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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:3.3.3简单的线性规划(习题课)


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不等式

3.3.3

简单的线性规划(习题课)

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1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题,建立 数学模型. 2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一

些简单的实际问题.
线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题: 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使 用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合 理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来 完成该项任务.

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基础梳理
|x-1|≤1 ? ? 当x、y满足不等式组 ?y≥0 时,目标函数t=x+y ? ?y≤x+1 的最大值是( D )

1.用图解法求目标函数的最大最小值.

A.1

B.2

C.3

D.5

2.确定在某点取最优解的条件.

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2.如下图所示,已知A(2,4)、B(1,1)、C(4,2),动点 P(x,y)所在的区域为△ABC(包括边界),若使目标函 数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则

a的值等于( A )
A.1

1 B. 3
C.6 D.3

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自测自评 1.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时, z的意义是( C ) A.该直线的截距 B.该直线纵截距 C.该直线的纵截距的相反数 D.该直线横截距

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2.在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边 界),目标函数z=x-y,则使z取得最小值的点的坐标 为( ) A.(1,1) B.(3,2) C.(5,2)

D.(4,1) 解析:对直线y=x+b进行平移,注意b越大, z越小.
答案:A 金品质?高追求 我们让你更放心!

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? ?x-y+1≤0, 3.若实数x,y满足 ? 则 ? ?x>0, 范围是( )

y 的取值 x

A.(0,1)

B.(0,1]

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

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? x-y+1≤0, 解析: ? 所表示的可行域如下图所示, ? ? ?x>0,

点O与直线AB平行的直线l的斜率为1,

y 而 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,过 x
l绕点O逆时针转动必与AB相交,直线OB的倾角为90°,

因此

y 的范围为(1,+∞). x

答案:C 金品质?高追求 我们让你更放心!

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求目标函数的最值问题
2x+y≥4, ? 设x,y满足 ? 则z=x+y( ?x-y≥-1, ? ?x-2y≤2,

)

A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

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解析:如下图作出不等式组表示的可行域,当z =x+y过点(2,0)时,截距z最小,即z有最小值,但z没 有最大值.

答案:B

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跟踪训练
x+y≥1, ? ? 1.设x,y满足约束条件 ?x-y≥-1,则z=x+2y的最小 ? ?2x-y≤2,

值是________,最大值是________.

解析:如图所示,由题意得
A(3,4),由图可以看出,直线x+ 2y=z过点(1,0)时,zmin=1,过点 (3,4)时,zmax=3+2×4=11. 答案:1 11 金品质?高追求 我们让你更放心!

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线性目标函数中y前符号不同,对最优解的影响 已知x,y满足不等式组

成下列问题.

(1)在坐标平面内,画出不等式组所表示的平面区域(用 阴影表示); (2)求出目标函数z=2x+y的最小值和目标函数z=2x- y的最大值. 解析:(1)作出不等式组 表示的平面区域(即可行域) 如右图所示.

x-y+5≥0 ? ? ?x+y-1≥0 ? ?x≤3

,请完

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(2)令z=0,得直线l1:2x+y=0和直线l2:2x-y=0,并分 别在上图表示出来,当直线2x+y=0向下平移并过B点时,目 标函数z=2x+y有最小值,此时最优解就是B点. ? ?x-y+5=0 解方程组 ? 得点B的坐标是:B(-2,3). ? ?x+y-1=0 因此,目标函数z=2x+y的最小值 zmin=2×(-2)+3=-1. 同理,当直线2x-y=0向下平移并过C点时,目标函数z= 2x-y有最大值,此时最优解就是C点.
? x+y-1=0 ? 解方程组 ? 得点C的坐标是:C(3,-2). ? ?x=3 因此目标函数z=2x-y的最大值zmax =2×3-(-2)=8.

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跟踪训练 2.已知1≤x+y≤3,2≤2x-y≤4,求z=x+3y的最小值和

最大值.
? ?1≤x+y≤3 解析:作出不等式组 ? 所表示的平面区 ? ?2≤2x-y≤4 域如下图所示.

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当直线 z=x+3y 过点 A 时,取最大值. ? ?x+y=3 5 4? ? 由? 得点 A 的坐标是: 3,3 ,因此, ? ? ? ?2x-y=2 5 4 17 zmax= +3× = . 3 3 3 当直线 z=x+3y 过点 B 时,z=x+3y 取最小值. ? ?x+y=1 5 2? ? 由? 得点 B 的坐标是: 3,-3 ,因此, ? ? ? ?2x-y=4 2? 5 1 ? zmin= +3× -3 =- . 3 3 ? ?
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用线性规划解应用题 某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时 间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、 乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟, 已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元,问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最 大?最大收益是多少万元? 解析:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间 分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得 ?x+y≤300,

? ?500x+200y≤90000, ? ?x≥0,y≥0,
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目标函数 z=3000x+2000y, 二元一次不等式组等价于 x+y≤300. ? ? ?5x+2y≤900, ? ?x≥0,y≥0,

作出可行域(如图所示),当直线z=3000x+2000y过点M 时,z最大, ? ?x+y=300, 由 ? 得M(100,200) ? ?5x+2y=900. ∴zmax=3000×100+2000×200 =700000(元). 因此该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做 200分钟广告,公司收益最大,最大值为70万元. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练

3.某公司承担了每天至少搬运280 t水泥的任务,已知 该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车,已知A型卡车每天每辆 的运载量为30 t,成本费为0.8千元,B型卡车每天每辆的运 载量为40 t,成本费为1千元.问:公司如何安排每天的车辆, 能使所花的成本最小?
解析:设每天安排A型卡车x辆和B型卡车y辆,则每 天的成本z=0.8x+y,且
0≤x≤6, ? ? ?0≤y≤4, ? ?30x+40y≥280.

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 作出可行域如下图所示,当直线z=0.8x+y过点A时, z取最小值.
? ?3x+4y=28 由 ? ?y=4 ?

得点A的坐标为(4,4),
∴zmin=0.8×4+4=7.2(千元). 答:公司每天安排4辆A型卡车和4辆B型卡车,能使 所花的成本最小.

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一、选择填空题

x≥0, ? ? 1.设x,y满足条件:?y≥x, ? ?4x+3y≤12. 的取值范围是( )
A.[1,5] C.[2,10] B.[2,6] D.[3,11]

则 x+2y+3

x+1

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x+2y+3 y+1 y+1 解析: =1+2· ,令 =k, x+1 x+1 x+1
则k表示两点P(x,y)和A(-1,-1)连线的斜率.不等式组 所表示的平面区域如图所示:

由图可知:1≤k≤5,∴3≤1+2k≤11.故选D. 答案:D 金品质?高追求 我们让你更放心!

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x-y+5≥0 ? ? 2.不等式组 ?x+y>0 ,表示的平面区域是 ? ?x<3 )

(

解析:注意直线的虚实,知选C. 答案:C 金品质?高追求 我们让你更放心!

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要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用 最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一;

资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是
线性规划中常见的问题之二.解决这类问题的思路和方法: 1.准确建立数学模型,根据实际问题中的已知条件, 找出约束条件和目标函数,应分清已知条件中,哪些属于 约束条件,哪些与目标函数有关,并列出正确的不等式 组. 2.由二元一次不等式表示的平面区域画出可行域.

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3.在可行域内求目标函数的最优解. 4.根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题 的解,即结合实际情况求得最优解.

另外,线性目标函数的最大值、最小值一般在可行
域的顶点处取得,也可能在可行域的边界上取得,即满 足条件的最优解有无数多个.要准确理解z的几何意义.

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