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[初二数学]八年级数学下册各章节复习题分章节题精品



《十六章
考点一 识别出分式 分式的定义:式子为

分式》复习

A 的形式.A、B 都是整式,并且 B 中都含有字母 B 1.下列各式中是分式的有 。

①9x+4, ② 7 ,
x

③9? y ,
20

④ m?4 ,
5

⑤ 8y ? 3 ,
y2

⑥ 1

x 7 ? x?9⑦ 2 y

1 4x x 2 ? y 2 1 5x 2 , , ? x, 2、下列各式: ?1 ? x ?, 其中分式共有( 5 ? ?3 2 x x

)个。

A、2 4.代数式 A.1 考点二 知识

B、3

C、4 )

D、5

x 1 x2 a , x, , 中,分式的个数是( x ?1 3 x ?

B.2

C.3

D.4

指出分式有意义或无意义时字母的取值范围 A A 分式 有意义只要满足 ,若分式 无意义只要满足 B B



x?3 1 有意义 ;当 x____________时,分式 无意义; x ?1 x ?1 x ?1 2.当 x=______时,分式 有意义; 当 x=________时,分式 1 没有意义. x-3 x ?1 3 当x 时,分式 无意义; 1? x 3、当 x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是( ) 1 2 2 1 A. 2 B. 2 C. 2 D. x?2 x ?2 x ?1 x

1.当 x______时,

4.写一个分式,使它满足当 x≠4 时有意义。_______________________________ 考点三 知识 指出分式的值为零时字母的取值 A 分式 =0 必须同时满足两个条件① B
x2 ?1 的值为零,则 x 的值是( x ?1



1.若分式

) C.-1 D.0

A.1 或-1

B.1

x?3 x2 ? x 2.当 x_______时,分式 的值为零; 当 x=______时,分式 的值为 0. x ?1 x

3.当 m=_________时,分式

( m ? 1)( m ? 3) 的值为 0。 m 2 ? 3m ? 2
1

4.若分式

| y | ?5 的值等于 0,则 y= __________ . 5? y

1 5.若分式 的值为整数,则整数 x= 3-x 6.当 x 考点四 知识
2 时,分式 x ? 9 的值为零.

x?3

分式的基本性质 一个分式的分子、分母同乘(或除以)一个不为 0 的
10 x 中的 X、Y 都扩大 10 倍,则分式的值是( x? y

,分式的值不变。 )
1 10

1、如果把分式 A、扩大 100 倍 2.把分式

B、扩大 10 倍

C、不变

D、缩小到原来的 )

2x ? 2 y 中的 x,y 都扩大 2 倍,则分式的值( x? y

A.不变 3、使分式

B.扩大 2 倍

C.扩大 4 倍

D.缩小 2 倍

5 5x ? 2 从左至右变形成立的条件是( ) x ? 3 x ? 3x A、x<0 B、x>0 C、x≠0 D、x≠0 且 x≠3 0 .5 x ? 1 4、不改变分式 的值,把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数,则所得结果为 0 .3 x ? 2 ( ) 5x ? 1 5 x ? 10 2x ? 1 x?2 A、 B、 C、 D、 3x ? 2 3x ? 2 3 x ? 20 3 x ? 20 5.填写出未知的分子或分母:

(1)

3x ( ) y ?1 1 . ? 2 , (2) 2 ? 2 x? y x ? y y ? 2 y ?1 ( )

6.下列各式中正确的是(
A. C. ?a ? b ?a ? b ?a ? b ?a ? b ? ? a?b a?b a?b a ?b


B. a?b ?? a?b

?a ? b a?b ?a ? b a ? b D. ? a?b b?a

7、下列各式从左到右的变形正确的是( ) 1 x? y 0.2a ? b 2a ? b 2 ? 2x ? y ? A. B. 1 a ? 0.2b a ? 2b x ? 2 y x? y 2 C. ?
x ?1 x ?1 ? x? y x? y

D.

a ?b a ?b ? a ?b a ?b
2

约分:把一个分式的分子和分母的 多项式要先因式分解) 1 约分 (1)

约去,这种变形称为分式的约分(分子,分母是

?2a 2b x? y ? ______________ (2) ? _________ 4abc y?x

( x ? y)2 ? _________ ( y ? x )3
2.化简分式:

? x2 ? 4 (4) 2 ? x ? 5x ? 6 ?

?? ??

? ? _________ ?

5ab x2 ? 4x ? 4 ? ______, =________. 20a 2b x?2

考点五 找最简公分母 .通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分式 的通分. 方法:一般取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积。分母是多项式要先因式 分解 1.
3 a?b 与 2 的最简公分母是 2 2a b ab c x ?1 x ?1 和 2 的最简公分母是 2 x ?x x ?x

2.分式

1 1 1 , , 的最简公分母是_______. 2 2 3 3 x y 4 xy ?2 x

考点六 简单分式的加减乘除四则运算 知识 1 分式的乘除法法则: 和分数的乘法与除法法则一样。 只是分子、分母是多项式时,要先分解因式,再进行约分. 乘法法则: 乘方法则: 除法法则:
2 4 ? x x

. . . 8a2b4?
? 3a 4b 3

1.

2.

