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必修5第三章不等式之线性规划问题150804


线性规划 区域表示
【例】不等式组 ?

?x ? y ? 2 表示的平面区域是( ? y?x



【解析】 不等式 x ? y ? 2 表示的是直线 x ? y ? 2 的左下方,y ? x 表示的是直线 y ? x 的左上方,因此选项 C 正确

线性目标函数:不含参、含参

>? x +y ? 2 ? 0 ? 【例】若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 0 ?

? x +y ? 2 ? 0 ? 【解析】不等式组 ? x ? y ? 0 表示的区域如图阴影部分所示: ?x ? 2 y ? 0 ?
当 直 线

2 x ? y ? z ? 0 经 过 点 B(4, ?2) 时 , z

取 得 最 大 值

1

6.

?x ? y ?1 ? 0 ? 【例】在平面直角坐标系中,实数 x , y 满足 ? x ? 1 ? 0 ,若 z ? ?2 x ? y ,则 z 的 ?x ? y ?1 ? 0 ?
取值范围是 .

【解析】如图

? ? x ? y ? 1, ? 【例】已知实数变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 且目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 4,则 ? 1 ?mx ? y ? 1 ? 0, 2 ?

实数 m 的值为( A.

) C.2 D.1

3 2

B.

1 2

2

【解析】如图所示直线 y ? 3x ? 4 分别与直线 y ? 1 ? x 、 y ? x 相交于 B 、 D 两点,因 为 ?z 代表的是直线 z ? 3x ? y 在 y 轴上的截距.从图中可得当直线 mx ?

1 y ?1 ? 0 经 2

过 D 点时,此时 z 取得最大值 4,易求得 D 点坐标为 (2, 2) ,代入求得 m ? 1

【例】已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 , ...
? ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

? x ? y ? 2 ? 0,

则实数 a 的值为( A.

) B.2 或

1 或-1 2

1 2

C.2 或 1

D.2 或-1

【解析】

3

a x 由题意作出其平面区域如图, 将 z ?y ?
纵截距,由题意可得

化为

y ? ax ? z,z 相当于直线 y ? ax ? z 的

,y ? ax ? z 与 y ? 2 x ? 2 或与 y ? 2 ? x 平行,故 a ? 2或 ? 1

? 2x ? y ? 0 ? x? y 【练 1】若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



? x ? 0, ? 【练 2】若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动 ?y ? x ? 2 ?
直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( A.1 B. )

3 2

C.

3 4

D.

7 4

?x ? 0 4 ? 【练 3】若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ,所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等 3 ?3 x ? y ? 4 ?
的两部分,则 k = A.

3 7

B.

4 3

C.

7 3

D.

3 4

?x ? y ? 3 ? 0 ? 【练 4】若直线 y ? 2 x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ?x ? m ?

( A.
1 2

) B.1 C.
3 2

D.2

?x ? y ? 1 ? 【练 5】已知不等式组 ? x ? y ? ?1 ,表示的平面区域为 M,若直线 y ? kx ? 3k 与平面 ?y ? 0 ?
区域 M 有公共点,则 k 的取值范围是( )

4

A. ? ? , 0 ? ? 3 ?

? 1

?

B. ? ??, ? 3

? ?

1? ?

C. ? 0, ? 3

? ?

1? ?

D. ? ??, ? ? 3

? ?

1? ?

?x ? 1 1 ? 【练 6】设不等式组 ? x ? y ? 3 ,其中 a ? 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ,则 2 ?y ? a x ?3 ? ? ?

a?



【解析 1】由题知可行域如图,令 z ? x ? y ,只需求出 z 的最大值即可。又 y ? ? x ? z , 所以只要求出直线在 y 轴上截距的最大值, 由图知, 当 x ? 1 ,y ? 2 时 z 最大, 所以 2 的最大值为 2 =8.
3 x? y

【解析 2】由题可知,根据不等式组画出可行域如图,当 a 从-2 连续变化到 1 时,目 标函数扫过的区域如图,故此区域的面积为 S ? S ?ABO ? S ?ACD ? 2 ?

1 1 7 ? 1? ? ; 2 2 4

【解析 3】作出可行域,求出点的坐标 A(0, ) , B(1,1) , C (0,4) ;? y ? kx ?

4 3

4 恒过点 3

4 4 A(0, ) ,所以当直线 y ? kx ? 经过 BC 的中点时,直线将平面区域分成面积相等的 3 3 7 5 1 4 两部分,则 ? x ? ,解得 k ? . 3 2 2 3

5

【解析 4】根据题意,画图,由直线 y ? 2 x 与约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 所对应的可行域有
?x ? m ?

?x ? y ? 3 ? 0 ?

公共点, 可知边界线 x = m 最右就是过直线 x + y - 3 = 0 与直线 y = 2 x 的交点, 即 (1, 2) 点时为所求的结果,所以 m 的最大值为 1,故选 B.

