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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)


2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)


命题:沈阳市第 31 中学 李曙光 沈阳铁路实验中学 倪生利

学 (理科 )
何运亮 朱洪文 东北育才学校 牟 欣 东北育才学校 刘新风

沈阳市第 20 中学 沈阳市第 11 中学

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1,2,3? , B A.2 则集合 B 的子集的个数为 ( A ? ?3? , B A ? ?1, 2,3, 4? , B .3 C .4 D .8 ) )

2.已知复数 z ? 1 ? i (为虚数单位) ,且 A. ?1 3.下列说法正确 的是( .. B. ? )

1 2

1 ? ai ? a ? R ? 是纯虚数,则实数 a 的值为( z 1 C. D. 2

x x A.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”

B.命题“已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C. “ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立”?“ ( x 2 ? 2 x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

4. 在一个几何体的三视图中, 主视图和俯视图都是矩形 ,左视图为等腰三角形 ,各边的数据 如图所示,则该几何体的表面积为( A.3 C. 6 ? 6 2 B.14 D. 8 ? 6 2
主视图 左 视图



? x ? y ?1 ? 0 ? 5. 已知 x, y 满足线性约束条件: ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? y ? 3x 的取值范围是 ? x ?1 ? 0 ?
俯视图





A. ( ?1, ? )

1 3

B . (?3, ]

1 3

C. (?3, ?1) )

D. (?1, ]

1 3

6.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S5 ? S10 ,则 a8 ? ( A. B. ?1 C. 2 )

D. 0

7. 如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.1028 C.3586 B.3584 D.8194

i ?1

S ?0
开 始 i ? i ?1

i ?? 8 S ? i ? 2i S

8.圆 C 的圆心为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一个顶点,且过该双曲线的另外一个顶点,则圆 C 被该 双曲线的一条渐近线截得的弦长为( ) A. 2 B.

6

C.

14 2

D.

14

9.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ;向乙靶射击两次,每次

4

命中的概率为 2 .该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击,该

3

射手恰好命中一次的概率为( A.

) C.

5 36

B.

29 36

7 36

D.

1 3

10.对于函数 f ( x) ?

3 ?? ? sin 2 x ? sin 2 x ( x? R ) 有以下三种说法:① ? , 0 ? 是函数 f ? x ? 2 ? 12 ? ? ? ?? 上 , ? 6 3? ?

的图象的一个对称中心; ②函数 f ? x ? 的最小正周期是 2? ; ③函数 f ? x ? 在 ? ? 单调递增.其中说法正确 的个数是( .. A. 0 B. ) C. 2 D.3

11.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,球 O 的直径是 AD ,且 ?ABC 、?BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是( A. ) D.
n

2 12

B.

1 8

C.

1 6

2 8
m

12. 已知 m, n 是正实数,且 n ? m ,若 P ? ?1 ? m ? , Q ? ?1 ? n ? ,则(



A. P ? Q

B. P ? Q

C. P ? Q

D. P 、 Q 大小关系无法确定

第Ⅱ卷 (共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13. 已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1,且 a ? b ? 0 ,则 cos ? 2a ? b, b ?? .

14. 已知 P1 、 ?、 它们的横坐标依次为 x1 、 ?、 P2 、 x2 、 P2013 是抛物线 y 2 ? 4x 上的点, x2013 ,

F 是抛物线的焦点,若 x1 ? x2 ?

?P ? x2013 ? 10 ,则 PF 1 2F ?

?P 2013 F ? ___.

15. 已知数列 ?an ? 为等比数列,前 n 项和为 S n ,且 a52 ? a10 ,3S1 、2 S 2 、S3 成等差数列, 则数列 ?an ? 的通项公式 an = ____________. 16. 第十二届全运会将在沈阳市举行. 若将 6 名志愿者每 2 人一组,分派到 3 个不同的场 馆,且甲、乙两人必须同组,则不同的分配方案有_______种. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应 位置. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 已知 B ? 求角 A .