3.

x ? 2 x2 ? 9 ? x ? 3 x2 ? 4

4.

x2 ? x ? 2 x ? 2 ? 2 x2 ?1 x ?x

3

5.请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式. a 2 -1, ab ? b, b+ab

知识 2 6.

分式的加减法则:同分母分式相加减:分母不变,分子相加减。

异分母分式相加减:先通分,变为同分母的分式,再加减。 x?3 2? x ? 学完分式运算后,老师出了一道题“化简: ” x ? 2 x2 ? 4 小明的做法是:原式 ?
( x ? 3)( x ? 2) x ? 2 x 2 ? x ? 6 ? x ? 2 x 2 ? 8 ? 2 ? ? 2 ; x2 ? 4 x ?4 x2 ? 4 x ?4

小亮的做法是:原式 ? ( x ? 3)( x ? 2) ? (2 ? x) ? x2 ? x ? 6 ? 2 ? x ? x2 ? 4 ; 小芳的做法是:原式 ?
x?3 x?2 x?3 1 x ? 3 ?1 ? ? ? ? ?1. x ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) x ? 2 x ? 2 x?2

其中正确的是( ) A.小明 B.小亮 C.小芳 1 1 ? 7.计算: =_______________ . 1? x 1? x 8.计算: 9 x-1 1 + = x-2 2-x . 10

D.没有正确的

a b ? a ? b b-a

3 24 ? 2 x ? 4 x ? 16

11

x2 ? x ?1 x ?1

12.

4a 1? a ? 2 a ?1 1 ? a

13、化简

a a3 - = a ?1 a ?1



14.已知两个分式: A ? A.相等

4 1 1 ? ,B ? ,其中 x ? ?2 ,则 A 与 B 的关系是( x ?4 x?2 2? x B.互为倒数 C.互为相反数 D.A 大于 B
2



知识 3 混合运算顺序是 注意: 运算的结果要
4



⑴(

1 m

+ 1 )÷ m+n
n n



4a 1? a ? 2 a ?1 1 ? a



x 2 ? 2x 1 ? (1 ? ) x ?1 x

x-1 1 ⑷ x ÷(x-x ).

⑸?

x ? x ?1 ? 1 ? 2 ?? 2 ? x ? x x ? 2x ? 1 ? x

(6)

? 1 1 ? xy ? ? ?? 2 2 ? x? y x? y? x ? y

2 ? 1 ? x ?1 2. 先化简,再选择一个你喜欢的数代入求值: ?1 ? ? ? x ? x?

3.化简求值. (1) (1+
1 1 1 1 1? x 3 ? (x ? 2 ? ) ,其中 x= . )÷(1- ) ,其中 x=- ; (2) 2 x ?1 x ?1 2 2 x ?2? x x?2

5

2 3 (3) x ?24 x ? 4 ÷( x?1 -1) ,其中 x =-2

x ?1

(4)

2x ? 6 x?2 1 ·2 ? ,其中 x ? ? 2 x ? 4 x ? 4 x ? 3x x ? 2
2

x2 ? 2x ? 1 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 。试说明不论 x 为何值,y 的值不变。 4、已知 y ? x2 ?1 x ?x

考点七 识别出最简分式 知识 分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。也就是分子与分母不能再约分。 1. 分式:①
a?2 a?b 1 a?b 2 4a ,② 2 ,③ ,④ ⑤ 2 ⑥ 中,最简分式有 2 2 2 a ?3 a ?b x?2 x?2 a ?b 12(a ? b)



2.下列分式中,最简分式有(



a3 x ? y m2 ? n2 m ? 1 a 2 ? 2ab ? b2 , , , , 3x 2 x 2 ? y 2 m2 ? n 2 m2 ? 1 a 2 ? 2ab ? b2
A.2 个 考点八 知识 B.3 个 C.4 个 D.5 个

了解负整数指数幂的意义 当 n 是正整数时, a (-3) -3=
?n

=

1 (a≠0 , 0 0 无意义) an

1. -3 -3= 2 计算

?2a b ?
(2) (4)

?1 2 ?3

=

(1) (3)

31 0? 3 2? 3 (

)

2 10 31 0? (? 3 ) ? 3 ? _______ ?_ _

__________

3?

?

2 1 0 ?3 ? 3

? ?31 2 ? ( 32 )4 ? ? 31 2? 3?

? ____________

6

3

(1)当 x_________时, (3 ? x) 0 ? 1 (2) (3) 30 ? ______
?1 ? 4? ? 5? _4) ? ?4 ? ? _ _ _ _ _ _( ? ? ? ? _______ (5) ? ? ? ? _______ ? 3? ? 4?

?1

?3

4

(1)

10?

?

?

1 105

(3) -3.2? 10?4 ? _____________ 5(1)

32 a2 b5 c7 ? ? ( 6 4a ) 2 b3

(2)

1 3 5 2 (? a 4 b6 c 7) ? (? 2a b c) 2

(3)

(8 ?107 ) ? (2 ?109 )

(4) ?16 x 4 ? 5 x3 ? 3x 2 ? 6 x ? ? (?2 x)

考点九 用科学记数法表示绝对值小于 1 的小数 知识 科学记数法表示为 a ? 10n , 1 ? a ?10 ,n 为整数

1.

用科学计数法表示 132000000= 0.0012=
?

-0.000 305=

0.0000401=___________? 10? 考点十

解可化为一元一次方程的分式方程 的方程叫分式方程.