【解析 5】 由题意可知, 不等式表示的可行域如下图: 由于直线 y ? kx ? 3k 恒过点 (3,0) , 所以当直线过点 C 时斜率最小为 k ? ? .最大值为 0.故选 A.

1 3

y C A O B 3 x

【解析 6】根据约束条件画出可行域,设 z ? 2 x ? y ,将最大值转化为 y 轴上的截距,

?x ? 1 ? 当直线 z ? 2 x ? y 经过点 y=a ? x ? 3? 与 x=1 的交点时, z 最小,由 ? 1 得: 2 x ? y ? ? ? 2 ?x ? 1 3 ? ? 3 ,代入直线 y ? a ? x ? 3? 得, a ? . 4 y?? ? ? 2

非线性目标函数及其他运用
?x ? y ? 3 ? ? x ? y ? ?1 ?y ? 1 ?
y ?1 ,则 x ? 1 的取值范围为( )

【例】已知 x 、 y 满足约束条件

6

A.

??2, 2?

B.

? ??, ?2? ? ?2, ???

? 1? ?0, ? C. ? 2 ?

?2 ? ? , 2? D. ? 3 ?

【解析】根据约束条件,画出相应的可行域,可知该区域为以 A(0,1), B(2,1), C (1, 2) 为 顶点的三角形区域,而 定可以到无穷. 【例】设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ? 2 与 ?1 关于直

y ?1 表示的是点 ( x, y ) 与点 (1, ?1) 连线的斜率,由图可知,一 x ?1

? ?x ? 1

? ?y ? x

线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ? 2 中的任意一点 B, AB 的最小值 等于( A.2 ) B.4 C. 12

5

D. 28

5

【解析】由题意知,所求的 AB 的最小值,即为区域 ?1 中的点到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

可 得 点 ?11 , ?

到 直 线 3x ? 4 y? 9 ?

的 距 离 最 小 , 故 AB 的 最 小 值 为 0

2?

3? 1 ? ? 4 ?1 9 ?4 5

7

【练 1】已知 x,y 满足



x? y?6 的取值范围为( ) x?4
D. ?0, ? 7

A. ?0, ? 7

? 3? ? ?

B. ? 2,

? ?

20 ? 7? ?

C. ?1,

? 13? ? 7? ?

? 6? ? ?

?x ? y ? 3 ? 【练 2 】设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 , 则目标函数 z ? x 2 ? y 2 的最小值 ?2 x ? y ? 3 ?
为 .

?x ? y ? 4 ? 【练 3】已知不等式组 ? x ? y ? ?2 ,表示的平面区域为 D,点 O(0,0), A(1,0) .若点 M ?x ? 2 ?
是 D 上的动点,则

OA ?OM | OM |
B.

的最小值是(



A.

2 2

5 5

C.

10 10

D.

3 10 10

【解析 1】 不等式组表示的区域为直线 y ? 2, x ? ?3, x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形及内部, 三角形三个顶点为 ? ?3,2? , ?3,2? , ? ?3, ?4? ,

x? y?6 y?2 y?2 ? 1? , 其中 看作两点 x?4 x?4 x?4 x? y?6 6? ? 13? , 所以 的范围是 ?1, ? ? x?4 ? 7? ? 7?

? 结合图形可知斜率的范围是 ?0, ? x, y ? , ? 4, 2? 斜率,
【解析 2】画出如图所示的可行域

8

z ? x 2 ? y 2 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,由图可得其最小值是原点
32 9 ? . 2 2 2 1 ?1 ???? ????? ? OA ?OM ? ? 【解析 3】设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 ???? | OM |
到直线 x+y=3 的距离的平方 ?

x x2 ? y 2

,根据约束条件画出可行

???? ? ???? ? OA ?OM ? ? 域可知 x ? 0 ,故 ???? | OM |

x2 ? x2 ? y 2

y 1 ,而 的几何意义为可行域的点与 2 x y 1? 2 x

原点所确定直线的斜率, 数形结合可知

OA ?OM y 10 的最大值为 3 , 则 的最小值为 。 x 10 | OM |

? x ? y ? 2 2 ? 0, ? ? 【例】 已知不等式组 ? x ? 2 2, 表示平面区域 ? , 过区域 ? 中的任意一个点 P , ? ? ?y ? 2 2
2 2 作圆 x ? y ? 1 的两条切线且切点分别为 A, B ,当 ?APB 最大时, PA ? PB 的值为

??? ? ??? ?

( A. 2

) B.

3 2

C.

5 2

D. 3

9

【 解 析 】 如 图 所 示 , 画 出 平 面 区 域 ? , 当 ?APB 最 大 时 , ?APO 最 大 , 故

sin ?APO ?

AO 1 ? 最 大 , 故 OP 最 小 即 可 , 其 最 小 值 为 点 O 到 直 线 OP OP 1 0 ,此时 ?APB ? 2?APO ? 60 ,且 2

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 d ? 2 ,故 sin ?APO ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 PA ? PB ? 4 ? 1 ? 3 ,故 PA ? PB ? PA ? PB cos ?APB ? .故选 B. 2

10


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