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高三高考复习 函数的概念和性质


函数的概念与性质 一、函数概念 D是一个给定的非空数集,对于D中的每一 按照一定的法则f, 总有唯一确定的 个数x, 数值y与之对应, 则称y是关于x的函数, 记作 y ?

f( x)

D:函数的定义域

因变量

自变量

当 x 0 ? D 时 , 称 f ( x 0 )为 函 数 在 点x 0 处 的 函 数 值 . 函数值全体组成的数集
f ( X ) ? { y y ? f ( x), x ? D} 称为函数的值域 .

函数的两要素: 定义域与对应法则.
( (

x
y

X
对应法则f

x0 )
f ( x0 )

自变量

f (X)

)

因变量

约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如, y ? 1 ? x 2
y? 1 1? x
2

X : [?1,1], f ( X ) : [0,1].
X : (?1,1), f ( X ) : [1,??).

?函数的两要素

构成函数的要素是定义域 Df 及 对应法则f. 如果两个函数的定义域相同 , 对应法则也相同, 那么这两个函数 就是相同的, 否则就是不同的. P13

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要求:根据两要素能够判断函数是否相同。

例1
1)

判断下列每组函数是否相同:
x2

y ? x,y ?

相同 相同
2

2)
3)
4)

y ? 2 x , u ? 2v
y ? 2 ln x , y ? ln x

定义域不同
2

x ? 1 定义域不同 f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ? x ?1

?函数的表示法
表示函数的主要方法有三种 : 表格法、图形法、 解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念 , 坐标 平面上的点集 {P(x, y)|y?f(x), x?D} 称为函数y?f(x), x?D的图形.

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定义域考点梳理
1.常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母①__________.
(2)偶次根式函数被开方式②__________. (3)一次函数、二次函数的定义域均为③__________. (4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx,定义域均为④ __________. (5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为⑤__________. (6)y=tanx的定义域为⑥________________.

2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是⑦__________.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为⑧ __________;当a<0时,值域为⑨__________.
(3)y=kx(k≠0)的值域是⑩_________. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是?__________.

(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是?__________.
(6)y=sinx,y=cosx的值域是?__________. (7)y=tanx的值域是?__________.

考点自测 1 1.下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是( x 1 A.f(x)=lnx B.f(x)=x x C.f(x)=|x| D.f(x)=e )

1 解析:y= 的定义域为(0,+∞),函数 f(x)=lnx 的定义 x 域为(0,+∞),故选 A. 答案:A

(

2.函数 y=x2-2x 的定义域是{0,1,2},则该函数的值域为 ) A.{-1,0} B.{0,1,2} C.{y|-1≤y<0} D.{y|0≤y≤2}

解析:x=0 时,y=0;x=1 时,y=-1;x=2 时,y=0, 故函数的值域为{-1,0},选 A. 答案:A

3.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )

A.

B.

C.

D.

解析:A 选项图形表示的函数其值域不是[0,1],B 选项 图形表示的函数其定义域不是[0,1], D 选项图形不表示函数, 排除 A、B、D,选 C. 答案:C

4.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为( A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)

x

)

解析:∵3x+1>1,∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 答案:A

1 2 2.函数 f(x)= + 4-x 的定义域为( ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]

)

?x+1>0, ? 解析:要使 f(x)有意义,须?x+1≠1, ?4-x2≥0, ? ?x>-1, ? 即?x≠0, ∴-1<x<0 或 0<x≤2. ?-2≤x≤2, ? 答案:B

1 5.若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( log 1 ? 2 x1?
2

)

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ?

? 1 ? B.?-2,0? ? ?

D.(0,+∞)

解析:由 log 1 (2x+1)>0,即 0<2x+1<1,
2

1 解得-2<x<0. 答案:A

题型探究 题型一 由函数的解析式求其定义域 ln?2+x-x2? 例 1 函数 f(x)= 的定义域为( ) |x|-x A.(-1,2) B.(-1,0)∪(0,2) C.(-1,0) D.(0,2)
2 ? ?2+x-x >0, 解析:由题意,得? ? ?|x|-x≠0,

解得-1<x<0,故 f(x)

的定义域为(-1,0),选 C. 答案:C

变式探究 1 若函数 f(x)= 2x +2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为__________.
解析:由题意,得 2x +2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立. 2 0 即 2x +2ax-a≥2 对 x∈R 恒成立. 2 亦即 x +2ax-a≥0 对 x∈R 恒成立. 2 故 Δ=4a +4a≤0,得-1≤a≤0. 所以,a 的取值范围是[-1,0]. 答案:[-1,0]
2

2

?1 ? 1 4.若函数 f(x)= 的定义域为?2,1?∪(1,+∞), log3?2x+c? ? ? 则实数 c 的值等于( ) A.1 B.-1 1 C.-2 D.-2

? ?2x+c>0, 解析: 依题意, 不等式组? ? ?2x+c≠1

?1 ? 的解集应为?2,1?∪ ? ?

(1,+∞),所以 c=-1,故选 B. 答案:B

点评:由函数的解析式求其定义域 的方法步骤为: 第一步,列出使函数解析式有意义 的不等式组; 第二步,正确求解不等式组(不等 式组的解是各个不等式解集的交集 ); 第三步,用区间或集合表示不等式 组的解便可得函数的定义域.