分式方程:分母中含有 解分式方程的一般步骤:

(1)去分母,在方程的两边都乘以 (2)解这个整式方程; (3)验根,把整式方程的根代入 原方程的增根,必须舍去.

,约去分母,化成整式方程;

,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是

7

知识

通过去分母将分式方程化为整式方程。整式方程的解有可能使原分式方程中分母为 0. 这个解不是原分式方程的解。所以解分式方程一定要检验。

易错知识辨析: (1) 去分母时,不要漏乘没有分母的项. (2) 解分式方程的重要步骤是检验,检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. (3) 如何由增根求参数的值:①将原方程化为整式方程;②将增根代入变形后的整式方 程,求出参数的值. 12. 解方程: 2 3 ① = x ?1 x ? 3



20 1 18 ? ? 3x 2 x

(3)

2 3 x?3 ? ? 2 . x ?1 x ? 1 x ?1

(4)

100 30 ? x x?7

(5)

1 1? x ? 3= 2?x x?2

(6)

1 2 ? 2 x ?1 x ?1

(7)

5x ? 4 2 x ? 5 1 ? ? 2 x ? 4 3x ? 6 2

(8)

2x 5 ? ?3 2x ? 1 1 ? 2x

8

(9)

x 2x ? ?1 x ? 1 3x ? 3

x?3 1 ? ? 2 的解是 x= . x?2 2? x 1 2 ? 2 7.解方程 会出现的增根是( ) x ?1 x ?1 A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? 1 或 x ? ?1 D. x ? 2 2 3 8. (06 泸州)如果分式 与 的值相等,则 x 的值是( ) x ?1 x ? 3 A.9 B.7 C.5 D.3 x?2 9. (08 宜宾)若分式 2 的值为 0,则 x 的值为( ) x ?1 A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 2 1 ? ? 0 的解是 10. (07 江西)方程 . x ?1 x x?2 m ? ? 2 无解,则 m 的值是 11.(08 福建)若关于 x 方程 x?3 x?3 2 1 1 ? ? 的解是 12. (08 黄冈)分式方程 2 . x ?1 x ?1 3 1 1? x ? 1 去分母、去括号后的结果,其中正确的是( 13. 以下是方程 ? x 2x

6 方程





A. 2 ? 1 ? x ? 1

B. 2 ? 1 ? x ? 1

C. 2 ? 1 ? x ? 2 x

D. 2 ? 1 ? x ? 2 x

x 1 ? 2 ? 1 的解是( ) x?2 x ?4 3 5 A. ? B. ?2 C. ? 2 2 x ?1 4 ? 15. (06 重庆)分式方程 的解是( ) x ? 2 x ?1

14. (08 泰安)分式方程

D.

3 2

A. x1 ? 7 ,

x2 ? 1

B. x1 ? 7 , x2 ? ?1 D. x1 ? ?7 x2 ? 1

C. x1 ? ?7 , x2 ? ?1 16.关于 x 的方程

x k ? 2? 化为整式方程后,会产生一个解使得原分式方程的最简公 x?3 x?3

分母为 0,则 k 的值为( A.3 17.使分式 A.2 B.0

) C.±3 ) C.±2
9

D.无法确定

x?2 等于 0 的 x 值为( x2 ? 4

B.-2

D.不存在

考点十一

利用分式方程解简单的实际问题

.分式方程的应用: 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列 一 1 只列方程,不用解 甲做 100 个机器零件所用的时间和乙做 60 个所做的时间相等,又知每小时甲乙二人一共 ; (2)检验所求的解是否

做 35 个机器零件,问甲乙每小时各做多少个机器零件?

2

农机厂职工到距离工厂 15 千米的生产队检修农机。一部分人骑自行车先走,40 分钟后,

其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的 3 倍,求两种车的速 度。

3

工厂储存了 240 顿煤,若每天节约 2 吨,则可以比原来多用 4 天,问原来每天计划用多

少吨煤?

4

A、B 两地相距 150 千米,甲乙两车同时从 A 站出发,1 小时后,甲车在乙车前 12 千米。 最后乙车比甲车晚到 25 分钟,求两车的速度。

5

小明有一本 280 页的书,计划 2 周读完。当读到一半时,发现平均每天要多读 21 页,才

能按时读完。求原来每天平均读几页?

二,列方程,解应用题 1. 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等, 已知水流速度 为 2 千米/时,求船在静水中的速度是多少?

10

2.(08 内江) 今年以来受各种因素的影响,猪肉的市场价格仍在不断上升.据调查,今年 5 月份一级猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍.小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月 份购得一级猪肉比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤,那么今年 1 月份的一级猪肉每斤是 多少元?

3.(07 玉林)今年五月,某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程,规定若 干天内完成. (1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的 2 倍多 4 天,乙组单独完成这项 工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天. 如果甲、 乙两组合做 24 天完成, 那么甲、 乙两组合做能否在规定时间内完成? 5 (2) 在实际工作中,甲、乙两组合做完成这项工程的 后,工程队又承包了东段的改造 6 工程,需抽调一组过去,从按时完成中段任务考虑,你认为抽调哪一组最好?请说 明理由.

