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11,曲边梯形面积与定积分


1.4.1曲边梯形的面积与定积分

引入:

这些图形的面积 该怎样计算?

一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形 :在直角坐标系中,由连
续曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的 图形叫做曲边梯形。
y y=f (x)

x=a
O a

x=b
b x

思考:

y = f(x) y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1.

y = f(x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1+ A2

y = f(x) y

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得
A ? A1+ A2+ A3+ A4

y = f(x) y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积A近似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An

—— 以直代曲,无限逼近

例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围 成的区域的面积。

解:将区间[0,1]等分成n个小区间,
1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ], ? ,[ , ], ? ,[ , ] n n n n n n n i i ?1 1 ? 每个小区间的长度为 ? x ? ? n n n
y
1

(i=1、2、3……n)

x O
1

解:将区间[0,1]等分成n个小区间,
1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ], ? ,[ , ], ? ,[ , ] n n n n n n n i i ?1 1 ? 每个小区间的长度为 ? x ? ? n n n
y
1

过各分点作x轴的垂线, 把曲边梯形分成n个小曲 边梯形,再分别用小区间
i ?1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1

高,△x= 形,

n

为底作小矩

x O
1

于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n ?1 2 1 0 ? , ( ) ? , ( ) ? , ?, ( ) ? , n n n n n n n
2

所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n ?1 2 1 Sn ? 0 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ? ? ? ( ) ? n n n n n n n
2

1 2 2 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 2 2 ? 3 [0 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ] ? 3 ? n n 6 1 1 1 ? (1 ? )(2 ? ) 6 n n

1 1 1 1 lim lim 由此得到S= ?x?0 Sn ? ?x?0 (1 ? )(2 ? ) ? 6 n n 3

从图形上看,当n越来越大时,划分的 越来越细,阴影部分面积与曲边梯形的 面积相差越来越小,当n→+∞时,阴影部 分趋近于曲边三角形,因此可以将极限 1 值 视为此曲边三角形的面积。
3

思考:
? ? ? ? 如果取小矩形的高为小区间右端点 的纵坐标,所有这些小矩形的面积 和是否趋向于曲边三角形的面积 呢?

y

y
? ? ? ? ? ? ? ?

y ? x2
? ? ? ? ?

O

1 n

2 n

k n

n n

x

y ? x2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

1 n

2 n

k n

n n

x

例2.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成 正比,即力F(x)=kx(k是常数,x是伸长 量),求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解:将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx,本题F是克服弹簧拉力 的变力,是移动距离x的函数,F(x)=kx,
b 将[0,b] n等分,记△x= n , 2b b 分点依次为x0=0,x1= ,x2= n ,……, n (n ? 1)b

xn-1=

n

,xn=b,

当n很大时,在分段[xi,xi+1]所用的力约
b 为kxi,所做的功△W≈kxi· △x= kxi ? n

则从0到b所做的总功W近似地等于
ib b kb ? ?Wi ? ? k ? n ? n ? n2 [0 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ?1)] i ?0 i ?0
n ?1 n ?1 2

kb 2 n(n ? 1) kb 2 1 ? 2 ? ? (1 ? ) n 2 2 n

kb2 当n→+∞时,上式右端趋近于 2

于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W ? lim ? ?Wi ? n ??? 2 i ?0
思考、如果在分段
n ?1 2

[ xi , xi ?1 ]

取所用的力为xi+1所做的功是多少?
以上两个实际问题,一个是求曲边梯形的面积,一 个是求变力所做的功,虽然实际意义不同,但解决问 题的方法和步骤是完全相同的,都归结为求一个函数 在某一闭区间上的和式的极限问题.

1. 曲边三角形或梯形的面积
S= nlim ? f ( xi ) ? ?x ???
i ?0 n ?1

2.克服弹簧拉力的变力所做的功

W= nlim ? f ( xi ) ? ?x ???
i ?0

n ?1

类似地问题还很多,它们都可以归结为 求这种和式的极限,牛顿等数学家经过苦 心研究,得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。

一般函数定积分的定义 设函数f(x)是定义在区间[a,b]上的一个 函数,在闭区间[a,b]上任取n-1个分点

a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
把[a,b]分成 n个小闭区间,其长度依次 为△x=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1,记 λ为这些小区间长度的最大者,当λ趋近于0 时,所有小区间的长度都趋近于0,在每个 ?i ?[ xi?1 , xi ] 小区间内各取一点,

作和式In=

? f (? )?x
i ?0 i

n ?1

i

当λ→0时,如果和式的极限存在,我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b] 上的定积分,

记作

?
a

b

f ( x )dx

其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量, [a,b]称为积分区间,a, b分别称为积分 的上限和下限,f(x)dx叫做被积式,此时 称f(x)在区间[a,b]上可积。

积分上限 被积式

?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi . ? ? 0 i ?1
b
积分下限 被积函数

n

利用积分的定义,前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 ? f ( x)dx
a

1 于是例1的结果可以写作 S ? ?0 x dx ? 3
1 2

例2中克服弹簧拉力的变力所做的功
kb W ? ? kxdx ? 0 2
b 2

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条 连续的曲线,它与直线y=0,x=a,x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在,则f(x) 在[a,b]一定是可积的。

求区间 ? a, b? 函数f(x)的定积分的步骤: 1、分割将区间

? a, b? 分成n个闭区间

2、近似替代(取点)在每个闭区间? xi , xi ?1 ?上任取点,

?i , 用f (?i )代替这一区间上的所有函数值,为简便
常取左端点f (?i )或右端点f (?i +1 ) 3、作和 4、求极限

例题分析:
? 例 1:利用定义计算定积分 ?0 巩固练习、求
1

x 2 dx

?

a

3

0

x dx

? 例2、利用定积分的几何意义求

?
(1) ? 1dx
?1 1

2

1

xdx

巩固练习、 利用定积分的几何意义求下列定积分:

(2)? xdx
?1

1

(3) ? x dx
?1

1

? 例3、利用定积分的定义证明:如果f(x)、 g(x)同在区间
? ? a, b?内可积分,则f(x)? g ( x)也在此区间内 ?

可积分,且?

? a
b

f(x) g ( x) ?dx ? ? f ( x)dx
? ? b a

?

? a

?

b

g ( x)dx

小结 :
1,曲边梯形的面积 2,化曲为直的数学思想 3,定积分的定义

课后巩固练习:

? 课本39页A组、B组



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