疑点清源
1.抽象函数定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则 复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b], 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值 域.

题型二 求抽象函数的定义域 x 例 2 若函数 f(x+1)的定义域为[0,1],求函数 f(2 -2)的定 义域.

解析:∵f(x+1)的定义域为[0,1], ∴0≤x≤1,∴1≤x+1≤2. ∴1≤2x-2≤2,∴3≤2x≤4. ∴log23≤x≤2. x ∴f(2 -2)的定义域为[log23,2].

点评:对于抽象函数的定义域 ,在同一对应关系作用下,不 管接受关系的对象是字母还是 代数式,都应在同一范围内受 到约束.

变式探究 2 已知函数 f(2x)的定义域为[ -1,1] ,求函数 f(log2x)的定义域.

解析:∵函数 f(2 )的定义域为[-1,1], 1 x ∴-1≤x≤1,2≤2 ≤2. ?1 ? ∴函数 f(x)的定义域为?2,2?. ? ? 1 由2≤log2x≤2,得 2≤x≤4. 故函数 f(log2x)的定义域为[ 2,4].

x

2.求函数值域的常用方法 (1)配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函数 的值域,其关键在于正确化成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值 域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形如 y=ax +b± cx-d(a,b,c,d 均为常数且 a,c≠0)的函数常用此法 求解. (3)不等式法:借助于基本不等式 a+b≥2 ab(a>0,b> 0)求函数的值域.用不等式法求值域时,要注意基本不等式的 使用条件“一正、二定、三相等”.

2.求函数值域的常用方法
(1)配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函 数的值域,其关键在于正确化成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成 值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形 如y=ax+b±cx-d(a,b,c,d均为常数且a,c≠0)的 函数常用此法求解. (3)不等式法:借助于基本不等式a+b≥2ab(a>0,b> 0)求函数的值域.用不等式法求值域时,要注意基本不 等式的使用条件“一正、二定、三相等”.

(4)单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调 p 性求函数的值域,常用到函数 y=x+x(p>0)的单调性:增区间 为(-∞,- p]和[ p,+∞),减区间为(- p,0)和(0, p).

题型三 求已知函数的值域 例 3 求下列函数的值域: 2x+1 (1)y= ; x -3 (2)y=x- 1-2x; 2 (3)y=|x 1-x |.

2x-6+7 7 解析:(1)将原函数变形为 y= =2+ . x-3 x-3 7 ∵x≠3,∴ ≠0. x-3 ∴y≠2,即函数值域为{y|y∈R,且 y≠2}. 2 1-t (2)方法一:设 1-2x=t(t≥0),得 x= , 2 2 1-t 1 1 2 ∴y= -t=- (t+1) +1≤ (t≥0), 2 2 2 ? 1? ∴y∈?-∞,2?. ? ?

? 1? 1 方法二:∵1-2x≥0,∴x≤2,∴定义域为?-∞,2?. ? ? ? 1? ∵函数 y=x,y=- 1-2x在?-∞,2?上均为单调递增, ? ? ? 1? 1 1 1 ∴y≤ - 1-2× = ,∴y∈?-∞,2?. 2 2 2 ? ?

(3)方法一:∵函数为偶函数,且定义域为[-1,1]. ∴当 x∈[0,1]时,y=x 1-x2, ? π? 1 令 x=sinα,α∈?0,2?,则 y=sinαcosα=2sin2α. ? ? ? 1? ∵2α∈[0,π],∴sin2α∈[0,1],∴y∈?0,2?. ? ? ∴ymin=0(x=0,x=1 时取到), ? 1? 1? 2 ? ? ? ymax=2?x= 时?,故值域为?0,2?. 2 ? ? ? ?

方法二:配方法:x∈[0,1]时, y=x 1-x2= x2?1-x2?= -x4+x2 ? ? ? 1? 2 12 1 = -?x -2? +4∈?0,2?; ? ? ? ? 若用基本不等式:x∈[0,1]时, 2 2 x + ? 1 - x ? 1 2 2 y= x ?1-x ?≤ = . 2 2 2 2 2 2 1 “=”当且仅当 x =1-x ,即 x = ,x= 时取到, 2 2 1 故 ymax=2,在[0,1]上,x=0 或 x=1 时,ymin=0. ? 1? 故值域为?0,2?. ? ?

点评:求函数值域要记住各种基本函数的值域;要记住具 有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域;对各种求函数 值域的方法要熟悉, 遇到求值域的问题, 应注意选择最优解法; 求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意 定义域对值域的约束作用;函数的值域常常化归为求函数的最 值问题.

x ? ?3 3.函数 y=? ? ?log2x,

x∈?-∞,-1?, 的值域为( x∈[1,+∞? A.(0,3) B.[0,3] C.(-∞,3] D.[0,+∞)

)

解析:当

? 1? x∈(-∞,-1)时,y∈?0,3?;当 ? ?

x∈[1,+∞)

时,y∈[0,+∞).故选 D. 答案:D

变式探究 3 求下列函数的值域: 2 (1)y=-x +2x(x∈[0,3]); 2 x -x (2)y= 2 ; x -x+1 2 (3)y=x+ 1-x .

