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2014年上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) 2014年3月6日


2014 年上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) (完卷时间 120 分钟,满分 150 分)

2014 年 3 月 6 日

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求将最终结果直接填写答题纸 上相应的横线上,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 已知 ? ? ?

4 ??

? , ? ? , sin ? ? ,则 tan ? ? 5 ?2 ?



已 知 集 合 A ? ??1, m? , B ? ?x | x ? 1? , 若 A 是 .

B ? ? ,则实数 m 的取值范围

3.

设等差数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若 a9 ? 11 , a11 ? 9 ,则 S19 等于 若 ? a ? i ?? 2 ? i ? 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 .
2



4.

开始 输入 i

5.

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线 抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 4
的距离是 . 已 知 向 量 a ? 2 , b ? 1 , a ?b ?1 , 则 向量 a 与

n ?1
S ?0
n ? n ?1

6.

a ? b 的夹角为
7. 值为 8. .


n?i?


S ? S ?n


执行右图的程序框图,如果输入 i ? 6 ,则输出的 S

ax 不等式 1

1 ? 0 对任意 x ? R 恒成立,则实 x ?1

*

输出 S 结束

数 a 的取值范围是 9. 若 an 是 ? 2 ? x ?
n

? n ? N , n ? 2, x ? R ? 展开式中 x


2

项的系数,

? 22 23 2n ? 则 lim ? ? ? ??? ? ? ? n ?? a an ? ? 2 a3

10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 ,圆心角为 积为 .

2 ? 的扇形,则此圆锥的体 3

第 1 页 共 15 页

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 11. 设 x, y ? R ,若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域是一个锐角三角形, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则实数 a 的取值范围是 .

12. 从 1, 2, ???,9 这 10 个整数中任意取 3 个不同的数作为二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的 系数,则使得

f ?1? ? Z 的概率为 2



13. 已知点 F 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐 2


标为 ? 4,3? ,则 PQ ? PF 取最大值时,点 P 的坐标为

14. 已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上不同的三点,点 O ? 直线 l ,实数 x 满足关系式

x2 OA ? 2xOB ? OC ? 0 ,有下列命题:
① OB ? OC ? OA ? 0 ; ② OB ? OC ? OA ? 0 ; ③ x 的值有且只有一个; ④ x 的值有两个; ⑤ 点 B 是线段 AC 的中点. 则正确的命题是 . (写出所有正确命题的编号)
2 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的 四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅 笔涂黑,选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. 若 a, b ? R ,则“ a ? b 成立”是“ a ? b 成立”的
2 2





(A)充分非必要条件 (C)充要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 ( )

16. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1, 2 ? 内是增函数的为 (A) y ? log2 x (C) y ? (B) y ? cos 2 x (D) y ? log 2
第 2 页 共 15 页

2 x ? 2? x 2

2? x 2? x

17. 已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,下面给出的条件 中一定能推出 m ? ? 的是
A) ? ? ? 且 m ? ? ( (B) ? ? ? 且 m (D) m ? n 且 ? )

?

?∥

(C) m

n且n ? ?

?

18. 对于函数 f ? x ? ,若存在区间 A ? ? m, n? ,使得 y y ? f ? x ? , x ? A ? A ,则称函 数 f ? x ? 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ? x ? 的一个“可等域区间” . 下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 (A) f ? x ? ? sin ? ( )

?

?

?? ?2

? x? ?

(B) f ? x ? ? 2x ?1
2

(C) f ? x ? ? 2x ? 1

(D) f ? x ? ? log2 ? 2x ? 2?

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)每题均需写出详细的解答过程. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , 且 cos

A?C 1 ? . 2 2

(1)若 a ? 3 , b ? (2)若 f ? A? ? sin A

7 ,求 c 的值;

?

3 cos A ? sin A ,求 f ? A? 的取值范围.

?

第 3 页 共 15 页

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,几何体 EF ? ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角 梯形, AB / / CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ADF ? 90 . (1)求异面直线 BE 和 CD 所成角的大小; (2)求几何体 EF ? ABCD 的体积.

E

F

C D A B

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测 算,处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

y ? x2 ? 50x ? 900 ,且每处理一吨废弃物可得价值为 10 万元的某种产品,同时获 得国家补贴 10 万元.
(1)当 x ??10,15? 时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润; 如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?