4. 面对全球金融危机的挑战,我国政府毅然启动内需,改善民生.国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起, “家电下乡”在全国范围内实施,农民购买人选产品,政府按原价购买总额的 .....13% . . . 给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电, 已知购买冰箱的数量是电视机的 2 倍, 且按原价购买冰箱总额为 40000 元、 电视机总额为 15000 元.根据“家电下乡”优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多 65 元,求冰箱、电视机各购买多少台? (1)设购买电视机 x 台,依题意填充下列表格: 项 目 购 买 数 量 原价购买总 政府补贴返 补贴返还总 每台补贴返 (台) 额(元) 还比例 金额(元) 还金额 (元) 家电种类 冰箱 40 000 13% x 电视机 15 000 13% (2)列出方程(组)并解答.

11

其他题型 1.当 x> __________时,分式 3、已知
?2 1 1 的值为正数.2.已知 x+ =3,则 x2+ 2 = 1 ? 3x x x

________



1 1 2 x ? 3 xy ? 2 y = ? =3,则分式 x y x ? 2 xy ? y



4、已知 a2-6a+9 与|b-1|互

为相反数,则(

a b b ? )÷(a+b)=______。 5、若非零实数 a,b 满足 4a2+b2=4ab,则 =_____。 a b a
1 1 的值为________.7、若分式3-x 的值为整数,则 2x

6 已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O,则代数式 2x+
整数 x=

9、按下列程序计算,把答案写在表格内:
n 平方 +n

?n

-n

答案

(1)填写表格: 输入n 输出答案 3 1
1 2

? —2 1 —3 1 ?

1

(2)请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.

10.若 2x+y=0,则 A.- 11.如果
4 3
1 5

x 2 ? xy ? y 2 的值为( 2 xy ? x 2
B. ? 3 5

) D.无法确定

C.1 )
x y

x x? y =3,则 =( y y

A.

B.xy 已知 x ?

C.4

D.

12 ⑴

1 1 ? 3 ,则 x 2 ? 2 = x x

. .

⑵(08 芜 湖 ) 已知

1 1 ? ? 3 ,则代数式 2 x ? 14 xy ? 2 y 的值为 x y x ? 2 xy ? y

12

第十七章
一、

反比例函数(复习)
班级: 姓名:

反比例函数的概念:
k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x

一般地 ,形如 y =

注意: (1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数; (A)y =

(2)解析式有三种常见的表达形式: (C)y=kx (k≠0)
-1

k (k ≠ 0) x

(B)xy = k(k ≠ 0)

1、下列函数,① x( y ? 2) ? 1 ②. y ?

x 1 1 1 1 ③ y ? 2 ④. y ? ? ⑤y?? ⑥y? ;其中是 y x 2x x ?1 2 3x
) D.2 或-2 ) D.反比例或正比例函数

关于 x 的反比例函数的有:_________________。 2、函数 y ? (a ? 2) x a A.-1 A.反比例函数
2

?2

是反比例函数,则 a 的值是( C.2 C.一次函数

B.-2 B.正比例函数

3、如果 y 是 m 的反比例函数, m 是 x 的反比例函数,那么 y 是 x 的(

4、 (1)如果 y 是 m 的正比例函数, m 是 x 的反比例函数,那么 y 是 x 的_________________。 (2)如果 y 是 m 的正比例函数, m 是 x 的正比例函数,那么 y 是 x 的_________________。 5、反比例函数 y ?

k ( k ? 0) 的图象经过(—2,5)和( 2 , n ) ,求(1) n 的值; x

(2)判断点 B( 4 2 , ? 2 )是否在这个函数图象上,并说明理由。

6、已知函数 y ? y1 ? y2 ,其中 y1 与 x 成正比例, y2 与 x 成反比例,且当 x =1 时, y =1; x =3 时,

y =____________。求: (1)求 y 关于 x 的函数解析式;

(2)当 x =2 时, y 的值.

二、反比例函数的图象和性质:
1、形状:图象是双曲线。 2、位置: (1)当 k>0 时,双曲线分别位于第________象限内; (2)当 k<0 时, 双曲线分别位于第________ 象限内。 3、增减性: (1)当 k>0 时,_________________,y 随 x 的增大而________; (2)当 k<0 时,_________________,y 随 x 的增大而______。 4、变化趋势:双曲线无限接近于 x、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性: (1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________; (2)对于 k 取 互为相反数的两个反比例函数(如:y =

6 ?6 和y= )来说,它们是关于 x 轴,y 轴___________。 x x

13

1、写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限

m 2、若反比例函数 y ? (2m ? 1) x

2

?2

的图象在第二、四象限,则 m 的值是(



1 A、 -1 或 1; B、小于 的任意实数; C、-1; D、不能确定 2 k 3、已知 k ? 0 ,函数 y ? kx ? k 和函数 y ? 在同一坐标系内的图象大致是( y y y x
x x x


y

O

O

O

O

x

x 2 4、正比例函数 y ? 和反比例函数 y ? 的图象有 个交点. 2 x k 5、正比例函数 y ? ?5 x 的图象与反比例函数 y ? ( k ? 0) 的图象相交于点 A(1, a ) , x
则a= .

A

B

C

D

6、 反比例函数 y= 的图象过点 P(-1.5,2) ,则 k=________. 7、 点 P(2m-3,1)在反比例函数 y= 1

k x

x

的图象上,则 m=__________.