?
12

,c ? b(1 ? 2 cos A) ,

18. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DA ? DC ? 2 , DD1 ? 3 ,点 E 是 C1D1 的中 点,点 F 是 CE 的中点. (1)求证: EA // 平面 BDF ; (2)求二面角 D ? EB ? C 的大小.
C1
F D

D1
E

A1

B1

A

C

B

19. (本小题满分 12 分) 某校高三有甲、乙两个数学学习小组,人员分布情况见下表.现在甲、乙两组之间采用 分层抽样方法(组内采用简单随机抽样) ,从甲、乙两个小组中共抽取 3 名同学参加高中数 学联赛. (1)求从甲、乙两个数学学习小组中各抽取的人数; (2)求从甲组中抽取的同学中至少有 1 名是女同学的概率; (3) 记 X 表示抽取的 3 名同学中男同学的人数, 求 X 的分布列及数学期望. 数学小组 甲组 乙组 男同学 6 3 女同学 4 2

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图所示,已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? , a b

P 为椭圆上一点, Q 为上顶点, F1 M ? 2MP , PO ? F2 M ? 0 .
(1)当椭圆离心率 e ?

3 1 时,若直线过点(0, ? ) 7 2

且与椭圆交于 A, B (不同于 Q )两点,求证: ?AQB ? (2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

?
2


第 20 题图

21. (本小题满分 12 分)

3b ln( 2ax ? ab ? 3) ( a, b ? R ). 2a ( 1)若 b ? 1, a ? 0 , 求 f ( x) 的单调区间; 3 ( 2)在 (1)的条件下,证明: f ( x ) ? ? . 2
设 f ( x) ? x 2 ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时请写清题号. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 O ,且 AB 是 O 的直径,过点 D 的 O 的切线与 BA 的 延长线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程 为

? ? 2 ?sin? ? cos? ? ,直线的参数方程为: ?

?x ? 2 ? t (为参数) . ? y ? ?1 ? 2t

(1)写出圆 C 和直线的普通方程; (2)点 P 为圆 C 上动点,求点 P 到直线的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ? x ? a , a ? R , a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,解不等式: f ( x) ? 2 ; (2)若 b ? R 且 b ? 0 ,证明: f (b) ? f (a) ,并求在等号成立时

b 的取值范围. a

2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学(理科)参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、 选择题 参考答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

5 5

14. 2023

15. an ? 3

n

16.18

三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: 由正弦定理

b c = 及 c ? b (1 ? 2 cos A) 可知, sin C ? sin B ? (1 ? 2cos A) , sin B sin C

??????????????????????????????3 分 又在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin C ? sin( B ? A) ? sin A cos B ? sin B cos A , 从而 sin A cos B ? cos A sin B ? sin B , 所以 sin( A ? B) ? sin B , 所以 A ? 2B ,又 B ? ?????????????????????????9 分 即 A ? B ? B 或 A ? B ? ? ? B (舍), ?????????????6 分

?

12

,所以 A ?

?

6

.

???????????????????12 分

18.解: (1) (方法一) 连接 AC 交 BD 于 O 点, 连接 OF , 可得 OF 是 ?ACE 的中 位线,所以 OF // AE , 又 AE ? 平面 BDF , OF ? 平面 BDF ,所以 EA // 平面

BDF .
????????????????????????????????????4 分 (方法二) 如图所示建立空间直角坐标系 D ? xyz . 由已知得

?3 3? , ?????2 分 D ? 0, 0, 0 ? , A ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , C ? 2, 0, 0 ? , E 1, 0, 3 , F ? , 0, ? ?2 ? 2 ? ?

?

?

?3 3? EA ? ?1, 2, ? 3 , DB ? ? 2, 2, 0 ? , DF ? ? , 0, ?, ?2 2 ? ? ?

?

?

CB ? ? 0, 2, 0 ? , CE ? ?1, 0, 3 , DE ? 1, 0, 3 .
令 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 BDF 的一个法向量,则有

?

?

?

?

?2 x1 ? 2 y1 ? 0 ? ?n1 ? DB ? 0 ? , 令 z1 ? 3, 则 ,? ? 3 ? 3 x ? z ? 0 ?n1 ? DF ? 0 ? 1 1 ? ?2 2
n1 ? ?1,1, 3 .
从而 EA ? n1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 0 ,又 EA 不在平面 BDF ,所以 EA // 平面 BDF .????4 分 (2)令 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? 为平面 BCE 的一个法向量,则有

?

?