第 4 页 共 15 页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知各项为正数的数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对任意的 k ? N , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成
*

等比数列,公比为 qk ; a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,公差为 dk ,且 d1 ? 2 . (1)求 a2 的值; (2)设 bk ?

1 ,证明:数列 ?bk ? 为等差数列; qk ? 1

(3)求数列 ?dk ? 的前 k 项和 Dk .

第 5 页 共 15 页

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如图,圆 O 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 相切于点 P ,与 x 正半轴交于点 A ,与直 线 y ? 3x 在第一象限的交点为 B . 点 C 为圆 O 上任一点,且满足

OC ? xOA ? yOB ,动点 D ? x, y ? 的轨迹记为曲线 ? .
(1)求圆 O 的方程及曲线 ? 的轨迹方程; (2)若直线 y ? x 和 y ? ? x 分别交曲线 ? 于点 A 、 C 和 B 、 D , 求四边形 ABCD 的周长; (3)已知曲线 ? 为椭圆,写出椭圆 ? 的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标.

y B C O A x

P

第 6 页 共 15 页

2014 年上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) 答案
一、填空题 1. ?

4 3

2. ?1, ?? ?

3. 190

4.

1 2

5.

2 5 5
6.

? 6

7. 21

8.

? ?4,0?

9. 8

10.

2 2 ? 3
11. ? ?2, ? ?

? ?

1? 3?

12.

11 21

13. ? 0, ?1?

14.①③⑤

二、选择题 15. C 三、解答题 19. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? . 所以 cos 16. A 17. C 18. B

A?C ? ?B B 1 ? cos ? sin ? . 2 2 2 2
, 所 ??????3 分
2 2 2

B ? ? 2 6 B?



?
3



由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 c ? 3c ? 2 ? 0 .
2





c ?1
??????6 分



c ? 2.
(2) f ? A? ? sin A( 3 cos A ? sin A)

?

3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? 2 2

第 7 页 共 15 页

?? 1 ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 6? 2 ?
????9 分 由(1)得 B ? 则 2A ?

??

?
3

,所以 A ? C ?

2? ? 2? , A ? ? 0, 3 ? 3

? ?, ?

?

? ? 3? ?? , 6 ?6 2

? ?. ?

∴ sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? (?1,1] . 6?

∴ f ? A? ? ? ? , ? . 2 2 ∴ f ? A? 的取值范围是

? 3 1? ? ?

? 3 1? ?? , ? . ? 2 2?
20.

??????12 分

解: (1)连结 BD ,由题意得, AD ? DC , AD ? DF , DC , DF ? 平面

?

CDEF ,
∴ AD ? 平面 CDEF ,∴ AD ? DE ,同理可证 DE ? 面 ABCD . ∵ AB / / CD , ∴ 角.

?ABE ( 或 其 补 角 ) 为 异 面 直 线 BE 和 CD 所 成 的
??????3 分

在 Rt △ADE 中, AE ? 在 Rt △DAB 中, BD ? 在 Rt △EDB 中, BE ?

AD2 ? DE 2 ? 2 2 ,

E

F

AD2 ? AB2 ? 2 5 , DE2 ? DB2 ? 2 6 .
A C D B

在 △AEB 中,由余弦定理得

cos ?ABE ?


AB 2 ? BE 2 ? AE 2 6 ? . 2 AB ? BE 3 DF 异 面 直 线 和

BE











第 8 页 共 15 页

arccos

6 . 3

??????7 分

(2)如图,连结 EC ,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N ,则 BN ? 平面 CDEF , 且 BN ? 2 . ???? ??9 分 ∵ 11 分

VEF ? ABCD ? VE ? ABCD ? VB?ECF

E
?????

F

1 1 ? S△ABCD ? DE ? S△EFC ? BN 3 3 1 1 1 1 ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 2 3 2 ?


D C A B

N

16 . 3
几 何 体

E ? F
??????14 分

A的 B 体 C 积D



16 . 3

21. 解: (1)根据题意得,利润 P 和处理量 x 之间的关系:

P ? (10 ? 10) x ? y
? 20 x ? x2 ? 50 x ? 900 ? ? x 2 ? 70 x ? 900
???2 分 ???