8、 已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则 m 的值为__________.
9、 (1)下列函数中,当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大的是( A. y ? ?3x ? 4 10、已知反比例函数 y ? 则 y1 ? y2 的值是( A.正数 B. y ? ? x ? 2 )

1 3

C. y ? ?

4 x

D. y ?

1 . 2x

?2 的图象上有两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 , x
) C.非正数 D.不能确定

B.负数

11、若点( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 )和( x3 , y3 )分别在反比例函数 y ? ?

2 的图象上,且 x

x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,则下列判断中正确的是(
A. y1 ? y2 ? y3 12、在反比例函数 y ? B. y3 ? y1 ? y2

) D. y3 ? y2 ? y1

C. y2 ? y3 ? y1

k ?1 的图象上有两点 ( x1,y1 ) 和 ( x2,y2 ) , x 若x 时, y . ?? 0x y 1 2 1? 2,则 k 的取值范围是
k2 (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. x

13、 正比例函数 y=k1x(k1≠0)和反比例函数 y= 反比例函数与三角形面积结合题型。

1、5、在同一直角坐标系中,函数 y = 3x 与 y ?

?1 的图象大致是( x



14

2、反比例函数 y=

MQ 垂直 y 轴于点 Q;① 如果矩形 OPMQ 的面积为 2,则 k=_________; ② 如果△MOP 的面积=____________. 总结:(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,

k (k>0)在第一象限内的图象如图,点 M(x,y)是图象上一点,MP 垂直 x 轴于点 P, x y
M(x,y)

则矩形 OPMQ 的面积是 M P *M Q = ?x︱?y︱= ?xy︱ O P x 第7 题 1 1 1 (2) M P= ?x︱, O P=?y︱ ;S△MPO= MP* OP= ?x︱?y︱ = ?xy︱ y 2 2 2 2 3、如图,正比例函数 y ? kx (k ? 0) 与反比例函数 y ? 的图象相交于 A、C 两点, A x O 过点 A 作 AB⊥ x 轴于点 B,连结 BC.则 ΔABC 的面积等于( ) B C A.1 B.2 C.4 D.随 k 的取值改变而改变. k 4、如图,RtΔ ABO 的顶点 A 是双曲线 y ? 与直线 y ? ? x ? m x 3 在第二象限的交点,AB 垂直 x 轴于 B,且 S△ABO= , 2
则反比例函数的解析式 . 5、如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? x ?

x

k k 与双曲线 y ? 在第一象限交于点 A, x 2

(第(5)题)

与 x 轴交于点 C,AB⊥ x 轴,垂足为 B,且 S?AOB =1.求: (1)求两个函数解析式; (2)求△ABC 的面积.

三、反比例函数的应用:用反比例函数来解决实际问题的步骤:
由实验 获得数据 用描点法 画出图象 根据所画图象 判断函数类型 用待定系数法 求出函数解析式 用实验数据验证

1、一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以 50 千米/时的平均速度从甲地出发,则 6 小时可到达乙 地. (1)写出时间 t (时)关于速度 v(千米/时)的函数关系式,说明比例系数的实际意义. (2)因故这辆汽车需在 5 小时内从甲地到乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少?

2、关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y=

n ?1 的图象都经过点 A(-2,1). x 求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点 B 的坐标; (3)△AOB 的面积.

15

3、如图所示,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两点,与 x 轴交 1 于点 C.已知点 A 的坐标为(-2,1) ,点 B 的坐标为( ,m) . 2 (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.
A O C B

k x

4、已知反比例函数 y ?

k 的图像与一次函数 y=kx+m 的图像相交于点 A(2,1). x

(1)分别求出这两个函数的解析式; (2)当 x 取什么范围时,反比例函数值大于 0; (3)若一次函数与反比例函数另一交点为 B,且纵坐标为-4,当 x 取什么范围时,反比例函数值大于一次 函数的值; (4)试判断点 P(—1,5)关于 x 轴的对称点 P‘是否在一次函数 y=kx+m 的图像上.

5、 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3,6 小时可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到 Q(m3) ,那么将满池水排空所需的时间 t (h)将如何变化? (3)写出 t 与 Q 的关系式. (4)如果准备在 5 小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? (5)已知排水管的最大排水量为每小时 12m3,那么最少需多长时间可将满池水全部排 空?

6、如图,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函 数y?
m 的图象交于 A(-2,1)、B(1,n)两点。 x

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求△AOB 的面积。

16

人教版八年级下册勾股定理全章
类型一:等面积法求高
【例题】如图,△ABC 中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,CD⊥AB 于 D。 (1)求 AB 的长; (2)求 CD 的长。
C

A

D

B

类型二:面积问题
【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和 2 长为 7cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为___________cm 。 C
B

D

【练习 1】如上右图,每个小方格都是边长为 1 的正方形, (1)求图中格点四边形 ABCD 的面积和周长。 (2)求∠ADC 的度数。

A
7cm mmm mmm m

A E B

D

C

【练习2】如图,四边形 ABCD 是正方形, AE ⊥ BE ,且 AE =3, BE =4,阴影部分的面积是______. 【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
25 B 169

类型三:距离最短问题

【例题】 如图,A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧,分别到河的距离为 AC=10 千米, BD=30 千米,且 CD=30 千米,现在要在河边建一自来水厂,向 A、B 两镇供水,铺设 水管的费用为每千米 3 万,请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费 B 用是多少?
A C D L

17

【练习 1】如图,一圆柱体的底面周长为 20cm,高AB为 4cm,BC是上底面的直径.一只

蚂蚁从点 A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.

