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陕西省长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学(五校)2013届高三第三次模拟考试数学(文) 答案


高 2013 届第三次五校联考数学(文)参考答案 届第三次五校联考数学(
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 4 12. 3 13.

r />
(3,8)

14.

1 6

15. A. 10 2

B. 68°

C. 2 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 2 13° + cos 2 17° ? sin 13° cos 17° ; ② sin 2 15° + cos 2 15° ? sin 15° cos 15° ; ③ sin 2 18° + cos 2 12° ? sin 18° cos 12° ; ④ sin 2 (?18°) + cos 2 48 ° ? sin( ?18°) cos 48° ; ⑤ sin 2 ( ?25°) + cos 2 55° ? sin( ?25°) cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

1 3 sin 30° = .……………………4 分 2 4 3 (2)猜想的三角恒等式为: sin 2 α + cos 2 (30° ? α ) ? sin α cos(30° ? α ) = .……………………………6 分 4
解:(1)选择②式计算: a = sin 2 15° + cos 2 15° ? sin 15° cos15° = 1 ? 证明: sin 2 α + cos 2 (30° ? α ) ? sin α cos( 30° ? α )

= sin 2 α + (cos 30 ° cos α + sin 30 ° sin α )2 ? sin α (cos 30° cos α + sin 30° sin α ) 3 3 1 3 1 = sin 2 α + cos 2 α + sin α cos α + sin 2 α ? sin αcos α ? sin 2 α 4 2 4 2 2 = 3 2 3 3 sin α + cos 2 α = .…………………………………………………………………………12 分 4 4 4
甲班 9 8 9 8 1 3 2 0 2 8 18 17 16 15 1 0 2 9 乙班 3 5 6 8 8 9

17.(本题 12 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他 们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差;
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(3)从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. 解:(1)由茎叶图可知: 对比两班身高集中于 160 ~ 179 之间的数据可知乙班平均身高应高于甲班,而其余数 据可直接看出身高的均值是相等的,因此乙班平均身高应高于甲班; ………………………………………3 分 (2)由题意知甲班样本的均值为 x = 故甲班样本的方差为

158 + 162 + 163 + 168 + 168 + 170 + 171 + 179 + 179 + 182 = 170 , 10
2

1 [(158 ?170) 2 +(162 ?170) 2 +(163 ? 170) 2 + (168 ? 170) 10

+ (168 170 ) 2 + (170 ?170) 2 ?

+ (171 ? 170) 2 + (179 ?170) 2 + (179 ?170) 2 +(181 ?170) 2] =57 ………………7 分
(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A ,从乙班的 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有: (181,173) , (181,176) , (181,178) , (181,179) , (179,173) , (179,176) , (179,178) , (178,173) ,

4 2 = .……………12 分 10 5 18.(本题 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,棱 PD ⊥ 底面 ABCD , PD = DC , E 是

(178,176) , (176,173) 共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件,故 P( A) =

PC 的中点.
(1)证明: PA // 平面 BDE ; (2)证明:平面 BDE ⊥ 平面 PBC . 证明:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, ∴ OE // PA , ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , ∴ PA // 平面 BDE .………………………………………………6 分 (2)∵ PD = DC , E 是 PC 的中点, ∴ DE ⊥ PC . ∵ PD ⊥ 底面 ABCD ,∴ PD ⊥
A B D E P

C

AD .又由于 AD ⊥ CD , PD ∩ CD = D ,故 AD ⊥ 底面 PCD ,

所以有 AD ⊥ DE .又由题意得 AD // BC ,故 BC ⊥ DE . 于是,由 BC ∩ PC = C , DE ⊥ PC , BC ⊥ DE 可得 DE ⊥ 底面 PBC . 故可得平面 BDE ⊥ 平面 PBC .………………………………………………………………………12 分 19.(本题 12 分)在数列 {an } 中, a1 =

2 2an ,且对任意的 n ∈ N * 都有 an +1 = . 3 an + 1

(1)求证: {

1 ? 1}是等比数列; an

(2)若对任意的 n ∈ N * 都有 an +1 < pan ,求实数 p 的取值范围. 证:(1)由 an +1 =

2an 1 a +1 1 ? an 1 1 2 1 1 ,得 ?1 = n ?1 = = ( ? 1) .又由 a1 = ,得 ? 1 = ≠ 0 . an + 1 an +1 2 an 2 an 2 an 3 a1 2
第 2 页 共 4 页

因此, {

1 1 1 1 ? 1}是以 ? 1 = 为首项,以 为公比的等比数列.……………………………………5 分 an a1 2 2 1 1 1 1 2n 2n +1 , ? 1 = × ( ) n ?1 = n ,即 an = n , an +1 = n +1 an 2 2 2 2 +1 2 +1

解:(2)由(1)可得

于是所求的问题:“对任意的 n ∈ N + 都有 an +1 < pan 成立”可以等价于问题:“对任意的 n ∈ N * 都 有 p>

an+1 2n +1 2n + 1 2n +1 + 2 1 = n +1 ? n = n +1 = 1+ n +1 成立”. an 2 + 1 2 2 +1 2 +1
若记 f (n ) = 1 +

1 2
n +1

+1

,则 f (n ) 显然是单调递减的,故 f (n ) ≤ f (1) = 1+

1 2
1 +1

6 . +1 5 =

所以,实数 p 的取值范围为 p >

6 .…………………………………………………………………12 分 5

20.(本题 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1的直线交 2 a b 3

椭圆 C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点. (1)求直线 ON ( O 为坐标原点)的斜率 k ON ; (2)对于椭圆 C 上的任意一点 M ,设 OM = λ OA + ? OB ( λ ∈ R, ? ∈ R) ,求证: λ2 + ? 2 = 1 .

