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2014年全国1卷理科数学试题


·

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标 1 理科数学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.

回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的一项。 1. 已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =
2

A .[-2,-1]
2.

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
A .1 ? i B .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

3. 设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
2

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
2

4. 已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动 的概率

·

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6. 如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M , 将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ] 上的图像大致为

7. 执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8. 设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

? ?
2 2

B . 2? ? ? ? D . 2? ? ? ?

?
?
2 2

C . 3? ? ? ?
9. 不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4
2

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

10. 已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦

·

点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

??? ?

??? ?

A.

7 2

B.

5 2

C .3
3 2

D .2

11. 已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0, 则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案)

14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没 去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城 市为 .

15. 已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

????

? ???? ? ??? ? ??? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

16. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

.

17. (本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,an ? 0 ,an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为 常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

·

18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 ,
o

AB=Bc, 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的 余弦值.

·

20.(本小题满分 12 分)已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 2 a b 2

是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线 x

为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1: 几何证明选讲如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC, 证明:△ADE 为等边三角形. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4: 坐标系与参数方程已知曲线 C : ( t 为参数). (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲若 a ? 0, b ? 0 ,且 (Ⅰ)求 a ? b 的最小值;
3 3 o

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1, 直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

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