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高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定试题2 新人教A版必修2


2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、选择题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α ; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α ; ③如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2

D.3 2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β ,则 a 与 β 的关系是( ) A.a⊥β B.a∥β C.a? β D.a? β 或 a∥β 3.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α ,PB⊥α ,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )

A.4 B.3 C.2 D.1 6.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线与平 面成等角,有如下命题: ①△ABC 是正三角形;②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心;④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________. 8. 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, BC=CC1,当底面 A1B1C1 满足条件________时,有 AB1⊥BC1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直 角,则∠C1MN=________.

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三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB.

11.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB,PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

能力提升 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为 ABCD 的中心,求证 B1O⊥ 平面 PAC.

13.如图所示,△ABC 中,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABC,过点 A 向 SC 和 SB 引垂线,垂足分 别是 P、Q,求证:(1)AQ⊥平面 SBC;
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(2)PQ⊥SC.

1.运用化归思想,将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定,而 同时还由此得到直线与直线垂直.即“线线垂直?线面垂直”. 2.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论: ①若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α ; ②若 α ∥β ,a⊥α ,则 a⊥β . 3.线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是 90°. (2)线面垂直,则线线垂直.

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 答案 知识梳理 1.(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 (2)两条相交直线 a? α b? α a∩b=A 2.(1)射影 锐角 ∠PAO (2)0° [0°,90°] 作业设计 1.B [只有④正确.] 2.D 3.C [取 BD 中点 O,连接 AO,CO, 则 BD⊥AO,BD⊥CO, ∴BD⊥面 AOC,BD⊥AC, 又 BD、AC 异面,∴选 C.] 4.B [易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC.]

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? ? PA⊥平面ABC? PA⊥BC? ?? ? ? ? BC? 平面ABC? AC⊥BC? ? BC⊥平面 PAC? BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.] 6.A [PO⊥面 ABC. 则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO 全等, OA=OB=OC, O 为△ABC 外心. 只有③正确.] 7.(1)45° (2)30° (3)90° 解析

5.A [

(1)由线面角定义知∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角,∠A1BA=45°. (2)连接 A1D、AD1,交点为 O, 则易证 A1D⊥面 ABC1D1,所以 A1B 在面 ABC1D1 内的射影为 OB, ∴A1B 与面 ABC1D1 所成的角为∠A1BO, 1 ∵A1O= A1B, 2 ∴∠A1BO=30°. (3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1, ∴A1B⊥面 AB1C1D,即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 90°. 8.∠A1C1B1=90° 解析

如图所示,连接 B1C, 由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90°等) 9.90° 解析 ∵B1C1⊥面 ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M, ∴MN⊥面 C1B1M, ∴MN⊥C1M. ∴∠C1MN=90°. 10.证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF,

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∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF? 平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB. 11.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, 1 ∴GF 綊 CD,∴GF 綊 AE, 2 ∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG? 平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 12.证明 连接 AB1,CB1,设 AB=1. ∴AB1=CB1= 2,

∵AO=CO,∴B1O⊥AC. 连接 PB1. 3 2 2 2 ∵OB1=OB +BB1= , 2 9 2 2 2 PB1=PD1+B1D1= , 4 3 2 2 2 OP =PD +DO = , 4 2 2 2 ∴OB1+OP =PB1.∴B1O⊥PO, 又∵PO∩AC=O, ∴B1O⊥平面 PAC. 13.证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AQ? 平面 SAB, ∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B,
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∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC? 平面 SBC, ∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, ∴SC⊥平面 APQ.∵PQ? 平面 APQ,∴PQ⊥SC.

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