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江苏省海安县立发中学2009届高三第三次月考试卷(数学)


江苏省海安县立发中学 2009 届高三第三次阶段性测试题 数 学
(时间:120 分钟 满分:160 分)









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 2 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答

题(第 15 题~第 20

题,共 6 题)两部分。考试结束后,只要将答题纸交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题纸上。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.设全集为 R ,A = {x |

1 ? 0} ,则 CR A ? x
2





开始 输入 p

2.设命题 P : “ ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 ” ,该命题的否定是 ▲ . 3.已知 a ? R ,若 (1 ? ai)(3 ? 2i) 为纯虚数,则 a 的值为 ▲ . 4.函数 y ? log1 ( x ? 6 x ? 8) 的单调递增区间是
2 2

▲ ▲

. .

n ? 0, S ? 0

n? p




5.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

n ? n ?1

输出 S 结束

6.定义在区间 (?1,1) 内的函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? lg( x ? 1) , 则 f ( x ) 的解析式为 ▲ .
2 2

S?S?

1 2n

7.“ a ? 1 ”是 “函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的



条件. ▲ .

8. 若向量 a, b 满足: |b|=4, 则 a 与 b 的夹角等于 ? a ? b? ? ? 2a ? b? = ?4 ,且|a|=2,
2

9.已知关于 x 的方程 x ? (a ? 1) x ? 2a ? 0 的两根均在 (?1,1) 内,则实数 a 的取值范 围 为 ▲ . ▲ .
x 10.函数 f ( x) ? sin x ? 2 的导函数 f ?( x) ?

11. 已知函数 f ? x ? ? 2mx2 ? 2 ? 4 ? m? x ?1, g ? x ? ? mx , 若对于任一实数 x , f ? x ? 与

g ? x ? 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是





12 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 R , 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x)=

fp (+

x) ,当

x? (

p p , ) 时, 2 2

f ( x) = 2 x - sin x , 设 a = f (- 1), , b = f (- 2), c = f (- 3) 则 a, b, c 的大小关
系 是 ▲ . ▲ . 13.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为

14.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f (x)的图象恰好 通过 k 个格 点 , 则 称 函 数 f (x) 为 k 阶 格 点 函 数 . 下 列 函 数 : ① f ( x) ? sin x ; ②

f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ;③

1 f ( x) ? ( ) x ;④ f ( x) ? log0.6 x. 其中是一阶格点函数的有 3



(填上所有满

足题意的 序号) . 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设全集 U=R, 集合 A={x| x - x-6<0}, B={x|| x|= y+2, y∈A}, 求 CUB、 A∩B、 A∪B、CU(A∪B), (CUA)∩(CUB)
2

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? (1)求 cos(? ? ? )的值 . (2)若 ?

2 5 5

?
2

? ? ? 0 ?? ?

?
2

,且 sin ? ? ?

5 , 求 sin? 的值. 13

17.(本小题满分 15 分) 右图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截 得到的几何体,截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=l,∠A1B1C1 =90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3. (1)设点 O 是 AB 的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1; (2)求此几何体的体积.
B1 B A1 C1 A O C

18.(本小题满分 15 分) 水渠横断面为等腰梯形,渠深为 h,梯形面积 为 S. 为了使渠道的渗水量达到最小,并降低成 本,应尽量减少水与水渠壁的接触面. 问此时水 渠壁的倾斜角α 应是多少?

19.(本小题满分 16 分) 如果实系数 a1、b1、c1 和 a2、b2、c2 都是非零常数. (1)设不等式 a1x +b1x+c1>0 和 a2x +b2x+c2>0 的解集分别是 A、 B, 试问 是 A=B 的什么条件?并说明理由。 (2)在实数集中,方程 a1x +b1x+c1=0 和 a2x +b2x+c2=0 的解集分别为 A 和 B,试问
2 2 2 2

a1 b1 c1 ? ? a 2 b2 c2

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的什么条件?并说明理由。 a 2 b2 c2
(3)在复数集中,方程 a1x +b1x+c1=0 和 a2x +b2x+c2=0 的解集分别为 A 和 B, 证明:
2 2

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的充要条件 a 2 b2 c2

20.(本小题满分 16 分) 已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意 x ? [0,1] ,总 有 f ( x) ? 0 ; ② f (1) ? 1 ; ③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. (1) 求 f (0) 的值;

(2) 函数 g ( x) ? 2 x ?1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明; (3) 假 定 存 在 x0 ? [0,1] , 使 得 f ( x0 ) 且 ? [ 0 ,, 1 ] f ( f ( x0 )) ? x0 , 求 证: f ( x0 ) ? x0

参考答案 一.填空题: 1. {x | x ?0 } 6. lg( x ? 1) ? 2 . ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0
2

3. ?

3 4 . (??,2) 2

5.

7 8

1 lg(1 ? x) 7. 充分不必要 8. 120 9.0 ? a ? 3 ? 2 2 10.cos x ? 2 x ln 2 3 1 11.(0,8) 12. a ? c ? b 13. 14.①②④ e
. 二.解答题: 15.解: A=(-2,3), ∵-2<x <3, ∴0<|x|<5. ∴CUB= ?? ?,?5? ? ?0?? ?5,??? , A∩B=(-2,0)∪(0,3),

2 3

∴B=(-5,0)∪(0,5).