【练习 2】 如图, 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马, 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km

处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
小河 北 A 牧童 B小屋 东

类型四:判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为 a、b、c,且满足 a +b +c +50=6a+8b+10c,判断ΔABC 的形
2 2 2

状。
【练习 1】已知△ABC 的三边分别为 m -n ,2mn,m +n (m,n 为正整数,且 m>n),判断△ABC 是否
2 2 2 2

为直角三角形.

【练习 2】若△ABC 的三边 a、b、c 满足条件 a +b +c +338=10a+24b+26c,试判断△ABC

2

2

2

的形状.

【练习 3】.已知 a,b,c 为△ABC 三边,且满足(a -b )(a +b -c )=0,则它的形状为(

2

2

2

2

2



三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角
【练习 4】三角形的三边长为 (a ? b) ? c ? 2ab ,则这个三角形是(
2 2

) 三角形

(A)等边(B)钝角(C) 直角(D)锐角 类型五:直接考查勾股定理
【例题】在 Rt△ABC 中,∠C=90° (1)已知 a=6, c=10,求 b; (2)已知 a=40,b=9,求 c;(3)已知 c=25,b=15,求 a.。

18

【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?

类型六:构造应用勾股定理
【例题】如图,已知:在 中, , , . 求:BC 的长.

【练习】四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形 ABCD 的面积。

类型七:利用勾股定理作长为 n 的线段

例 1 在数轴上表示

的点。

作法:如图所示在数轴上找到 A 点,使 OA=3,作 AC⊥OA 且截取 AC=1,以 OC 为半径, 以 O 为圆心做弧,弧与数轴的交点 B 即为 【练习】在数轴上表示 13 的点。 。

类型八:勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是 3:4,斜边长是 20,求此直角三角形的面积。

【练习 1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。

19

【练习 2】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40

类型九:生活问题
【例题】如下左图,在高 2 米,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.

【练习 1】种盛饮料的圆柱形杯(如上右图) ,测得内部底面半径为 2.5 ㎝,高为 12 ㎝,吸管放进杯里, 杯口外面至少要露出 4.6 ㎝,问吸管要做 ㎝。 【练习 2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ,在花园内走出了一条 “路” 。他们仅仅少走了__________步路(假设 2 步为 1m) ,却踩伤了花草。

【练习 3】如上右图,校园内有两棵树,相距 12 米,一棵树高 13 米,另一棵树高 8 米,一只小鸟从一棵 树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米.

类型十:翻折问题
【例题】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠, 使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗?
C D

B

E

A

【练习 1】如图所示,折叠矩形的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 AB=8cm,BC=10cm,求 EF 的长。

【练习 2】如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8,AD=5,求 AC 的长。

20

第十九章四边形复习
一、主要知识点回顾 1. 四边形有关知识 ⑴ n 边形的内角和为 .外角和为 . ,

⑵ 如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加 外角和增加 . 条,n 边形的对角线有

⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 2. 平面图形的镶嵌

条.

⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 ____________时,就拼成一个平 面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面,请你写出这样的一种正多边形____________. 3.平行四边形的性质 (1)平行四边形对边______,对角______;角平分线______;邻角______. (2)平行四边形两个邻角的平分线互相______,两个对角的平分线互相______.(填“平行”或“垂 直”) (3)平行四边形的面积公式____________________. 4.平行四边形的判定 (1)定义法:________________________. (2)边:________________________或_______________________. (3)角:________________________. (4)对角线:________________________.

5. 特殊的平行四边形的之间的关系

21

6. 特殊的平行四边形的判别条件 要使 ABCD 成为矩形,需增加的条件是_______ 要使 ABCD 成为菱形,需增加的条件是_______ 要使矩形 ABCD 成为正方形,需增加的条件是______ 要使菱形 ABCD 成为正方形,需增加的条件是______ 7. 特殊的平行四边形的性质 边 矩形 菱形 正方形 8.梯形 (1).梯形的面积公式是________________. (2).等腰梯形的性质:边 __________________________________. 角 __________________________________. 对角线 __________________________________. (3) 等腰梯形的判别方法__________________________________. (4) 梯形的中位线长等于__________________________. 二、例题精讲 例 1. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC.求证:∠A+∠C=180° 角 对角线

_____ _____ ____ ____

; ; ; .

变式练习 1.已知,如图,□ABCD 中,,∠BAD 的平分线交 BC 边于点 E. 求证:BE=CD.

例 2. 已知:如图,在□ABCD 中,BE、CE 分别平分 ∠ABC、∠BCD,点 E 在 AD 上,BE=12 cm, CE=5 cm.求□ABCD 的周长和面积.

22

变式练习 2:如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,CB=DC,AD⊥DB 于点 D,且∠A=60° ,DC=2cm. (1)求梯形 ABCD 的腰长;(2)求梯形 ABCD 的面积.

例 3. 已知:如图,△ABC 中,点 O 是 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,MN 交∠BCA 的 平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F。 (1)求证:EO=FO; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 ABCD 是矩形?并证明你结论; (3)若 AC 边上存在点 O,使四边形 AECF 是正方形,猜想△ABC 的形状并证明你结论.

