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高一数学竞赛试题


高一数学竞赛试题
命题人:史志全 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列结论中正确的是( A. ?0?? ?0,1,2,3? C. x | x ? 0 ? ?
2

8 . 已 知 a, b, c, d 为 正 实 数 , 且 a 2 ? 2, b 3 ? 3, c 4 ? 4, d 5 ? 5 , 则 a, b,

c, d 中 最 大 的 数 是 ( ) A. a 9.已知 ? B. b C. c D. d ( )

) B. 2 ? 无理数

?

?
?

?x ? y ? 4 x 则 ? y ? xy ? 2
B.8
2

y 的值是 x
C

?

?

D. 等腰三角形 ? 等腰直角三角形 )

?

? ?

A. 2 2

6


D. ? 2 2

2.函数 y ? x ? 2 的图象是(

10.已知 a ? lg e , b ? ? lg e ? A.a<b<c
11 9

, c ? lg e ,则( C.b<a<c

B.b<c<a
5

D.a <c<b

11.设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 5, 其中 a,b,c 均为常数,且 f (?7) ? ?7, 则 f (7) =( ) A.13 B.15 C.17 D.19 12.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

3. 一个教室的面积为x m , 其窗子的面积为y m , (x>y), 如果把y/x称为这个教室的亮度, 现在 2 教室和窗子同时增加z m , 则其亮度将( ) A. 增加 f(x)=( ) B. 减小 C. 不变 D. 不确定 4 . 奇 函 数 f ( x)在(0,??)上的表达式为 f ( x) ? x ? A. ? x ?

2

2

x , 则在(??,0)上的f ( x) 的 表 达 式 为
y ? f ( x)

x

B. x ? ? x D. ? x ? ? x ) B.偶函数 D.非奇非偶函数 )

y ? g ( x)

C. ? x ? ? x 5.函数 f ?x? ? x ? 2 ? x ? 2 是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

给出下列四种说法: (1)方程 f [ g ( x)] ? 0有且仅有6个根 (2)方程 g[ f ( x)] ? 0有且仅有3个根 (3)方程 f [ f ( x)] ? 0有且仅有5个根 (4)方程 g[ g ( x)] ? 0有且仅有4个根 则说法错误的个数为( ) C.3 D.4
_

6. 已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上为 x 的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) ) D. [2,??)

A.1 B.2 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. A ? x x ? ?0,1? ,用列举法表示集合 A=__________ 14.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ?

?

?

7.函数 y ? log x?1(5 ? 4 x ) 的定义域是( A.(-1,0) B.(0, log4 5 )

1 对称,则 2

C.(-1, log4 5 )

D. (-1,0) ∪(0, log4 5 )

f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? f ? 4? ? f ?5? ? __________
15. 若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1| (a>0 且 a≠1) 的图象有两个公共点, 则 a 的取值范围是_________

(x 16.若 f ? x ? ? lg

2

?2 x ?a )

的值域为 R,则 a 的取值范围为

20.(12 分)设函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? a, 其中 a 是实数。 (1)对任意的 x ??1, e? , f ( x) ? g ( x) 总成立,求 a 的取值范围 (2)存在 x0 ??1, e? , 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围

三.解答题(共 70 分,需要写出详细求解过程)
17.(10 分)已知集合 M ? ??3, x ? 1, x
2

? , N ? ? x ? 5, 2 x ? 1, x

2

? 1? ,M∩N= ??3? 时,求 x 的值

18 . (12 分)设集合 A ? {x | x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} ,若 A∩ R ? ? ? ,求实数 p 的取范围

21.(12 分)设 α,β 是 lg2 x ? lg x2 ? 3 p ? 0 的两个实根。 (1)求 p 的取值范围; (2)把 q ? log?

? ? log ? ? 表示成 p 的函数;

(3)求 q 的范围. 19.(12 分)函数 f ( x ) 的图像由两条射线及抛物线的一部分组成,根据图像求出 f ( x ) 的解析式 y 2 22.(12 分)已知 f ( x ) ? 1 x

2x ,求 1? x 1 2 100 1 2 100 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ??? f ( )? f ( ) ??? f ( ) 2 2 2 100 100 100

0

1

2

3

4

的值。


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