别交于 A,B 两点,求Δ AOB 的面积; 4 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)在直角坐标系下,给出直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),求曲线 C 与直线 l 的交点 2 ?y ? t ? ? 2
坐标.

23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲:已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? x ? 2 x 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2 2

参考答案
一、选择题 ADBAD CDCBB CD 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡上. 13. 26 14 . 3
? 1? 15. ? 0, ? ? e?

5 16.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.请把答案做在答题卡上. 17.解: (1) ∵ a n ?1 ? 2a n ? 1 ,
则 ∴ a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ---------------------------5 分

an ?1 ? 1 ? 2 为常数,∴ ?a n ? 1?是等比数列 an ? 1

(2)∵ a1 ? 1

可得 a n ? 1 ? 2 n ,∴ a n ? 2 n ? 1 , -----------------------6 分

则 nan ? n ? 2 n - n ,

设Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? Tn ? ?2 ? 22 ? 23 ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ?? ? S n ? (n ? 1)2n ?1 ?

? n ? 2n,则 ? n ? 2n ?1 ? 2n ? n ? 2n ?1

n2 ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 2

18. 解: (1)可得 M=80,p=0.1,a=0.12。----------5 分 (2)X 的取值为 0,1,2,3.------------6 分

P? X ? 0? ? P? X ? 1? ?

C83 56 14 -----------------------------------------------------7 分 ? ? 3 C12 220 55
1 C82C4 112 28 ---------------------------------------------------8 分 ? ? 3 C12 220 55

1 2 C8 C 48 12 P? X ? 2? ? 3 4 ? ? ----------------------------------------------------9 分 C12 220 55

P? X ? 3? ?

3 C4 4 1 ? ? ---------------------------------------------------10 分 3 C12 220 55

分布列如下:

X

0
14 55

1
28 55

2
12 55

3
1 55

可得 EX=1-------------------------------------12 分 19. 解: (1)取 AE 的中点 M, 连接 MB1 , MD, 则 AE ? MB1 , AE ? MD , 所以 AE ? 面MDB1 ,则 AE ? B1 D --------------------4 分 (2) 分 别 以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

a 3 E ( ,0,0) , C (a , a ,0) 2 2

? 3 3 ? a 3 3 A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a ) , F ? 0, a, a ? , ? 4 2 2 2 4 ? ? ? ? a 3a 3a ? ? 3a 3 ? ?a 3a ? ?, ? , a, ?, ? , ?, AF ? ? , , AC ? 0 AB ? 0 , 1 ?2 4 ? ? 2 2 ? ?2 ? 4 2 ? ? ? ? ? ?
设面 ACF 的法向量为 u ? ( x , y, z) ,

?3 ax ? ? ?u ? AC ? 0 ? ?2 由? 有? ? ?u ? AF ? 0 ? a x ? ? ?2

3 ay ? 0 2 3a 3a y? z ?0 4 4

令 x=1, u ? ?1, - 3,

? ? ?

3? ? -------7 分 3 ? ?

? 3a x ? ? ?u ? AC ? 0 ? ?2 2 设面 B1 AC 的法向量为 v ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,由 ? 有? ? ?u ? AB1 ? 0 ? a x ? 2 ? ?2

3a y2 ? 0 2 3a z2 ? 0 2

令x 2 ? 1 , v ? (1,? 3 ,?

3 ) , 3

--------------------------------9 分

所以 cos ? u , v ??

1? 3 ?

1 3

1 1 1? 3 ? ? 1? 3 ? 3 3

?

11 , 13
11 . 13

二面角 F-AC- B1 为锐角,故二面角 F-AC- B1 的余弦值为

-------------12 分

20. 解: (1)设动圆圆心 M ? x,y ? ,半径为 r,由动圆 M 和定圆 A 相内切,与定圆 B 相外切, 可得 MA ?

7 1 - r,MB ? r ? ,所以 MA ? MB ? 4 ,------------------------------------2 分 2 2

则 M 是以 AB 为焦点的椭圆, a ? 2,c ? 1,b ? 3 ,所以曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 。--3 分 4 3
2 2

( 2 ) 由 题 意 可 得 , M ?- 2,0 ?,N ?2,0 ? , 设 P? x0,y0 ? , 则 有

x0 y ? 0 ?1 , 那 么 4 3

k PM

y y y 3 ? k PN = 0 ? 0 ? 20 ? x0 ? 2 x0 - 2 x0 - 4 4

2

---------6 分

(3) ( Ⅰ ) 当 l1、l2 中 有 一 条 斜 率 不 存 在 时 , 不 妨 设 l1 ? x轴,则l2与x轴重合。 则

EF ? 3,MN ? 4 ,所以 S四边形EGFH ?

1 EF ? GH ? 6 。--------------------------7 分 2 1 ,设 k

( Ⅱ )当 l1、l2 的 斜 率 均存 在时 , 不妨 设 l1 的 斜 率为 k ?k ? 0 ? , 则 l2 的 斜率 为 -

E ? x1,y1 ?,F ? x2,y2 ?,G ? x3,y3 ?,H ? x4,y4 ? ,因为 B ?1,0 ? ,所以联立直线方程和椭圆方
?l1:y ? k ? x - 1? ? 2 ? 3 ? 4k 2 x 2 - 8k 2 x ? 4k 2 - 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4







?