变式练习 3:(2010?青海)观察探究,完成证明和填空. 如图 1,四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点,顺次连接 E、F、G、 H,得到四边形 EFGH 叫中点四边形. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)如图 2,当四边形 ABCD 变成等腰梯形时,它的中点四边形是菱形,请你探究并填空: 当四边形 ABCD 变成平行四边形时,它的中点四边形是 ; 当四边形 ABCD 变成矩形时,它的中点四边形是 ; 当四边形 ABCD 变成菱形时,它的中点四边形是 ; 当四边形 ABCD 变成正方形时,它的中点四边形是 ;

23

(3)根据以上观察探究,请你总结形状由原什么决定?

(图 1)

(图 2)

变式练习 4: . 如图所示, 已知 AD 是△ABC 的角平分线, DE∥AC 交 AB 于点 E, DF∥AB 交 AC 于点 F, 求证:AD⊥EF.

三、巩固与提高 1. 若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍,则这个多边形的边数是 2. ABCD 中,∠B=30°,AB=4 cm,BC=8 cm,则四边形 ABCD 的面积是_____. 3. 如图,等腰梯形 ABCD 的周长为 18,腰 AD=4,则等腰梯形 ABCD 的中位线 EF= 。



(第 3 题) 4.如图,把矩形

(第 4 题) 沿 对折后使两部分重合,若 ,则 =( )

A.110° B.115° C.120° D.130° 5.如图,菱形 ABCD 中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F 为垂足,AE=ED, 求∠EBF 的度数.

24

6. 已知:如图,在?ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 BE,DF∥BE 交 BC 于点 F,AF 与 BE 交于点 M, CE 与 DF 交于点 N. 求证:四边形 MFNE 是平行四边形.

7. 如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC,CD 上的点,∠EAF=45° ,AH⊥EF. (1)求证:AH=AB; (2)猜想与 BE、DF 的关系并给出证明.

四、自我检测 1.若 n 边形每个内角都等于 150°,那么这个 n 边形是( ) A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形 2.四边形 ABCD 中,若∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3,那么这个四边形 是( ) A.梯形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.任意四边形 梯形 ABCD 中, 对角线 AC 交 EF 于 G, 若 BC=10cm, 3. 如图, AD∥BC, EF 是梯形的中位线, EF=8cm, 则 GF 的长等于 . cm 4.如图所示,在?ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 是对角线 AC 上的两点,当 E,F 满足下 列哪个条件时,四边形 DEBF 不一定是平行四边形( ) A、OE=OF B、DE=BF C、∠ADE=∠CBF D、∠ABE=∠CDF
25

5.如图,△ABC 是等边三角形,点 P 是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC 的周长为 12,则 PD+PE+PF=( ) A、8 B、6 C、4 D、3 ) 6.如图,AB=CD,BF=ED,AE=CF,由这些条件能得出图中互相平行的线段共有( A、1 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组

(第 3 题)

(第 4 题)

(第 5 题)

(第 6 题)

26

第二十章 数据的分析复习
一、知识点回顾
1、平均数: 在一次英语口试中,已知 50 分 1 人、60 分 2 人、70 分 5 人、90 分 5 人、100 分 1 人, 其余为 84 分。已知该班平均成绩为 80 分,问该班有多少人? 2、中位数和众数 1 .一组数据 23、27、20、18、X、12,它的中位数是 21,则 X 的值是 ○ 数据,则这组数据的众数和中位数分别是( A.24、25 得分 人数 B.23、24 50 2 60 3 70 6 C.25、25 80 14 90 15 100 5 ) D.23、25 110 4 120 1 . 2 .如果在一组数据中,23、25、28、22 出现的次数依次为 2、5、3、4 次,并且没有其他的 ○

3 .在一次环保知识竞赛中,某班 50 名学生成绩如下表所示: ○

分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.

3、极差和方差 1 .一组数据 X 1 、 ○ X 2 ?X n 的极差是 8, 则另一组数据 2X 1 +1、 2X 2 +1?, 2X n +1 的极差是 ( A. 8 ) B.16 C.9 D.17

1 2 2 2 2 2 .如果样本方差 S ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? ( x3 ? 2) ? ( x4 ? 2) , ○ 4
2

?

?

那么这个样本的平均数为

.样本容量为

.

二、专题练习
1、方程思想: 例:某次考试 A、B、C、D、E 这 5 名学生的平均分为 62 分,若学生 A 除外,其余学生的平 均得分为 60 分,那么学生 A 的得分是_____________. 点拨:本题可以用统计学知识和方程组相结合来解决。 同类题连接:某班级组织一批学生去春游,预计共需费用 120 元,后来又有 2 人参加进来, 总费用不变,于是每人可以少分摊 3 元,设原来参加春游的学生 x 人。可列方程: 2、分类讨论法: 例:汶川大地震牵动每个人的心,一方有难,八方支援,5 位衢州籍在外打工人员也捐款献 爱心。已知 5 人平均捐款 560 元(每人捐款数额均为百元的整数倍),捐款数额最少的也捐了 200 元,最多的(只有 1 人)捐了 800 元,其中一人捐 600 元,600 元恰好是 5 人捐款数额的中
27

位数,那么其余两人的捐款数额分别是___________; 点拨:做题过程中要注意满足的条件。 同类题连接:数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x = . 3、平均数、中位数、众数在实际问题中的应用: 例:某班 50 人右眼视力检查结果如下表所示: 视 力 人 数 0.1 2 0.2 2 0.3 2 0.4 3 0.5 3 0.6 4 0.7 5 0.8 6 1.0 7 1.2 11 1.5 5

求该班学生右眼视力的平均数、众数与中位数.发表一下自己的看法。

4、方差在实际问题中的应用 例:甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶 5 次,各次命中的环数如下: 甲: 乙: 5 9 8 6 8 10 9 5 10 10

(1)分别计算每人的平均成绩; (2)求出每组数据的方差; (3)谁的射击成绩比较稳定?

