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2015年高考真题(四川卷)理科数学试卷(Word版)


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2015 年普通高等学校招生考试全国统一考试(四川卷)


第Ⅰ卷
注意事项:

学(理工类)
(选择题 共 50 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题

) 。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效。 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要 求的。 1、设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A (A) {x | ?1 ? x ? 3} (C) {x |1 ? x ? 2} 2、设 i 是虚数单位,则复数 i ?
3

B?(



(B) {x | ?1 ? x ? 1} (D) {x | 2 ? x ? 3}

2 ?( ) i (A) ?i (B) ? 3i (C) i 3、执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )
(A) ?

(D) 3i

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D) )

1 2

4、下列函数中,最小正周期为 ? 且图象关于原点对称的函数是( (A) y ? cos(2 x ?

?

2

)

(B) y ? sin(2 x ?

?

2

)

(C) y ? sin 2 x ? cos 2 x 5、过双曲线 x ?
2

(D) y ? sin x ? cos x

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A , B 两点, 3

则 | AB |? (



(A)

4 3 3

(B) 2 3

(C) 6

(D) 4 3 )

6、用数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数共有(

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(A) 144 个

(B) 120 个

(C) 96 个

(D) 72 个

7 、 设 四边 形 ABCD 为 平行 四 边形 , | AB |? 6 , | AD |? 4 。 若点 M , N 满 足 BM ? 3 MC ,

DN ? 2 NC ,则 AM ? NM ? (
(A) 20 (B) 15

) (C) 9
a b

(D) 6 )

8、设 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ 3 ? 3 ? 3 ”是“ loga 3 ? logb 3 ”的( (A)充要条件 (C)必要不充分条件 9、如果函数 f ( x) ? 的最大值为( (A) 16 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1( m ? 0 ,n ? 0 )在区间 [ , 2] 上单调递减,那么 mn 2 2
(B) 18 (C) 25 (D)



81 2

2 2 2 2 10、设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A , B 两点,与圆 ( x ? 5) ? y ? r ( r ? 0 )相切于点 M ,

且 M 为线段 AB 的中点。若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( (A) (1,3) (B) (1, 4) (C) (2,3)



(D) (2, 4)

第Ⅱ卷
注意事项:

(非选择题 共 100 分)

必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。 作图题可先用铅笔 绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、在 (2 x ? 1) 的展开式中,含 x 的项的系数是____________(用数字填写答案) 。
5
2

12、 sin15 ? sin 75 的值是____________。 13、 某食品的保鲜时间 y(单位: 小时) 与储藏温度 x (单位:C ) 满足函数关系 y ? e 保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 C 的保鲜时间是____________小时。 14、如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在 线段 PQ 上, E , F 分别为 AB , BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? ,则
kx ?b

( e ? 2.718 ???

为自然对数的底数,k ,b 为常数) 。若该食品在 0 C 的保鲜时间是 192 小时,在 22 C 的

cos ? 的最大值为____________。
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15 、 已 知 函 数 f ( x) ? 2x , g ( x) ? x 2 ? ax ( 其 中 a ? R ) 。 对 于 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 设

m?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? 。现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2
①对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; ③对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; ④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 。

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 设数列 {an } ( n ? 1, 2,3, ??? )的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? ! , a3 成等差数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 1 成立的 n 的最小值。 } 的前 n 项和为 Tn ,求使得 | Tn ? 1|? 1000 an

17、(本小题满分 12 分) 某市 A , B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生, B 中学推荐 了 3 名男生、 4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当,从参加集训的 男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队。 (Ⅰ)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (Ⅱ )某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛。设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的 分布列和数学期望。

18、(本小题满分 12 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示。在正方体中,设 BC 的中点为 M , GH 的中点为 N 。 (Ⅰ )请将字母 F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需 说明理由) ; (Ⅱ )证明:直线 MN // 平面 BDH ; (Ⅲ)求二面角 A ? EG ? M 的余弦值。

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19、(本小题满分 12 分) 如图, A , B , C , D 为平面四边形 ABCD 的四个内角。 (Ⅰ )证明: tan

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A

(Ⅱ )若 A ? C ? 180 , AB ? 6 , BC ? 3 , CD ? 4 , AD ? 5 , 求 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 的值。 2 2 2 2

20、(本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率是 ,过点 P(0,1) 的 a b 2 动直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点。当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截
得的线段长为 2 2 。 (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

| QA | | PA | ? 恒成立?若存 | QB | | PB |

21、(本小题满分 14 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a ,其中 a ? 0 。

(Ⅰ )设 g ( x) 是 f ( x ) 的导函数,讨论 g ( x) 的单调性; (Ⅱ )证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间 (1, ?? ) 内恒成立,且 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内 有唯一解。 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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