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2008年漳州市高中自主招生四校联考数学


2008 年漳州市高中自主招生四校联考 数 学 试 卷 (满分:150 分;考试时间:120 分钟)
一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有 A、B、C、D 四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确答案的代号填写在答题卷中 相应的表格内,答对得 4 分,答错、不答或答案超过一个的得零分) 1.下列计算正确的是( ) A. ? a ? ( ? a ) ? a
3 2 5

B. (2a ) ? 8a
2 3

5

C. a ? a ? a
3 2

6

D. ( a ) ? a

?2 3

?6

2.已知 0 ? x ? 1 ,则x ,x , 的大小关系是(
2

1 x

) D. x ? x ?
2

1 1 2 C. x ? ? x ? x ? x2 x x ?x 3.按下面的运算程序:输入 x 平方
A. B.

1 ? x2 ? x x

1 x

?2

答案

若输入 x ? ?2 ,则输出的答案是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.四张完全相同的卡片上,分别画有圆、矩形、等边三角形、平行四边形,现从中随机抽 取一张,卡片上画的恰好是中心对称图形的机会是( ) A.

3 4

B.
2

1 4

C.

1 2

D. 1 )

5.已知 x1 、 x2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两根,则 x12 ? x2 2 的值是(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.右图是由一些边长为 1 的小正方形构成的几何体 的三视图,则这个几何体的体积是( ) 左视图 主视图 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.下列命题中,是真命题的为( ) A.三个点确定一个圆 俯视图 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 (第 6 题图) C.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 D.如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是菱形,那么这个梯形是等腰梯形 8.小亮从 A 点出发前进 10m ,向右转 60? ,再前进 10m ,又向右转 60? ,…,这样一直 走下去,他第一次回到出发点 A 时,一共走了( ) A. 30 m B. 60 m C. 80m D. 100m 9.先作半径为 1 的圆,再作它的内接正三角形,接着作上述内接正三角形的内切圆,再作
数学答案 第1页 共 10 页

上述内切圆的内接正三角形,…,则按以上规律作出的第 2008 个圆的半径为( A. ( )2006



1 2

B. ( )2007

1 2

C. ( )2008

1 2

D. ( )2009

1 2

10.如图,把 Rt ?ABC 依次绕顶点沿水平线翻转两次,若

?C ? 90? , AC ? 3 , BC ? 1 ,那么 AC 边从开始到
结束所扫过的图形的面积为( A. ) C.

7? 4

B.

7? 12

9? 4

D.

25? 12

二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.请将正确的答案直接填写 在答题卷中相应的横线上) 11.计算: 2cos30 ? tan 60 ?
? ?



12.某单位 4 月份随机抽查了该单位 5 天的用电量(单位:度) ,结果分别是:110 ,101 , 度. 121, 119 , 114 ,请你估计该单位 4 月份平均每天的用电量约为 13.一个几何体是由边长为 3 、 4 、 5 的三角形绕其最短边所在直线旋转一周而成的,则 这个几何体的表面积为 . 14 . 反 比 例 函 数 y ? (m ? 1) x 是 .
m2 ?3

,当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小,则 m 的值

15.从 ?1 , 1 , 2 这三个数中,任取两个不同的数作为一次函数 y ? ax ? b 的系数 a, b , 则一次函数 y ? ax ? b 的图象不经过第三象限的概率是 16.如图, △ABC 中, ?B,?C 的平分线相交于点 O , 过 O 作 DE ∥ BC 交 AB, AC 于点 D, E ,若 AD ? 2 ,
D B (第16题图)
2 2


A

O

E

AE ? 3 , DE ? 4 ,则 BC 等于
2


2

C

17.定义一种运算 :当 a ? b 时, a ? b ? a ? b ;当 a ? b 时, a ? b ? a ? b ,则方 “?” 程 x ? 2 ? 12 的解是 . 18.往杯子里注水(单位时间内的注水量保持不变) ,杯中水的高度 h 与注水时间 t 的关系 如图所示,则杯子的形状可能是 (填上以下四种杯子所有可能的编号) .

数学答案

第2页

共 10 页

三、解答题(本大题共有 6 小题,共 78 分.其中第 19 题 8 分,第 20、21 题各 12 分,第 22 题 14 分,第 23、24 题各 16 分.请将解答过程写在答题卷的相应位置上) 19.化简求值: (

1 1 1 ? ) ? ( x ? ) ,其中 x ? 2 . x ?1 x ? 1 x
?

