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高中数学数列知识点总结(精华版)


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一、数列
1.数列的定义: 按照一定顺序排列的一列数称为数列, 数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序” ,而不强调有“规 律” .因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念.

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列 2.通项公式:如果数列 ?a n ?的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式,即 an ? f (n) . 3.递推公式:如果已知数列 ?a n ? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项

那么这个式子叫做数列 ?a n ? 的递推公式 . 如数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1 ,其中

an ?1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an ? f (an ?1 ) 或 an ? f (an ?1 , an ?2 ) ,
an ? 2an ? 1 是数列 ?a n ?的递推公式.
4.数列的前 n 项和与通项的公式 ① S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ; ② a n ? ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列; 有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使 a n ? M , n ? N ? . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得 a n ? M . 1、已知 an ?

n 1 ; (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) 25 n ? 156 an 2、 数列 {a n } 的通项为 a n ? , 其中 a, b 均为正数, 则 a n 与 an?1 的大小关系为___ (答: bn ? 1
2

an ? an?1 ) ;
3、 已知数列 {an } 中,an ? n2 ? ? n , 且 {an } 是递增数列, 求实数 ? 的取值范围 (答:? ? ?3 ) ; 4、 一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中, 并且对任意 a1 ? (0,1) , 由关系式 a n?1 ? f (a n ) 得到的数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n (n ? N * ) ,则该函数的图象是 () (答:A)

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二、 等差数列
1、 等差数列的定义:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那 么 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差 。 即

? ?

a n ? an?1 ? d (n ? N * , 且n ? 2) .(或 a n ? 1 ? a n ? d (n ? N *) ).
2、 (1)等差数列的判断方法: ①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ② 中项法: 2 a n ?1? a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。 ③通项公式法: a n ? an? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数列。 ④前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。 如设 {an } 是等差数列, 求证: 以 bn= 等差数列。 (2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。公式变形为: a n ? an? b .

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n

其中 a=d, b= a 1 -d.
如 1、等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2n ? 10 );

2、首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______ (答:

8 ? d ? 3) 3 n(a1 ? an ) n(n ? 1) , Sn ? na1 ? d 。公式变形为: 2 2
1

(3)等差数列的前 n 和: Sn ?
d

s n ? A n 2 ? Bn ,其中 A= 2 ,B= a

? d .注意:已知 n,d,
2

a 1 , a n , s n 中的三者可以求

另两者,即所谓的“知三求二”。 如 数列 {an } 中, an ? an ?1 ?

1 3 15 (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 2 2 2

2 a1 =_, n =_(答: a1 ? ?3 , n ? 10 ); (2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n ,

?12n ? n 2 ( n ? 6, n ? N * ) ? 求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答: Tn ? ? 2 ). * ? ? n ? 12n ? 72( n ? 6, n ? N )

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(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及

S n ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
即知 3 求 2。 (2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?,

a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? , a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
3.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一 次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ? 函数且常数项为 0. 等差数列{a n }中,

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次 2 2 2

Sn S d 是 n 的一次函数, 且点 (n, n ) 均在直线 y = x n n 2

+ (a 1 -

d )上 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)对称性:若 ?a n? 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之 和 . 当 m ? n ? p ? q 时 , 则 有 am ? an ? a p ? aq , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有

am ? an ? 2a p .
如 1、等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an ?1 ? an ?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ; 2、在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和,则 A、

S1 , S2 ? S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0
0

B、 S1 , S 2 ? S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 D、S1 , S 2 ? S 20 都小于 0,S21 , S22 ?

C、S1 , S 2 ? S5 都小于 0,S6 , S7 ? 都大于 0

都大于 0 (答:B) (4) 项数成等差 , 则相应的项也成等差数列 . 即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...(k , m? N *) 成等差 . 若

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* 则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p ? nq }( p, q ? N ) 、 {an } 、{bn } 是等差数列,

a Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n (公差为 n 2 d ) . ,?也成等差数列,而 {a n } 成等比数列;若 {an } 是

等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如 等差数列的前 n 项和为 25, 前 2n 项和为 100, 则它的前 3n 和为 (答:225) ( 5 )在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, 。

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶 ? s 奇 ? nd ;

s 偶 a n ?1 ? . s 奇 an
项数为奇数 2n ? 1时,

s 2n ?1? (2n ?1) a n ; s 偶 ? s 奇 ? ? a1



s 偶 n ?1 ? 。 s奇 n

如 1、在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; 2、项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的 中间项与项数(答:5;31). (6)单调性:设 d 为等差数列 ?a n? 的公差,则 d>0 ? ?a n? 是递增数列;d<0 ? ?a n? 是递减数列;d=0 ? ?a n? 是常数数列 (7) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f ( n) , 则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
如 设 { a n } 与 { bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 Tn , 若

Sn 3n ? 1 ? Tn 4n ? 3







an ? __________ bn
(答:

_

6n ? 2 ) 8n ? 7

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(8) 设 al , am, a n 为等差数列中的三项, 且 al 与 a m , a m 与 a n 的项距差之比

l ?m =? m ?n

( ? ≠-1) ,则 a m =

a l ? ?a n . 1??