?





x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 - 12 ,----------------------------------------------8 分 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 EF ? 1 ? k 2 | x1 - x2 |? 8 4 - 12k 2 , x x ? 3 4 3k 2 ? 4 3k 2 ? 4 12 1 ? k 2 3 ? 4k 2





?

?



k





-

1 k






x3 ? x4 ?



MN ?

12 k 2 ? 1 3k 2 ? 4

?

?



S四边形EGFH ?


2 1 72 ( 1 ? k 2) EF ? GH ? ,-----------------10 分 2 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4

?

??

?

t ? 1? k 2





t ?1







S四边形EFGH ?

72t 2 72t 2 72 72 ? ? ? 2 1 1 ?4t - 1??3t ? 1? 12t ? t - 1 - ? ? 12 ? 1 1 ? 2 49 -? - ? ? t2 t 4 ?t 2?

当 t=2,即 k ? ?1 时, S四边形EGFH 取最小值

288 ,当 t ? ?? 时, S四边形EGFH ? 6 49

综上所述,四边形 EGFH 面积的取值范围为 ?

? 288 ? ,6 。----------------------12 分 ? 49 ? ?

21. 解 析 : ( 1 ) f ' ? x ? ? ?lnx - 3? ? ? x ? 1? ? ,则f ' ?1? ? -1 , f ?1? ? -6 , 所 以 切 线 方 程 为

1 x

x ? y ? 5 ? 0;
(2)依题意得 PA ? ? x1 - m,f ? x1 ??, PB ? ? x2 - m,f ? x2 ??,

-------3 分

? ? x1 - m ?? x2 - m ? ? ?mx1 ? 1??lnx1 - 3??mx2 ? 1??lnx2 - 3? ? x1 x2 - m? x1 ? x2 ? ? m ? 1? m
分 (3) f ' ? x ? ? m?lnx - 3? ? ?mx ? 1? ?
2

PA ? PB ? ? x1 - m ?? x2 - m ? ? f ? x1 ? f ? x2 ?

? x1 x2 - m? x1 ? x2 ? ? m 2 ? m 2 x1 x2 ? m? x1 ? x2 ? ? 1 ?lnx1lnx2 - ( 3 lnx1 ? lnx2) ? 9?
2

?

2

??x x

1 2

? 1? ? 0

? ? ?m x x

1 2

? ? m? x ? x ? ? 1?
1 2

? 不存在实数 m ,使得 ?APB 为直角.

------------------7

1 mx?lnx - 3? ? mx ? 1 mx?lnx - 2 ? ? 1 , ? ? x x x
'

? ? ? 上恒成立,有 mx?lnx - 2 ? ? 1 ? 0 在 若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,则 f ? x ? ? 0 在 ?0,

?0, ? ? ? 上恒成立,
? ? ? 是增函数, 设 h? x ? ? x?lnx - 2 ? , h ? x ? ? lnx - 1 , h? x ? 在 ?0,e ? 是减函数,在 ?e,
'

? ? ? ,即 mt ? 1 ? 0 在 ?- e, ? ? ? 上恒成立。 所以 h? x ? 的值域为 ?- e,
有?

?m ? 0 1 ,解得 0 ? m ? e ?- em ? 1 ? 0

――――――12 分

x2 22. 解: ( 1 )曲线 C 在直角坐标系下的普通方程为 ? y 2 ? 1 ,将其化为极坐标方程为 4 ? 2 cos 2 ? 8 ? ? ? ? 2 sin 2 ? ? 1 分别代入 θ = 和 θ =- ,得|OA|2=|OB|2= , 4 5 ? ?
因∠AOB=

?
?

,故△AOB 的面积 S=

4 ? |OA||OB|= . 5 ?

5分

1 4 ? 2 2t ? t 2 2 ? 1 t 2 ? 1即 2 t ? 5 t 2 ? 0 , (2) 将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程, 得 4 2 2 8
解得t ? 0或t ? 4 2 6 4 ,代入 l 的参数方程,得 x=2,y=0,或 x ? ,y ? 5 5 5
?6 ?5 4? 5?

所以曲线 C 与直线 l 的交点坐标为(2,0)或 ? , - ?

??? 10 分

23. (10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)原不等式等价于 ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? ? ?? 2 x ? 3 ?2 ? 3 ?2 x ? 3 3 3 ∴不等式的解集为 {x | x ? ? 或 x ? } . 2 2 (2)令 g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | ? x 2 ? 2 x ,

3 3 解得: x ? ? 或 x ? , 2 2

??????5 分

? x2 ? 4x ( x ? ?1) ? 2 则 g (x)= ? x ? 2 x ? 2 (?1 ? x ? 1) ? x2 ( x ? 1) ? 当 x∈(-∞,1]时,g (x)单调递减,当 x∈[1,+∞)时,g (x)单调递增, 所 以 当 x = 1 时 , g (x) 的 最 小 值 为 1 ………8 分



因为不等式 f ( x) ? a 2 ? x 2 ? 2 x 在 R 上恒成立 ∴ a 2 ? 1 ,解得 ? 1 ? a ? 1 ,∴实数 a 的取值范围是 ? 1 ? a ? 1 . 分 ????10


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