? ?2 y2 ? 0 ?n2 ? CB ? 0 ? ,? ? ,令 z2 ? 3, 则 n2 ? 3, 0, 3 . ????????8 分 ? ? x ? 3 z ? 0 n ? CE ? 0 ? ? 2 ? 2 2 ?

?

?

令 n3 ? ? x3 , y3 , z3 ? 为平面 BDE 的一个法向量,则有

? ?n3 ? DB ? 0 ? ?2 x3 ? 2 y3 ? 0 ,? ? ,令 z3 ? 3, 则 n3 ? ?3,3, 3 .????????10 分 ? x ? 3 z ? 0 n ? DE ? 0 ? ? 3 3 ? ? 3

?

?

令二面角 D ? EB ? C 的平面角为 ? ,观察知 ? 为锐角,

cos ? ?

n2 ? n3 n2 n3

?

7 7 ,所以 ? ? arccos . 7 7

??????????????12 分

19.解: (1)从甲组中应抽取的同学人数为

3 ? 10 ? 2 , 15

从乙组中应抽取的同学人数为

3 ? 5 ? 1 ; ????????????2 分 15

(2)从甲组中抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率

P ? 1?

2 1 1 2 C4 C6 ? C4 C6 2 2 (或 P ? ? ). ???????????????5 分 ? 2 2 C10 3 C10 3

(3) X 的可能取值为 0,1,2,3 , ??????????????????6 分
1 1 1 2 1 1 2 C4 C6 C2 C3 C4 C2 C4 4 22 , , P( X ? 0) ? 2 ? 1 ? P( X ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 2 1 C6 C3 34 1 , ? ? ,P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ? 2 1 75 C10 C5 5

P( X ? 3) ?

2 1 1 1 1 C6 C6 C4 C3 C2 34 (或 P( X ? 2) ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ). 2 C10 C5 C10 C5 75

??????????????8 分

∴ X 的分布列为:

X
P? X ?

0

1

2

3

?????? 10 分

4 22 34 1 9 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? . ??????????????12 分 75 75 75 5 5 c 1 20.解: (1) c ? 1, e ? ? , 得 a ? 2,? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a 2 EX ? 0 ?
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ?????????????????????4 分 4 3
3 ,代入椭圆方程,得 7

依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ?

?3+4k ? x
2

2

?

8 3 576 kx ? ? 0 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 7 49

则 x1 ? x2 ?

7 ? 3 ? 4k

8 3k

2

?

, x1 x2 ?

49 ? 3 ? 4k 2 ?

?576

.

????????????????6 分

因为 Q 0, 3 ,? QA ? QB ? x1 , y1 ? 3 ? x2 , y2 ? 3 ? ? x1 , kx1 ? ?

?

?

?

??

?

? ?

8 3? ? 8 3? ? x , kx ? ? ? ? 2 2 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ?
?

8 3 192 ?576 8 3 8 3k 192 k ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 2 2 7 49 7 49 ? 3 ? 4k ? 7 ? 3 ? 4k ? 49
?0,

?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 49 ? 3 ? 4k 2 ?
.

所以 ?AQB ?

?
2

???????????????????????????8 分

(2)因为 PO ?

1 1 PF1 ? PF2 , F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 2 3

?

?

因为 PO ? F2 M ? 0 , 所以

1 PF1 ? PF2 2
2

?

1 ? ??? ? PF ? PF ? ? 0 , ?3 ?
1 2
2

化简得 PF1 ? 2 PF1 · PF2 - 3PF2 ? 0 , 即, PF1
2

? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 3 PF2 ? 0 , ?????????????10 分

2

在 ?F1 PF2 中,由余弦定理, 有 PF1
2

? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 4c2 ,
2

2

所以 4 PF2

? 4c2 , PF2 ? c ,

又因为 a ? c ? PF2 ? a ? c,? a ? 2c , 即e ? 21.解: (1) f ( x) ? x ?
2

c 1 ?1 ? ? , 0 ? e ? 1? e ? ? ,1? . ???????????????????12 分 a 2 ?2 ?
3 ln(2ax ? a ? 3) , 2a

所以 f ?( x) ? 2 x ?