20.如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , O 是斜边 AB 上的一点,圆 O 过点 A 并与边 BC 相切于点 D ,与边 AC 相交于点 E . (1)求证: AD 平分 ?BAC ; (2)若圆 O 的半径为 4 , ?B ? 30 ,求 AC 长.
?

C E D

A O B

? 2x ? 5 ? x ?5 ? ? 3 21.已知关于 x 的不等式组 ? . ?x?3 ? x?a ? ? 2
(1)当 a ? 2 时,求不等式组的解; (2)若不等式组有且只有 5 个整数解,求实数 a 的取值范围.

第20 题

22.丹霞服饰店现有 A、B、C 三种品牌的衣服和 D、E 两种品牌的裤子,温馨家现要从 服饰店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子. (1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示) ; (2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么 A 品牌衣服被选中的概率是多少? 衣服价格 A:300 B:200 C:150 裤子价格 D:150 E:100

(3)现选购衣服和裤子共 6 件(价格如图所示,单位:元/件),恰好花了 1200 元,其中衣 服是 A 品牌的,问购得的 A 品牌衣服有几件? 23.如图,二次函数 y ? ax ? bx 的图象与一次函数 y ? x ? 2 的图象交于 A 、 B 两点,
2

点 A 的横坐标是 ?1 ,点 B 的横坐标是 2 . (1)求二次函数的表达式; (2)设点 C 在二次函数图象的 OB 段上,求四边 形 OABC 面积的最大值; (3) 试确定以点 A 为圆心, 半径为

7 的圆与直线 5
第3页 共 10 页

OB 的位置关系.
数学答案

24.如图,直线 l : y ?

4 x ? 4 交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 点,四边形 ABCD 为等腰梯形, 3

BC ∥ AD , AD ? 12 . (1)写出点 A 、 B 、 C 的坐标;
(2) 若直线 l 沿 x 轴正方向平移 m (m ? 0) 个单位长度, 与 BC 、AD 分别交于 E 、F 点, 当四边形 ABEF 的面积为 24 时,求直线 EF 的表达式以及点 F 到腰 CD 的距离; (3) 若 B 点沿 BC 方向, 从 B 到 C 运动, 速度为每秒1 个单位长度, A 点同时沿 AD 方向, 从 A 到 D 运动,速度为每秒 2 个单位长度,经过 t 秒后, A 到达 P 处,B 到达 Q 处,问: 是否存在 t ,使得 ?PQD 为直角三角形?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理 由.

数学答案

第4页

共 10 页

2008 年漳州市高中自主招生四校联考 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 A

二、填空题(本大题共有 8 小题,每题 4 分,共 32 分) 11.0; 12.113; 13.36 ? ; 18.①或② 14. 2 ; 15.

1 36 ; 16. ; 3 5

17. x ? 2 2 或 x ? ?4 ;

(选择题、填空题没有中间分)

三、解答题(本大题共有 6 小题,第 19 题 8 分;第 20、21 题每题 12 分;第 22 题 14 分; 第 23、24 题每题 16 分;共 78 分) 19.解: (

1 1 1 ? ) ? (x ? ) x ?1 x ? 1 x

?

( x ? 1) ? ( x ? 1) x 2 ? 1 ? ……………………………………………2 分 ( x ? 1)( x ? 1) x

?

2 ( x ? 1)( x ? 1) …………………………………………4 分 ? ( x ? 1)( x ? 1) x

?

2 ………………………………………………………………………6 分 x
2时

当x ? 原式 ?

2 ? 2 …………………………………………………………8 分 2

20. (1)证明:连结 OD ,则 OD ? BC ……………2 分

? ?C ? 90? ,? AC ? BC
? OD // AC ………………………………………3 分 ? ?ODA ? ?CAD ……………………………4 分


? OA ? OD ? ?ODA ? ?DAO …………………………
………………5 分
数学答案 第5页 共 10 页

? ?DAO ? ?CAD
即 AD 平分 ?BAC …………………………………………………………6 分 (2)解法一:在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , ?B ? 30?