A∪B=(-5,5), , CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)= ?? ?,5?∪ ?5,??? 16.解: (1)? a ? 1 , b ? 1

a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? b ? 2(cos ? cos ? ? sin? sin ? )
? 1 ? 1 ? 2 cos(? ? ? )

2

2

2

2

2

?2 5? ? ?4 ? a ?b ?? ? 5 ? 5 ? ?
2

2

? 2 ? 2 cos(? ? ? ) ?
(2)? ?

4 3 得 cos(? ? ? ) ? 5 5 ?0 ? ? ? ?
得 sin(? ? ? ) ? 得 sin ? ?

?
2

? ? ? 0 ?? ? 3 5

?
2

由 cos(? ? ? ) ? 由 sin ? ? ?

4 5

5 13

12 13

? sin ? ? sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

4 12 3 5 33 ? ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65
17. (1)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1B1 于 D ,连 C1D . 则 OD ∥ BB1 ∥CC1 .

O 是 AB 的中点, ? OD ?

1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 2

则 ODC1C 是平行四边形,? OC ∥C1D .

A O A2 H C C2

C1D ? 平面 C1B1 A1 且 OC ? 平面 C1B1 A1 ,
? OC ∥面 A1B1C1 .

B
(2) 如图, 过 B 作截面 BA2C2 ∥面 A1B1C1 , 分别交 AA1 ,

A1 D

C1

CC1 于 A2 , C2 .
作 BH ? A2C2 于 H .

B1

CC1 ? 面 BA2C2 ,? CC1 ? BH ,则 BH ? 平面 AC 1 .


A2 B ? A1B1 ? 1, BC2 ? B1C1 ? 1 , ? BH ?

2 , 2

1 1 1 2 1 ? . ? VB ? AA2C2C ? S AA2C2C ? BH ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 3 2 2 2
VA1B1C1 ? A2 BC2 ? S△ A1B1C1 ? BB1 ? 1 ?2 ?1 2 3 2

所求几何体体积为: V ? VB ? AA2C2C ? VA1B1C1 ? A2 BC2 ? 18.解: 设 CD ? a,? AB ? a ? 2h cot? ,

BC ? AD ?

h , sin ?

?S ?

1 S (2a ? 2h cot ? )h, 得a ? ? h cot ? , 2 h S 2 ? cos ? , 设 y ? AD ? CD ? BC ? ? h ? h sin ? 2 ? cos ? (0? ? ? ? 90?) 记u ? sin ?

1 2 ? u 2 ? 1 sin(? ? ? ) ? 2(其中tan? ? ) ? ?1 2 u u ?1

? u ? 3 ,等号成立时, ? ? 30?,? ? 90? ? ? ? 60? ;
(注)也可以对 u 求导:得 u ? ?

1 ? 2 cos ? 1 ? 0, 得 cos ? ? , 2 2 sin ?

? ? 60?, 而 cos?在(0?,180?) 单调递减,? 在? ? 60? 处 u ? 左负右正,
?当? ? 60? 时,u 最小,从而 y 最小.
19.解:

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的充要条件; a 2 b2 c2

(1)

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的既不充分也不必要条件。 a 2 b2 c2

若 a=b=c=1, a1=b1=c1= -1,则 A≠B 若 A=B=Φ ,则两个不等式的系数之间没有关系。 (2)

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的充分也不必要条件 a 2 b2 c2

若 A=B=Φ ,则两个方程的系数之间没有关系。 由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程式同解方程。 (3)

a1 b1 c1 ? ? 是 A=B 的充要条件 a 2 b2 c2

由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程。充分性得证。 由韦达定理可以证明必要性。 20. (1)解:由①知: f (0) ? 0 ;由③知: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,即 f (0) ? 0 ; ∴ f (0) ? 0 (2 ) 证明:由题设知: g (1) ? 2 ? 1 ? 1; 由 x ? [0,1] 知 2x ?[1, 2] ,得 g ( x) ?[0,1] ,有 g ( x) ? 0 ; 设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,则 2 1 ? 1 , 2
x x2

?1;



g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? (2x1 ? x2 ?1) ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0 即 g ( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 )
∴函数 g ( x) ? 2x ? 1在区间[0,1]上同时适合①②③. (3) 证明:若 f ( x0 ) ? x0 ,则由题设知: f ( x0 ) ? x0 ?[0,1] ,且由①知 f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? 0 , ∴ 由 题 设 及 ③ 知 :

x0 ? f ( f ( x0 )) ? f [( f ( x0 ) ? x0 ) ? x0 ] ? f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ,矛
盾; 若 f ( x0 ) ? x0 ,则则由题设知: x0 ? f ( x0 ) ?[0,1] ,且由①知 f [ x0 ? f ( x0 )] ? 0 , ∴ 同 理 得 :

f ( x0 ) ? f [( x0 ? f ( x0 )) ? f ( x0 )] ? f [ x0 ? f ( x0 )] ? f ( f ( x0 )) ? f ( f ( x0 )) ? x0 ,矛盾; 故由上述知: f ( x0 ) ? x0


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