4ax 2 ? 2(a ? 3) x ? 3 (2ax ? 3)(2 x ? 1) 3 ? ? . 2ax ? a ? 3 2ax ? a ? 3 2ax ? a ? 3
a?3 1 3 ? ? (因 a ? 0 ), ???????5 分 2a 2 2a

令 f ?( x) ? 0 ,由 2ax ? a ? 3 ? 0 ,即 x ? 所以 (2ax ? 3)(2 x ? 1) ? 0 ,

3 1 3 3 a?3 ?x? ? , ) . ??????????7 分 ,从而 f ( x) 的单调增区间为 ( 2a 2 2a 2a 2a 3 ] . ??????????????????8 分 同理, f ( x) 的单调减区间为 ( ?? , 2a


(2)由(1)知 f ( x ) min ? f (

3 9 3 )? 2? ln( ? a ) . ?????????????9 分 2a 4a 2a

考虑函数 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , 因为 g ?( x ) ? 1 ?

1 x ?1 , ? x x

令 g ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 , 所以 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增 ,同理 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,

g ( x)min ? g (1) ? 0 ,
所以 g ( x) ? g ( x)min ? 0 . 从而 x ? 1 ? ln x , ???????????????????????????10 分

于是 ln(?a) ? ?a ? 1,

3 9 3( a ? 1) 9 3 3 )? 2? ? 2? ? . ?????????????11 分 2a 4a 2a 4a 2a 2 3 又因为 a ? 0 ,所以 f ( x ) min ? ? . 2 3 综上, f ( x ) ? ? . ???????????????????????????12 分 2 f ( x ) min ? f (
( 22.解:(1) 因为 MD 为 O 的切线,由切割线定理知 , MD2 =MAMB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , 所以 MA=3,AB=12-3=9. ??????????????????2 分

?????????????????????????5 分

(2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM, 连接 DB,又 MD 为 O 的切线,由弦切角定理知, ∠ADM=∠ABD, ?????????????????????????????7 分

又因为 AB 是 O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90 °-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. ??????????8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠ DCB=180°,所以∠DCB=120°????10 分 23.解: (1)由已知 ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? 得 ? ? 2 ? ? sin ? ? ? cos? ? ,
2
2 2 所以 x ? y ? 2 y ? 2 x ,即圆 C 的普通方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 . ????3 分
2 2

由?

?x ? 2 ? t ,得 y ? ?1 ? 2( x ? 2) ,所以直线的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 . ?6 分 ? y ? ?1 ? 2t

(2)方法一:由圆的几何性质知点 P 到直线的距离的最小值为圆心 C 到直线的距离减去圆 的半径,令圆心 C 到直线的距离为 d ,则 d ?

2 ? ? ?1? ? 1 ? 5 22 ? 1

?

8 5 ,???9 分 5

所以最小值

8 5 ? 2 .??????????????????????????10 分 5

方法二:令 P ?1 ?

?

2 cos ? ,1 ? 2 sin ? ,??????????????????7 分

?

设点 P 到直线的距离为 d .

d?

2 ? ?1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 5 22 ? 1
10 cos ?? ? ? ? ? 8 5 ? 8 ? 10 5 ?

?

? ?

?

?

2 2 cos ? ? 2 sin ? ? 8 5

?

8 5 ? 2 .???????????????10 分 5

24.解: (1 )因为 a ? 1 , 所以原不等式为 x ? 2 ? x ?1 ? 2 .

1 ; ???????????????2 分 2 当 1 ? x ? 2 时, 原不等式化简为 1 ? 2 ,即 x ?? ; 5 当 x ? 2 时, 原不等式化简为 2 x ? 3 ? 2 ,即 x ? . 2
当 x ? 1 时, 原不等式化简为 1 ? 2 x ? 0 ,即 x ? 综上,原不等式的解集为 ? x | x ? (2)由题 f (a) ? a ,

? ?

1 5? 或x ? ? . ????????????????5 分 2 2?

f (b) ? b ? 2a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? a ,所以 f (b) ? f (a) ,8 分
又等号成立当且仅当 2a ? b 与 b ? a 同号或它们至少有一个为零,
2 2 从而 (2a ? b)(b ? a) ? 0 . 即 3ab ? 2a ? b ? 0 ,

即( ) ?
2

b a

b 3b ? 2 ? 0 ,从而 1 ? ? 2 . ????????????????????10 分 a a


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