解:(1)设椭圆的焦距为 2 c ,因为

c 6 a2 ? b2 2 = ,所以有 = ,故有 a 2 = 3b 2 . 2 a 3 a 3
① ② ③

从而椭圆 C 的方程可化为: x 2 + 3 y 2 = 3b 2 易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ),据题意有 AB 所在的直线方程为: y = x ? 2b . 由①,②有: 4 x 2 ? 6 2bx + 3b 2 = 0 . 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x 0 , y 0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 =

x1 + x2 3 2b 2 = , y0 = x 0 ? 2b = ? b. 2 4 4 y0 1 = ? ,即为所求. x0 3
………6 分

所以 k ON =

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 OM ,有且 只有一对实数 λ , ? ,使得等式 OM = λ OA + ? OB 成立.设 M ( x, y ) ,由(1)中各点的坐标有:
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( x, y ) = λ ( x1 , y1 ) + ? ( x2 , y 2 ) ,故 x = λx1 + ?x2 , y = λy1 + ?y 2 .
又因为点 M 在椭圆 C 上,所以有 ( λx1 + ?x 2 ) 2 + 3(λy1 + ?y 2 ) 2 = 3b 2 整理可得:

………8 分

λ2 ( x1 2 + 3 y1 2 ) + ? 2 ( x 2 2 + 3 y 2 2 ) + 2λ? ( x1 x 2 + 3 y1 y 2 ) = 3b 2 .
由③有: x1 + x 2 =



3 2b 3b 2 , x1 ? x 2 = .所以 2 4


x1 x 2 + 3 y1 y 2 = x1 x2 + 3( x1 ? 2b)( x2 ? 2b) = 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 + x 2 ) + 6b 2
= 3b ? 9b + 6b = 0
又点 A, B 在椭圆 C 上,故有 ( x1 + 3 y1 ) = 3b , ( x2 + 3 y 2 ) = 3b . 将⑤,⑥代入④可得: λ2 + ? 2 = 1 . 21.(本题 14 分)设函数 f ( x ) = x 2 + a ln( x + 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 . (1)求实数 a 的取值范围; (2)当 a =
2 2 2 2 2 2 2 2 2



………13 分

3 1 时,判断方程 f ( x ) = ? 的实数根的个数,并说明理由. 8 4

解:(1)由 f ( x ) = x 2 + a ln( x + 1) 可得 f ' ( x ) = 2 x +

a 2x2 + 2x + a ( x > ?1) . = x +1 x +1
1 ,故由题意可知 x1 , x2 是方程 g ( x) = 0 的两 2

令 g ( x) = 2 x 2 + 2 x + a ( x > ?1) ,则其对称轴为 x = ?

个均大于 ? 1 的不相等的实数根,其充要条件为 ? (2)由 a = 递减,在 ( ?

? ? = 4 ? 8a > 0 1 ,解得 0 < a < .……………………7 分 2 ? g (?1) = a > 0

3 3 1 3 3 1 可知 x1 = ? , x2 = ? ,从而易知函数 f ( x ) 在 ( ?1, ? ) 上单调递增,在 ( ? ,? ) 上单调 8 4 4 4 4 4

1 ,+∞ ) 上单调递增. 4 3 3 3 3 3 9 3 1 ①由 f ( x ) 在 ( ?1,? ] 上连续、单调递增,且 f (? ) = ( ? ) 2 + ? ln( ? + 1) = ? ln 2 > ? , 4 4 4 8 4 16 4 4 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 3 以及 f (?1 + 4 ) = ( ?1 + 4 ) + ? ln 4 = ? ? 4 + 8 < ? ,故方程 f ( x ) = ? 在 ( ?1,? ] 有且只有 e e 8 e 2 e e 4 4 4
一个实根;

1 1 3 4 4 4 1 1 2 3 1 1 3 3 1 1 3 值 f (? ) = ( ? ) + ? ln( ? + 1) = + ln > ? ,故方程 f ( x ) = ? 在 ( ? ,+∞ ) 没有实数根. 4 4 8 4 16 8 4 4 4 4 1 综上可知,方程 f ( x ) = ? 有且只有一个实数根. 4
②由于
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f (x) 在 ( ? , ? ) 上单调递减,在 ( ? ,+∞) 上单调递增,因此 f (x) 在 ( ? ,+∞ ) 上的最小

3 4


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