(9)在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n = 8、已知 ?a n? 成等差数列,求 s n 的最值问题:

n?m (a-b). n?m

an ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ? ? an ②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ? ?
?

?

? 0,

? ?a n ?1 ? 0 ? 0,

,则 s n 最大;

? ?a n ?1 ? 0

,则 s n 最小.

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ? ? 或? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ? ? an ?1 ? 0 ?

确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转 化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了哪种数学
*

思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如 1、等差数列 {an } 中,a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169) ; 2、若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是

(答:4006)

(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项 数不一定相同,即研究 an ? bm .

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三、等比数列
1、等比数列的有关概念:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。即 a n ? q(n ? * , n ? 2) (或 N a n ?1

? ?

a n ?1 an

? q(n ? N *)

2、等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n ?1 ? n ? q(q为常数) an an an ?1
一 个 等 比 数 列

(n ? 2) 。 如

1



{ an

}共有

5 ; 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答: ) 6
2、 数列 {an } 中,S n =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1, 若 bn ? a n ?1 ? 2a n , 求证: 数列 { bn } 是等比数列。 3、等比数列的通项: an ? a1q n ?1 或 an ? am q n ? m 。 如 设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an ?1 ? 128 ,前 n 项和 S n =126,求 n 和公比

q . (答: n ? 6 , q ?

1 或 2) 2

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4、等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, S n ? na1 ;当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 。 ? 1? q 1? q

如 等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) 提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断 公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对

q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。
5、 等比中项: 如果 a、 G、 b 三个数成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 即 G= ? ab . 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。 如已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为 ______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 项和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a a a 3 ;但偶数个数成等比时,不能设为? 3 , , aq, aq ,?, , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ) 2 q q q q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。如有四个数,其中前三 个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 6、等比数列的性质: (1) 对称性: 若 ?a n? 是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积. 即当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m .a n ? a p .a q ,特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,则有 a m .a n ? a p . 如 1、 在 等比数列 {an } 中,a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 , 公比 q 是整数, 则 a10 =___ (答: 512) ; 2 、 各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (答:10) 。 (2) 若{ a n }是公比为 q 的等比数列,则{| a n |}、{a n }、{ka n }、{
2
2
2

1 }也是等比数 an

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列,其公比分别为| q |}、{q 2 }、{q}、{

a 1 {bn } 成等比数列,则 {anbn } 、{ n } }。若 {an }、 bn q

成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也 是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?是常数数列 0, 它不是等比数列. 若 ?a n? 是等比数列,且各项均为正数,则 log a a n 成等差数列。若项数 为 3n 的等比数列(q≠-1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ,次 n 项和与次 n 项积分别 为 S 2 与 T 2 ,最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ,则 S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列,T 1 ,T 2 , T 3 亦成等比数列 如 1 、 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l o g 1 a xn ?1 ? ?

?

?

l oax g n(n ? N * ), 且
100

x1 ? x 2 ? ? ? x

100

? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ?

. (答:100a

) ;

2、在等比数列 {a n } 中, S n 为其前 n 项和,若 S 30 ? 13S10 , S10 ? S 30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3) 单调性:若 a1 ? 0, q ? 1,或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 则 {an } 为递减数列; 若q ? 0, 则 {an } 为摆动数列; 若 q ? 1, 则 {an } 为 常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aq n ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 , 1? q 1? q

这是等比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 S n ,判断数列 {an } 是否为等比数 列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1)

(5) Sm? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm .如设等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n , 若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? a1 ? qS偶 .
(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数

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数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若

a n ? a n?1

b?R ?, (n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、
n

则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号 是 (答:②③) ⑧等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;

四、难点突破
1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已 知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的. 2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它前一项 的差(比)等于同一个常数” .这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存 在,而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充 分条件是这个数列至少含有 3 项. 3.数列的表示方法应注意的两个问题:⑴{ a n }与 a n 是不同的,前者表示数列 a 1 , a 2 ,?,a n ,?,而后者仅表示这个数列的第 n 项;⑵数列 a 1 ,a 2 ,?,a n ,?,与集 合{ a 1 ,a 2 ,?,a n ,?,}不同,差别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一 个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合的元素间没有顺序性. 4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即: ⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为 S,则通常设?,aq aq ,?; ⑵对连续偶数个项同号 的等比数列, 若已知其积为 S, 则通常设?, aq ..
?3 2 ?2

, aq

?1

, a,aq,

,aq

?1

,aq, aq , ?.

3

5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时, 要注意 a n ≠0,因为当 a n = 0 时,虽有 a n = a n ? 1 · a n ? 1 成立,但{a n }不是等比数列,即
2

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“b 2 = a · c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件;对比等差数列{a n }, “2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条件,这一点同学们要分清. 6.由等比数列定义知,等比数列各项均不为 0,因此,判断一数列是否成等比数列, 首先要注意特殊情况“0” .等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想,需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论,在具体运用公式时,常常因考虑不周而出错.


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