? ? ? x ? 35 ? ? 325 , x ? [10,15] .
2

∵ x ? 35 ?[10,15] , P ? ? ? x ? 35 ? ? 325 在 [10,15] 上为增函数,
2



求 . 国 家 只 需 要 补 贴

得 ??????5 0 分?

P ?[
∴ 损.

?3
??????7 分

75 万 元 , 该 工 厂 就 不 会 亏

(2)设平均处理成本为
第 9 页 共 15 页

Q?
???9 分

y 900 ? x? ? 50 x x

???

? 2 x?
???11 分

900 ? 50 ? 10 , x
900 时等号成立,由 x ? 0 得 x ? 30 . x

???

当且仅当 x ?

因 此 , 当 处 理 量 为 30 吨 时 , 每 吨 的 处 理 成 本 最 少 为 10 万 元. ??????14 分 22. 解: (1)由题意得
2 ? ? a2 ? a1a3 , a22 ? a2 ? 2 , a2 ? 2 或 ? ? ? a3 ? a2 ? 2

??????3 分 a2 ? ?1 . 由 an ? 0 ,得 a2 ? 2 . (2)∵ a2k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成公比为 qk 的等比数列, a2k ?1 , a2k ?2 , a2 k ?3 成公比为 qk ?1 的等比数列 ∴ a2 k ?1 ? a2 k qk , a2k ?2 ? a2k ?1qk ?1 又∵ a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列, ∴ 2a2k ?1 ? a2k ? a2k ?2 . 得 2a2 k ?1 ?

??????4 分

a2 k ?1 ? a2 k ?1qk ?1 , qk
??????7 分

2?

1 ? qk ?1 , qk

qk ? 1 ? qk ?1 ? 1 , qk


1 qk ?1 ? 1

?

qk 1 1 1 , ? 1? ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 . qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1

∴ 数列数列 ?bk ? 为公差 d ? 1 等差数列,且

b1 ?

1 ?1. q1 ? 1

??????10 分

第 10 页 共 15 页

(3)由(2)得

bk ?

1 k ?1 . ? k , qk ? qk ? 1 k
2

??????12 分

a2 k ?1 ? k ? 1 ? ?? ? , a2 k ?1 ? k ?

a a a 2 ? k ?1 ? ? k ? ? 2? a2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ????? 3 ? a1 ? ? ? ?? ? ????? ? ? ? 1 ? ? k ? 1? , a2 k ?1 a2 k ?3 a1 ? k ? ? k ?1 ? ?1?
a2 k ?


2

2

2

a2 k ?1 ? k ? k ? 1? , qk a2 k ?1 ? k ?1, qk

d k ? a2 k ?1 ? a2 k ?
?14 分 ∴

?????

Dk ?

k ? k ? 3? . 2

?????

?16 分

法二: (2)对 1, 2, 4,6, 明: ⅰ)当 m ? 1 时, q1 ?

这个数列,猜想 qm ?

m ?1 ? m ? N* ? , 下面用数学归纳法证 m

1?1 ? 2 ,结论成立. 1

* ⅱ)假设 m ? k k ? N 时,结论成立,即 qk ?

?

?

k ?1 . k

则 m ? k ? 1时,

第 11 页 共 15 页

k ?1 ? k ?1 ? 由归纳假设, a2 k ? a2 k ?1 ? , a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? . 由 a2k , a2k ?1 , a2k ?2 成等差数列 k ? k ?
可知 a2 k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ?1 ? ∴ m ? k ? 1时结论也成立. 所以由数学归纳法原理知

2

? k ? 1?? k ? 2 ? ,于是 q
k
2

k ?1

?

a2 k ? 2 k ? 2 , ? a2 k ?1 k ? 1

qm ?

m ?1 m ? N* ? . ? m

??????7 分

此时 bk ?

1 1 ? ?k. qk ? 1 k ? 1 ? 1 k

∴ bk ?1 ? bk ? k ? 1 ? k ? 1 . ∴数列数列 ?bk ? 为首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 1 等差数 列. (3)对 1, 2, 4, 6, ??????10 分 这个数列,猜想奇数项通项公式为 a2k ?1 ? k 2 .

显然结论对 k ? 1 成立. 设结论对 k 成立,考虑 k ? 1 的情形. 由(2) , qk ?

k ?1 k ? N* ? 且 a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列, ? k
2 2

2 ? k ?1 ? 2 ? k ?1 ? 故 a2k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? ? k ?? ? ? ? k ? 1? ,即结论对 k ? 1 也成立. ? k ? ? k ?