解析:(1)∵y=-(x-1)2+1,根据二次函数的性质,可得 原函数的值域是[-3,1]. x2-x 1 (2)y= 2 =1- 2 , x -x+1 x -x+1 ? 1? 2 3 3 2 ∵x -x+1=?x-2? +4≥4, ? ? 1 1 1 ∴-3≤1- 2 <1,即-3≤y<1. x -x+1 ? 1 ? 故值域为?-3,1?. ? ?

(3)先考虑函数定义域,由 1-x2≥0,得-1≤x≤1,设 x ? π? =cosθ(θ∈[0,π]),则 y=sinθ+cosθ= 2sin?θ+4?,易知当 θ ? ? π =4时,y 最大值为 2, 当 θ=π 时,y 最小值为-1,∴原函数的值域是[-1, 2].

题型四 函数定义域、值域的综合应用 2 例 4 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a、b 是常数,且 a≠0) 满足条件:f(2)=0,且方程 f(x)=x 有两个相等实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别 为[m,n]和[2m,2n]?如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说 明理由.

解析:(1)方程 f(x)=x,即 ax2+bx=x, 2 亦即 ax +(b-1)x=0, 由方程有两个相等的实根,得 Δ=(b-1)2-4a×0=0, ∴b=1. 由 f(2)=0,得 4a+2b=0, 1 由①、②得,a=-2,b=1, 12 故 f(x)=-2x +x.

(2)假设存在实数 m、n 满足条件,由(1)知, 12 1 2 1 1 f(x)=- x +x=- (x-1) + ≤ , 2 2 2 2 1 1 则 2n≤2,即 n≤4. 1 2 1 ∵f(x)=-2(x-1) +2的对称轴为 x=1, 1 ∴当 n≤4时,f(x)在[m,n]上为增函数. ? 1 2 -2m +m=2m, ? ? f ? m ? = 2 m , ? 于是有? 即? ? ?f?n?=2n ?-1n2+n=2n, ? 2

? ?m=-2或m=0, ∴? ? ?n=-2或n=0. ? ?m=-2, 1 又 m<n≤ ,∴? 4 ? ?n=0.

故存在实数 m=-2,n=0,使 f(x)的定义域为[m,n],值 域为[2m,2n].

点评:①对既给出定义域又给出解析式的函数,可直接在 定义域上用相应方法求函数值域.②若函数解析式中含有参 数,要注意参数对函数值域的影响,即要考虑分类讨论.③可 借助函数图象确定函数的值域或最值.

变式探究 4 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时,f(x)=x+x2. (1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负数 a,b,当 x∈[a,b]时,f(x) 的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有 a,b 的值;若不 存在,请说明理由.

解析:(1)设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=-x+x2, 2 又 f(x)为奇函数,即 x<0 时,f(x)=x-x . (2)假设存在这样的数 a,b. ∵a≥0,且 f(x)=x+x2 在 x≥0 时为增函数, ∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6], 2 2 ? ? 6 b - 6 = f ? b ? = b + b , b ? ? -5b+6=0, ∴? ?? 2 ? 2 ? ? ?4a-2=f?a?=a +a ?a -3a+2=0

? ?b=2或b=3, ? ? ?a=1或a=2, ? ?a=2, ? ? ?b=3,

? ?a=1, 即? ? ?b=2,

? ?a=1, 或? ? ?b=3,

? ?a=2, 或? ? ?b=2,



考虑到 0≤a<b,且 4a-2<6b-6,
? ?a=1, 值分别为? ? ?b=2, ? ?a=1, 或? ? ?b=3,

可得符合条件的 a ,b
? ?a=2, ? ? ?b=3.



归纳总结 ?方法与技巧 1.对于函数的定义域 (1)求具体函数定义域的步骤: ①写出使函数式有意义的不 等式(组);②解不等式(组);③写出定义域. (2)已知 f(x)定义域求 f[g(x)]定义域或已知 f[g(x)]定义域求 f(x)定义域问题,关键抓住一条;同一对应关系符号后面式子 范围相同,即 f[g(x)]中的 g(x)相当于 f(x)中的 x. (3)已知函数定义域求其中字母参数范围问题, 通常转化为 不等式在定义域内恒成立问题.

2.对于函数的值域 (1)在熟练掌握求函数值域的几种基本方法的基础上, 要对 具体的题目作具体的分析,应选择最优的方法解决. (2)求函数的值域不但要重视对应关系的作用, 而且要特别 注意定义域对值域的制约作用. (3)遇到含字母系数或参数区间的一类求值域问题时, 应对 字母进行合理的分类讨论.

?失误与防范 1.用换元法求值域时,需认真分析换元后变量的范围变 化;用判别式求函数值域时,一定要注意自变量 x 是否属于 R. 2.用不等式法求函数值域时,需认真分析其等号能否成 立;利用单调性求函数值域时,准确地找出其单调区间是关 键.分段函数的值域应分段分析,再取并集.


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