三、自主探究
1、已知:1、2、3、4、5、这五个数的平均数是 3,方差是 2. 则:101、102、103、104、105、的平均数是 2、4、6、8、10、的平均数是 你会发现什么规律? 2、应用上面的规律填空: 若 n 个数据 x1,x2??xn 的平均数为 m,方差为 w。 ,方差为 。 。 ,方差为 (1)n 个新数据 x1+100,x2+100, ?? xn+100 的平均数是 (2)n 个新数据 5x1,5x2, ??5xn 的平均数 ,方差是 。 。 ,方差是

四、学以致用:
1、为了解我校八年级 800 名学生期中数学考试情况,从中抽取了 200 名学生的数学成绩进行 统计.下列判断:①这种调查方式是抽样调查;②800 名学生是总体;③每名学生的期中考试 数学成绩是个体;④200 名学生是总体的一个样本;⑤200 名学生是样本容量.其中正确的判 断有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个
28

D.4 个

2、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为 90 分、90 分、x 分、80 分,若这组数据的众 数与平均数恰好相等,则这组数据的中位数是( A.100 分 B.95 分 C.90 分 D.85 分 )

3、已知三年四班全班 35 人身高的算术平均数与中位数都是 158 厘米,但后来发现其中有一 位同学的身高登记错误,误将 160 厘米写成 166 厘米,正确的平均数为 a 厘米,中位数为 b 厘米,关于平均数 a 的叙述,下列何者正确( A.大于 158 A.大于 158 A.5 B.10 B.小于 158 B.小于 158 C.20 D.50 68 、75、67、66、99 这组成绩的平均分 x = , 中 位 数 M= . ?1.2,0.1,?8.3,1.2,10.8,?7.0 (结果保 . ;若去掉一个最高分后的平均分 C.等于 158 C.等于 158 ) D.无法确定 ) D.无法确定 )

4、在上题中关于中位数 b 的叙述。下列何者正确 (

5、若一组数据 a1,a2,?,an 的方差是 5,则一组新数据 2a1,2a2,?,2an 的方差是( 6、在一次测验中,某学习小组的 5 名学生的成绩如下(单位:分)

x' =

;那么所求的 x ,M, x ' 这三个数据中,你认为能描述该小组学生这次测验成

绩的一般水平的数据是 结果如下: 留到小数点后第一位)

7、从一个班抽测了 6 名男生的身高,将测得的每一个数据(单位:cm)都减去 165.0cm,其 这 6 名男生中最高身高与最低身高的差是 ___ ;这 6 名男生的平均身高约为 _ 8、已知一个样本:1,3,5,x,2,它的平均数为 3,则这个样本的方差是 数为________, 10、在数据-1,0,4,5,8 中插入一个数 x,使这组数据的中位数为 3,则 x= 11、 某班同学进行知识竞赛, 将所得成绩进行整理后, 如右图: 竞赛成绩的平均数为 _____
人 数

9、已知数据 a,c,b,c,d,b,c,a 且 a<b <c<d,则这组数据的众数为________,中位

.

3 5 2 5 1 5 0 O 5 6 7 8 9 100 成绩 0 0 0 0 0 (分 )

29

12、现有 A、B 两个班级,每个班级各有 45 名学生参加一次测试,每名参加者可获得 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9 分这几种不同的分值中的一种.测试结果 A 班的成绩如下表所示, B 班的成绩如右图所示. A班 分数 人数 0 1 1 3 2 5 3 7 4 6 5 8 6 6 7 4 8 3 9 2 分数 人数 0 1 1 3 2 5 A班 3 7 4 6 5 6 8 6
B班

7 4

8 9 3 2

人数
18

(1)由观察可知,______班的方差较大; (2)若两班合计共有 60 人及格,问参加者最 少获______分才可以及格.
10 8 3 0 1 2 3 4 5 6

分数

13、小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表:
日期 最低气温 一 1 二 3 三 2 四 五 5 方差 平均气温 3 日期 最低气温 一 1 二 3 三 2 四 五 5 方差 平均气温 3

由于不小心第 4 日及方差两个数据被墨迹污染,这两个数据分别是 数是 75,女同学的平均分是 80 分,中位数是 80. (1)求这次测试的全班平均分; (精确到 0.01 分) (2)估计全班成绩在 80 分以下(包括 80 分)的同学至少有多少人? (3)男同学的平均分与中位数相差较大,分析其原因主要是什么?





14、某班有男同学 27 名,女同学 21 名,再一次语文测试中,男同学的平均分是 82 分,中位

30


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