从而由数学归纳法原理知

a2k ?1 ? k 2 .
于是

??????13 分

a2k ? k ? k ?1? , dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ?1 ,
14 分

??????

第 12 页 共 15 页

此时

Dk ? 2 ? 3 ?
16 分

? ? k ? 1? ?

k ? k ? 3? . 2

??????

23. 解: (1)由题意圆 O 的半径 r ?
2

2 1 ?

? 3?
?

2

? 1,

故圆 O 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.
由 OC ? xOA ? yOB 得, OC ? xOA ? yOB , 即 OC ? x OA ? y OB ? 2 xy OA OB cos 60 ,得
2 2 2 2 2

??????2 分
2

?

2

? 2 3 2 3? , x2 ? y 2 ? xy ? 1 ( x, y ? ? ? ? )为曲线 ? 的方程.(未写 x, y 范围不扣 3 ? ? 3
分)???4 分 (2)由 ?

?y ? x ? x ? y ? xy ? 1
2 2

得E?

? 3 3? ? 3 , 3 ? ?, ? ?
???6 分

? 3 3? F? ? , ? ?, ? 3 3 ? ? ?
由?

? y ? ?x
2 2 ? x ? y ? xy ? 1

得 M ? ?1,1? ,

N ?1, ?1? ,
由题意知 l1 ? l2 ,得四边形 EMFN 为菱形. 所以四边形 EMFN 的周长

???8 分

第 13 页 共 15 页

? 3 ? ? 3 ? 2 6 8 6 .???10 分 l ? 4 EM ? 4 ? ? 3 ? 1? ? ?? ? 3 ? 1? ? ? 4? 3 ? 3 ? ? ? ?
(3)由曲线 ? 为椭圆及曲线 ? 的方程为 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ( x, y ? ? ? 关于直线 y ? x 、 y ? ? x 和原点对称,下面证明: 设曲线 ? 上任一点的坐标为 P ? x0 , y0 ? ,则 x02 ? y02 ? x0 y0 ? 1 ,点 P 关于直线 y ? x
2 2 的对称点为 P 1 在曲线 ? 上,故曲线 ? 关 1 ? y0 , x0 ? ,显然 y0 ? x0 ? y0 x0 ? 1 ,所以点 P

2

2

? 2 3 2 3? , ,它 ?) 3 ? ? 3

于直线 y ? x 对称,同理曲线 ? 关于直线 y ? ? x 和原点对称. 即直线 y ? x 和 y ? ? x 为椭圆 ? 的对称轴,原点为椭圆 ? 的中心. 可以求得 x2 ? y 2 ? xy ? 1 和直线 y ? x 的交点坐标为 B1 ? ?

? ? ?

? 3 3? 3 3? ,? , B ? ? 2 ? 3 , 3 ? ? 3 3 ? ? ? ?

x2 ? y 2 ? xy ? 1 和直线 y ? ? x 的交点坐标为 A1 ? ?1,1? , A2 ?1, ?1? ,
2 3 6 2 2 , OA1 ? OB1 ? , OA1 ? 2 , OB1 ? 3 3
在 y ? ? x 上取点 F1 ? ?

OA1 ? OB1 2

2

2

?

6 . 3

? ? ?

? 6 6 6? 6? , , F , ? ? ? ? 即为椭圆 ? 的焦点. 2 ? 3 3 3 ? 3 ? ? ? ?
???12 分

∴ 椭圆 ? 的对称轴为直线 y ? x 和

y ? ?x ;

椭圆 ? 的顶点坐标为 A 1 ? ?1,1? , A2 ?1, ?1? , B1 ? ?

? ? ?

3 3? ,? ?, 3 3 ? ?

? 3 3? B2 ? ? 3 , 3 ? ? ;???14 分 ? ?
椭圆 ? 的范围为

第 14 页 共 15 页

? 2 3 2 3? x, y ? ? ? , ?; 3 ? ? 3
椭圆 ? 的焦点坐标为

???16 分

? ? 6 6 6? 6? F1 ? ? , , F , ? ? ? ?. 2 ? 3 3 ? ? 3 3 ? ? ? ? ?
说明:第(3)问过程未写不扣分.

???18 分

第 15 页 共 15 页


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