? ?BAC ? 60?
由(1)得,? ?DAO ? ?CAD ? 30? ………………………………………8 分 过点 O作OK ? AD, 垂足为K,则AD ? 2 AK 在 Rt?AOK 中,

AK ? cos ?DAO OA

? AD ? 2 AK ? 2 ? OA ? cos 30? ? 4 3 ……………………………………10 分
在 Rt?ACD 中,

AC ? cos ?CAD AD

? AC ? AD ? cos ?CAD ? 4 3 ? cos 30? ? 6 ……………………………12 分
解法二:在 Rt?OBD 中, ?B ? 30?

? OB ? 2OD ? 8, ………………………………………………………………8 分

? AB ? AO ? OB ? 12
在 Rt?ACB 中, AC ?

1 AB ? 6 ………………………………………………12 分 2

? 2x ? 5 ? x ?5 ? ? x ? 20 ? 3 21. 解:由 ? 得? ………………………………………4 分 ? x ? 3 ? 2a ?x?3 ? x?a ? ? 2
(1)当 a ? 2 时,由上可得 ?

? x ? 20 ? x ? ?1
……………………………………………6 分 ……………………………………………9 分 ………………………………………12 分

?原不等式的解为 ? 1 ? x ? 20 .
(2)依题意,得 14 ? 3 ? 2a ? 15

? ?6 ? a ? ?

11 2

说明:第(1)题,直接把 a ? 2 代入求解, x ? 20和x ? ?1 各得 2 分; 第(2)小题不等式 14 ? 3 ? 2a ? 15 没写等号,后面的解答无错误,给 3 分.
数学答案 第6页 共 10 页

22.解:(1) 树状图或列表如下

………3 分 有 6 种可能结果:(A,D), (A,E) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) .……4 分 (注:用其它方式表达选购方案且正确给 1 分) (2) 因为选中 A 品牌衣服有 2 种方案,即(A,D)(A,E) ,………………………5 分 所以 A 品牌衣服被选中的概率是
1 …………………………………………………7 分 3

(3)当选用方案(A,D)时,设购买 A 品牌衣服、D 品牌裤子分别为 x,y 件, 依题意,得 ? 解得 ?

?x ? y ? 6 …………………………………………………9 分 ?300 x ? 150 y ? 1200

?x ? 2 …………………………………………………………………………10 分 ?y ? 4
?x ? y ? 6 ………………………………………………12 分 ?300 x ? 100 y ? 1200

当选用方案(A,E)时,设购买 A 品牌衣服、E品牌裤子分别为 x,y 件, 依题意,得 ? 解得 ?

?x ? 3 ………………………………………………………………………13 分 ?y ? 3

答:温馨家购得的 A 品牌衣服为 2 件或 3 件.…………………………………14 分 解法二:由(2)可知,当选用方案(A,D)时,设购买 A 品牌衣服 x 件, 则 D 品牌裤子为 (6 ? x) 件,依题意,得 300 x ? 150 (6 ? x) ? 1200 …………9 分 解得 x ? 2 ,? 6 ? x ? 4 ……10 分,以下略.

23.解:(1)把 x ? ?1 和 x ? 2 代入 y ? x ? 2 得 A 的坐标为(-1,1),B 的坐标为(2,4).…………………………………1 分

? A, B 在二次函数 y ? ax2 ? bx 的图象上
?a ? b ? 1 ?? ……………………………………………………………2 分 ?4 a ? 2 a ? 4
数学答案 第7页 共 10 页

解得 ?

?a ? 1 …………………………………………………………………3 分 ?b ? 0

?二次函数的表达式为 y ? x 2 .……………………………………………4 分
(2)如图,设四边形 OABC 的面积为 S,点 C 的坐标为 (t , t ) , 0 ? t ? 2
2

分 别 过 点 A, B, C 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 依 次 为 A1 , B1 , C1 , 则

OA1 ? 1, AA1 ? 1, OC1 ? t , C1C ? t 2 , B1C1 ? 4 ? t , BB1 ? 4 ……………………5 分
于是, S ? S 梯形AA1B1B ? S ?OC1C ? S 梯形CC1B1B ? S ?OA1 A …………………………6 分 =

1 1 1 1 ? ( 1? 4 ) ? ( 1? 2 ) ? ?t ?t2 ? ? (t 2 ? 4 ) ? ( 2 ? t) ? ? 1? 1 2 2 2 2
2

