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高一15点线面之间的关系






第十五讲 点线面之间的位置关系
【知识要点】
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理 2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公 共直线 推论 1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 平行直线①定义:同一平面内,两条不相交的直线称为平行直线②公理 4:平行于同一条 直线的两条直线互相平行. 异面直线①定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,其特点是即不相交 也不平行②两条异面直线所成的角:对于两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线
a'//a , b'//b ,则 a' 与 b' 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角③两条异面

直线的距离:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 2、直线和平面平行 (1)判定:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行 (2)性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线就和交线平行 (3)过平面外一点有无数条直线与此平面平行;过直线外一点有无数个平面与此直线平 行,有且只有一个平面过此点 3、直线和平面垂直 (1)判定:①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.②如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另 一条也垂直于同一个平面 (2)性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 (3)距离:①从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到 这个平面的距离.②一条直线和一个平面平行,这直线上任意一点到平面的距离,叫做 这条直线到平面的距离。(4)过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直;过空间一 点有且只有一个平面与一条直线垂直 4、几个重要概念 (1)射影:①自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射 影。这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段②过斜线上斜足以外的一点向 平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。斜线上任意一点在平 面上的射影,一定在斜线的射影上
1





(2)直线和平面所成的角:①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这 条直线和这个平面所成的角②一条直线和直线垂直,它们所成的角是直角;一条直线和 平面平行或在平面内,它们所成的角 0?的角③斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面 内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角④若一直线与平面所成的角为?,则??[0?, 90?] 5、两个重要定理 (1)射影定理:从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段中,① 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;②相等的斜线段的射影相等, 较长的斜线段的射影也较长;③垂线段比任何一条斜线段都短.( 2)三垂线定理 ①三 垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和 这条直线垂直.②三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直

经典例题
例 1、已知: A ? l , B ? l , C ? l , D ? l ,求证:直线 AD,BD,CD 共面。

例 2、已知三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与平面 α 分别交于 P、Q、R 求证:P、Q、R 共线

例 3、如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 (1)求异面直线 A1C 与 BCl 所成的角 (2)试求 BCl 与平面 AA1C1C 所成的角.

D1 C1 A1 B1

D A B

C

例 4、四棱锥 A—DBCE 中,O 为底面正方形 DBCE 对角线的交点,F 为 AE 的中点求证:AB//平 面 DCF

2





例 5、已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平面 PAB

例 6、AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,平面 PAC⊥平面 ABC (1)判断 BC 与平面 PAC 的位置关系,并证明 (2)判断平面 PBC 与平面 PAC 的位置关系

经典练习
1、 a // b ,且 a 与平面 ? 相交,那么直线 b 与平面 ? 的位置关系是( A.必相交 A.相交 A. b // ? A. b // ? A.相交 B.有可能平行 C.相交或平行 2、如果两直线 a // b ,且 a // 平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( B. b // ? B. b ? ? C. b ? ? D. b // ? 或 b ? ? D.以上都有可能 ) D.不能确定 ) ) ) D.相交或在平面内

3、已知直线 a 与直线 b 垂直, a 平行于平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( ) C. b 与平面 ? 相交 C. b ? ? 4、若直线 a 与直线 b 是异面直线,且 a // 平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( B. b 与平面 ? 相交 B.平行 C.异面 ) B. c 与 a , b 相交 D. c 与 a , b 都平行 5、已知 a // 平面 ? ,直线 b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的关系是( D.平行或异面

6、平面 ? ? 平面 ? ? a ,平面 ? ? 平面 ? ? b ,平面 ? ? 平面 ? ? c ,若 a // b , 则 c 与 a , b 的位置关系是( A. c 与 a , b 异面 C. c 至少与 a , b 中的一条相交

7、如图,在四面体 ABCD 中,已知所有棱长都为 a,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点.

3





(1)求线段 EF 的长;(EF 是两异面直线 AB 与 CD 的公垂线) (2)求异面直线 BC、AD 所成角的大小.

8、已知正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 , O 是底 ABCD 对角线 的交点 求证:(1) C1O ∥面 AB1D1 (2 ) AC ? 面 AB1D1 1
A1 D O A B D1 B1 C1

C

课后练习
1、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两 个平面平行;(3)、垂直于同一直线的两直线平行;( 4)、垂直于同一平面的两直线 平行.其中正确的个数有 ( A、1 B、2 ) B、四边形一定是平面图形 D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点 ( C、异面 ) D、以上都有可能 ( ) D、 A1C1 与 B1C 成 60? 2、下列说法正确的是( A、三点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 A、平行 B、相交 ) C、3 D、4

3、垂直于同一条直线的两条直线一定

4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A、 A1C1 ? AD 角 B、 D1C1 ? AB C、 AC1 与 DC 成 45? 角

5、a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;② 若 b ? M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中 正确命题的个数有( A、0 个 ) B、1 个 C、2 个 D、3 个

6、已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? , ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱

AB 的距离为 4,那么 tan ? 的值等于
A、

( D、 )
4



3 4

B、

3 5

C、

7 7

3 7 7

7、 在空间,下列命题中正确的是(

A、若两直线 a、b 与直线 m 所成的角相等,那么 a∥b;





B、若两直线 a、b 与平面 α 所成的角相等,那么 a∥b; C、若直线 m 与两平面 α 、β 所成的角都是直角,那么 α ∥β ; D、若平面 γ 与两平面 α 、β 所成的二面角都是直二面角,那么 α ∥β .线段 8、四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面正方形 ABCD 于 A,且 PA=AB= a ,E、F 是侧棱 PB、PC 的 中点(1)求证:EF∥平面 PAB (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角 θ 的正切值

9、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC
?

S

D A 10、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC= AA1 = 4 , AB=5, 点 D 是 AB 的中点( I )求证: AC ⊥ BC1 ; (2)求证:AC 1//平面 CDB1 B C

4



5





6


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