= ? t ? 2t ? 3

(t ? 1 )?4 =?
2

………………………9 分

?当 t ? 1 时, S 的最大值为 4. 即四边形 OABC 的面积的最大值为 4 ………10 分.
(3)可求得

OA ? 2 , AB ? 3 2 , OB ? 2 5

…………11 分

? OA2 ? AB 2 ? OB 2

? ?OAB ? 90? ……………………… ………12 分
过点 A 作 AD ? OB 于 D 由

1 1 ? AD ? OB ? ? OA ? AB 得…………13 分 2 2
OA ? AB ? OB 2 ?3 2 3 5 ? …………………………………………14 分 5 2 5

AD ?

? AD ?

7 5

?圆 A 与直线 OB 相交. …………………………………………………………16 分
24.解: (1) A(?3,0), B(0,4) , C (6,4) .…………………………………………3 分 (2)? BC ∥ AD , EF // AB
数学答案 第8页 共 10 页

?四边形 ABEF 为平行四边形.
? S ABEF ? AF ? OB ? 4m ,又 S ABEF ? 24

? m ? 6 ………………………………………………………………………………5 分
? F (3,0)

4 4 x ? b ,则 0 ? ? 3 ? b , b ? ?4 3 3 4 ?直线 EF 的表达式为 y ? x ? 4 …………………………………………………6 分 3 过点 C 作 CG ? AD 于 G ,
设直线 EF 的表达式为 y ? 为等腰梯形, ?四边形 ABCD

? DG ? OA ? 3 , 在 Rt?CGD 中,
CD ? CG 2 ? DG 2 ? 4 2 ? 32 ? 5

CG 4 ? ……………8 分 CD 5 过点 F 作 FH ? CD 于 H , sin ?CDG ?
在 Rt?FHD 中,

FD ? AD ? AF ? 12 ? 6 ? 6 FH FH 4 ? sin ?HDF即 ? FD 6 5
? FH ? 24 , 5 24 .……………………………………………………10 分 5

即点 F 到腰 CD 的距离为

证法二:利用相似可以求得. 过点 C 作 CG ? AD 于 G ,过点 F 作 FH ? CD 于 H ,

?四边形 ABCD 为等腰梯形,? DG ? OA ? 3 ,
在 Rt?CGD 中, CD ?

CG 2 ? DG 2 ? 4 2 ? 32 ? 5

在 Rt?FHD 中, FD ? AD ? AF ? 12 ? 6 ? 6 …………………………………8 分 由 Rt?CGD ∽ Rt?FHD 得

CG CD 4 5 即 ? ? FH FD FH 6

? FH ?

24 24 ,即点 F 到腰 CD 的距离为 .…………………………………10 分 5 5
数学答案 第9页 共 10 页

(3) 过点 Q 作 QK ? AD 于 K ,依题意,得

BQ ? t , AP ? 2t , PD ? 12 ? 2t , PK ? t ? 3 , DK ? 9 ? t ,0 ? t ? 6
于是 PQ ? 4 ? (t ? 3) ? t ? 6t ? 25 ;
2 2 2 2

DQ 2 ? 4 2 ? (9 ? t ) 2 ? t 2 ? 18t ? 97 PD 2 ? (12 ? 2t ) 2 ? 4t 2 ? 48t ? 144 ……12 分
①? ?QDP ? ?CDP ? ?QDP 不可能为直 角. …………………………………………13 分 ②若 ?DPQ ? 90? ,则 PQ ? PD ? DQ ,
2 2 2

t 2 ? 6t ? 25 + 4t 2 ? 48t ? 144 = t 2 ? 18t ? 97
整理得 t ? 9t ? 18 ? 0
2

解得 t ? 3 或 t ? 6 (舍去)……………………………………………………14 分 ③若 ?PQD ? 90? ,则 PQ ? DQ ? PD ,
2 2 2

t 2 ? 6t ? 25 + t 2 ? 18t ? 97 = 4t 2 ? 48t ? 144
整理得 t ? 12t ? 11 ? 0
2

解得 t ? 1 或 t ? 11 (舍去) …………………………………………………15 分 综上,当 t ? 3 或 t ? 1 时, ?PQD 为直角三角形.………………………………16 分

数学答案

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